熱物理過程的數(shù)值模擬 計算傳熱學(xué)2

1、 40 2遷移性 傳遞過程的兩種機制：擴散傳遞、對流傳遞 兩種機制在物理特上的差異：對信息或擾動的傳遞性質(zhì)上有很大的區(qū)別 擴散傳遞：物質(zhì)分子不規(guī)則熱運動所致，這種分子的不規(guī)則熱運動對空間不同方向的幾率是 一樣，所以擴擴散作用可以把發(fā)生在某一位置處的擾動影響向各個方向傳遞。 對流傳遞：是流體微團的宏觀定向運動，帶有強烈的方向性。對流作用只能將發(fā)生在某一位置處的擾動向其下游方向傳遞，而不會逆向傳播。 圖示 x 擴散 對流 x o 1 2 擴散與對流作用在物理本質(zhì)上的這種差異，應(yīng)在其各自的差分格式中反映出來。 （1）擴散項的中心差分把擾動向四周均勻傳遞 一堆非穩(wěn)態(tài)擴散方程：)()(xx? ? ? 對

2、于常物性222x? 差分格式：時間導(dǎo)數(shù)向前差分，空間導(dǎo)數(shù)中心差分（顯式），均勻網(wǎng)格 x x? 2111)(2xninininini? 為簡化起見，假定初始時刻物理量場已均勻化，且0?，在某一時刻（例如第n時層），節(jié)點i處突然有一個擾動 ? ，而其余各節(jié)點的擾動均勻為零，如圖所示，隨著時間的推移，這一擾動傳遞的情形可由上述差分方程來確定，（n+1）時層： 2111)(2xninininini? 其中011?nin i ? )21()(21(221xxnini? 在這里，網(wǎng)格傅里葉數(shù))/(2xF?， 按 穩(wěn)定性要求，1210,2/122?xx?， 41 對節(jié)點i+1： 2121112xninini

3、nini? 其中0211?nini? )()(2211xxnini? 類似地有： 211)(xni? 如果取25.0)/(2?x?，則：?25.0,5.011111?ninini n i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x N+1 25.0)/(2 ? ?x?時，在擴散作用下擾動的傳遞 由圖可見，在擴散作用下，n時刻發(fā)生在節(jié)點i 處的擾動?，到n+1時刻均勻地向兩側(cè)傳遞開去?？梢姅U散項的中心差分格式具有遷移特性，與擴散過程的物理本質(zhì)一致。 （2）對流項差分數(shù)表達式的物理特性 如果對流項的某種差分格式使擾動僅沿著流動方向傳遞，則稱此格多具有

4、遷移特性。 對流項的中心差分格式不具有遷移特性 0? ? ?xu? 均勻網(wǎng)格，則有 xunininini? 2 111? 類似地有： xunininini?22111? xunininini?22111? 42 n時層，僅節(jié)點i處有擾動?，則：?nini1 )(2)(2)(2)(21111xuxuxuxunininini?i處擾動同時向相反的兩上方向傳遞 對流項的迎風(fēng)差格式具有遷移性 迎風(fēng)差分：對流項中的一階導(dǎo)數(shù)由該點及上游方向一個鄰點的?值確定。 0,/)( /1?uxxi ii? 0,/)(1 ? ? ? ?uxii?u i-1 i i+1 x u i-1 i i+1 x 以u>0的

5、情形來分析，n時刻，僅節(jié)點i處有擾動?。 ) 1 ( , 1 11xuxuxunininininininini? 0,)()(,11121111111111?ninininininininininininiuxuxuxu?i擾動僅向流動方向傳遞 對流項中心差分的截差為二階 迎風(fēng)差分 一 但就它們對流動過程的物理特性的模擬而言，迎風(fēng)格式反而比中心差分更合理 求解實際物理問題時，只注意差分格式的截差等級是不夠的。 *背風(fēng)格式的截差與迎風(fēng)格式相同，但它只能使擾動逆流而上而不是順流而下，這就完全違背了物理規(guī)律。 3-5 兩個指導(dǎo)原則和四項基本法則 不言而喻，對于數(shù)值解的總的要求應(yīng)當(dāng)是： 1、物理真實性

6、，即分布規(guī)律和變化趨勢與實際過程一致，以物體冷卻為例；熱量分析，離散集總。 （1）數(shù)值解有偏差；（2）離散方程（或差分格式）非唯一（不同的型線選擇），其所得的離散方程不相同）其數(shù)學(xué)特性和物理特性不相同，相應(yīng)的數(shù)值解也不相同，隨著網(wǎng)格節(jié)點數(shù)目，不同的離散方程將會給出相同的解，但節(jié)點數(shù)會導(dǎo)致內(nèi)存，機時增加，是不希望的，希望在粗網(wǎng)格情形下，解也是真實的。 t 0 不真實的 近似而物理 真實的 準確的 不真實的 43 所以首先保證數(shù)值解的物理真實性，然后才是提高準確性。 2、總的平衡：能量、質(zhì)量、動量、的平衡 總量平衡是解的物理真實性的必要條件，但不是充分條件。 如何確保所得到數(shù)值解滿足物理真實性和總

7、的平衡，離散方程應(yīng)服從于一些什么樣的約束條件？ 二、四項基本法則 1、控制容積界面上的連續(xù)性體現(xiàn)總的平衡 分段線性分布，界面物性參數(shù)（例如界面導(dǎo)熱系數(shù)） 2、正系數(shù)法則 CP常數(shù)的一維模型方程體現(xiàn)物理真實性 Sxtxtc?)(? 差分格式，?xt/作顯式階梯式變化 btaaaatataopwEopowoEEpp?)( 式中xSbxcaaxaxaopoppwwweeE?,)(,)(? 注：opwEpwEpaaaaaaa?)(0滿足系數(shù)和法則 ?0wEopaaa非均勻網(wǎng)格 時wweexxxc)()(?常物性、均勻網(wǎng)格：2/10?F 如果?xt/取為隱式階梯式變化，則有 btabtatatatanb

8、bnopopwwEEpp? xSbaaaaaxcaxaxapnbpwEpopwweeE?,/,)/(,)/(0? 對于穩(wěn)態(tài)問題，0,?opa?，則 bnwEpnbnbwwEEppaaaabtabtatata? 從物理過程看，由于擴散與對流作用而使?發(fā)生變化，或者呈現(xiàn)一定的分布； 從離散方程看，某個網(wǎng)格節(jié)點處的?值只有通過擴散及對流作用才受到相鄰網(wǎng)格節(jié)點上的?值的影響，體現(xiàn)擴散（和對流）作用的是節(jié)點系數(shù)pnbaa,，在其它條件不變的情況下，一個網(wǎng)格節(jié)點處?值的增加，應(yīng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)格節(jié)點上?值的增加而不是減少，在上述離散方程中，如果要Et 44 必然導(dǎo)致pt，則必然是Ea與pa有相同的符號，即離散方

9、程中中心節(jié)點系數(shù)pa與各相鄰節(jié)點系數(shù)nba的符號相同。 “離散方程中所有的節(jié)點系數(shù)（pa及ban）必須總是正的”。正系數(shù)法則保證了數(shù)值解的物理真實性。 相鄰節(jié)點間的相互作用（制約，控制），決定了?變量的變化趨勢和分布： 節(jié)點系數(shù)值體現(xiàn)影響的大小體現(xiàn)在鄰點系數(shù)和法則 節(jié)點系數(shù)的符號體現(xiàn)影響中心節(jié)點?的變化趨勢真實性 3、源項的負斜率線性化對物理真實性的補充，并影響到穩(wěn)定性 通常，S是?本身的函數(shù)，所以在建立離散方程時需要知道這種函數(shù)關(guān)系，但由于采用線性代數(shù)的方法來解離散化方程，所以只能將S（t）在形式上表示成線性函數(shù)的關(guān)系，即將S-T“線性化”： ppcptSSS? SSc?的常數(shù)部分，pptS

10、?的系數(shù)（不代表節(jié)點P處的S值） 控制容積積分：?eeppcdxdtSSdxSd?)( t-x：階梯式分布；?t：隱式階梯式分布，則 ppecppctxSxSdxdtSS?)( 離散方程的變化：xSbxSaaaacpopwEp?, 由于SP項的存在，即便所有的鄰點系數(shù)均為正，pa仍有可能為負，違背物理真實性所要求的正系數(shù)法則，解決方法：0?pS “當(dāng)源項線性化為ppctSSS?時，系數(shù)SP必須0” 物理意義上理解：大量實際過程中源項與?變量之間確實具有負鈄率關(guān)系。對于正的SP，如果沒有有效的散熱機構(gòu)，則當(dāng)pt，會導(dǎo)致物理狀態(tài)不穩(wěn)定； 從計算方法上講，SP>0可能導(dǎo)致數(shù)值解不穩(wěn)定和解在物理

11、上的不真實。 導(dǎo)體的電阻,0),1(?trro，則SP>0。 4、鄰點系數(shù)和法則對總的平衡的補充，對離散方程總的平衡的檢驗 45 從數(shù)學(xué)上看，如果控制方程只包含?變量的導(dǎo)數(shù)項而不包含非導(dǎo)數(shù)項，（與?有關(guān)的源項），則?和c?（c是一個任意常數(shù)）均滿足控制方程，這種性質(zhì)應(yīng)當(dāng)反映在相應(yīng)的離散方程中，即當(dāng)pt和所有的nbt都增加同一常數(shù)值時，離散方程應(yīng)仍然成立： bnpbnbnbnpppbnbnppaacatacatactacta?)()( 當(dāng)源項S與?（或t）有關(guān)時，?和c?不能同時滿足控制方程，相應(yīng)離散方程的節(jié)點系數(shù)不滿足這一法則，如何理解？設(shè)想一個特殊情況SP=0來應(yīng)用這一法則，以檢驗離散

12、方程的正確性。 bnpbnpnbbnpptaattata?中心節(jié)點溫度是相鄰節(jié)點溫度的一個加權(quán)平均值。 如果所有鄰點溫度bnt都相等，從物理上理解，pt必 =1?pbnbnaat，bnpaa? 第四章 熱傳導(dǎo) 4.1 研究對象及學(xué)習(xí)思路 從本章開始，將數(shù)值方法應(yīng)用于熱物理過程，熱物理過程由什么控制、描述？通用微分方程，它由四個部分組成，非穩(wěn)態(tài)項、對流項、擴散項、源項。 向量形式 SdivSdivwdiv?)()()()()(? 傳導(dǎo)型 擴散型 直角張量形式 SxxSxjxuxjjjjj?)()()()()(? 傳導(dǎo)型 擴散型 1、研究對象傳導(dǎo)型方程的數(shù)值解法 應(yīng)研究求解此通用控制方程的數(shù)值方法

13、。事實上： （1）直接數(shù)值求解完整的通用控制方程，復(fù)雜性大，某些數(shù)值方法的思想不易理解； （2）存在一大批熱物理過程與其類似的物理過程，不必用完整的通用控制方程來描述，即有缺損項，例如缺對流項：擴散型方程 熱傳導(dǎo)問題：物理過程相對簡單而易于理解，數(shù)學(xué)復(fù)雜性小。 位勢流動：渦量為零的無粘性流動稱為位勢流，其物理意義為流體微團僅有平動與變形而沒有統(tǒng)其自身的旋轉(zhuǎn)運動。 不可壓縮無粘性流動由Euler方程及連續(xù)性方程來描述：二維 46 ?)3(0)2(1)1(1yvxuypyvvxuuvxpyuvxuuu?三個?變量u、v、p，方程組封閉，為了能用比較簡便的方法求解速度場，進行變換 xy?消去壓力梯度

14、項： 0)()()()()(?xvyuyvxvyuxuxvyuxuxvyuyuxvyu? 令xvyu?滿足量在xoy平面上的分量，渦量。 0)(?yvxuyvxu?再利用連續(xù)性方程，可化為 0)()(?yuxu?渦量守恒方程：在無粘流動中，若起始時刻流場中無渦且邊界上也不產(chǎn)生渦，則整個流場將處處無渦。 對于熱流：0?xvyu 三維流動、渦矢量（旋度）為：kyuxujxzuizvyx)()()(? 熱流0?x 則三個速度分量?,vu必定是某個標量函數(shù)?的偏導(dǎo)數(shù)； zyvxu?/,/,/? ?速度勢函數(shù) 對于二維問題，將速度分量代入連續(xù)性方程，得 02222?yx?勢流的速度勢函數(shù)滿足Laplac

15、e方程。 分析二維勢流時，常用流函數(shù)?作為因變量，定義為： xvyu?/,/? 自動滿足連續(xù)性方程。 47 代入渦量定義式且為勢流（0?），則有 02222?yx?流函數(shù)方程，擴散型方程 可見，對于二維勢流，不必直接求解Euler方程這樣復(fù)雜的控制方程，而可以通過求解更簡單的速度勢函數(shù)或流函數(shù)的Laplace方程而獲得速度場，進而利用Bernoulli方程求出各節(jié)點處的壓力。 從數(shù)值求解的角度看，求解流函數(shù)方程比求解速度勢方程更合適： 速度勢僅存在于勢流中，對于粘性流體，不存在速度勢函數(shù)，而流函數(shù)在粘性流場中也存在，其時渦量不為零，0?，且流函數(shù)方程變?nèi)?022222222?yxyx，有源項，

16、Poisson方程 勢函數(shù)的邊界條件對無滲透的固壁面均為第二類（齊次）： x y 0?x =0 0/?yv? =0 流函數(shù)方程的邊界條件則是第一類的。 第一類B、C下的數(shù)值計算容易收斂。 擴散傳質(zhì)，通過多孔介質(zhì)的流動、通道內(nèi)的充分發(fā)展流動傳導(dǎo)型方程的解法可直接應(yīng)用。電磁場問題、熱輻射的擴散模型、潤滑問題亦屬于傳導(dǎo)型方程，可用傳導(dǎo)型方程的數(shù)值方法求解。 （3）傳導(dǎo)型方程數(shù)值解法亦是流體流動計算整體方案中的一個組成部分 代數(shù)方程的求解方法是相同的，修改的只是代數(shù)方程（離散方程）的內(nèi)容。 （4）從物理概念上看，動量傳遞（速度場）與熱量傳遞（溫度場）有某種程度上的相似性，因此，可將熱傳導(dǎo)型方程的數(shù)值解

17、法作為流體流動計算方案的基本組成部分，反過來亦加強了這種概念上的一致性。 2、學(xué)習(xí)導(dǎo)熱型問題數(shù)值法的思路： 一維為基礎(chǔ)、推廣、擴展到多維，為什么還要講一座。 （1）一維問題的物理過程最簡單，數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性最小，數(shù)值方法中的一些基本思想很容易通過它來闡述； （2）擴散系數(shù)（?）源項（S）是?變量的函數(shù)時，也必訴諸數(shù)值計算。 4-2 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo) 一、控制方程的一般形式 一般指用于直角坐標、圓柱坐標、球坐標及變截面的一維導(dǎo)熱情形 0)()()(1?tSdxdtxAdxdxA? （4-2-1） 式中：x熱量傳導(dǎo)方向的空間坐標，廣義坐標； 48 A（x）傳導(dǎo)面積或面積因子 S（t）源項；?導(dǎo)熱系數(shù)，

18、)(t?或)(x? 一維導(dǎo)熱的坐標及面積因子 坐標系 空間變量 面積因子A（(x) tw tp tE S i01?it 0it 0 t* *t x）（或面積） 示意圖 直角 x 1（單位面積） 圓柱 r r-(以一弧度 rad 包含的區(qū)域為計算對象 ) 球坐標 r r2（以一球面度sr包含的區(qū)域為計算對象） 直角變截面 x(熱流方向) 傳導(dǎo)面積A（x） 凡控制方程可以在形式上寫成式（4-2-1）那樣的物理問題，均可稱（視）為導(dǎo)熱（擴散）型問題，并可按本章所述的方法進行數(shù)值求解。 例：等厚度環(huán)助傳熱過程的控制方程 rbrAdrdtrAQrtt?2)(,)(),(? )(4?ttrdrdrdrdQ

19、? ? ?0/,02)(121drdrrttrrttbdrdrdrdrbb? 直接利用式（4-2-1）和圓柱坐標系寫出，關(guān)鍵在于寫出S（t）的表達式 w/m 3？ b rdrttrdrdvQtSconv/22/)(2.2/)(? 無量綱化： ?=)/()(/? ?ttttbb? 1/)/(,1/1)/(),/(/1212122212121112?rrrrrrrrrrrrrrrLr? 控制方程為0)(2)(122/3?LbLdddd?，引入2/3LbLM? 49 ?0/,1,02)(1212?ddMdddd 具體計算：f? 4,3,2:/12rr 5.2,0.2,5.1,0.1,5.0,1.0:

20、M '?：0（常物性）-0.2-0.3 變物性的處理：)('),'1()(1)(1?ttttttbb? 2/3202)'1(1LbLMMdddd? 二、離散方程的建立 采用控制容積積分法，推導(dǎo)式（4-2-1）的離散方程 控制容積P，xAVpp? 用A（x）乘式（4-2-1）兩端，并將其對P控制容容積作積分：?edx? 將源項S（t）線性化為 xtStSSSpppe?0,取為階梯式分布 對擴散項，xt?取為分段線性分布，則最終可得： xxAStxxAtxxAtxxASxxAxexApcwEeeepppee?)()()()()()()()()()(?（4-2-2）

21、btatatawwEEpp? 其中?)()(,)()(xxAaxxAaweeeE? ppwEppwEpVSaaxxASaaa?)( 50 pcpeVSxxASb?)( （4-2-4） ?,e為東西界面的導(dǎo)熱系數(shù)。 不同的離散方式所得結(jié)果的差異就表現(xiàn)出在節(jié)點系數(shù)（pwEaaa,）和常數(shù)項b的計算式上。 節(jié)點系數(shù)的物理意義：wxAaeeeE/)(?單位溫差下的熱流量、熱導(dǎo)，其數(shù)值大小反映了節(jié)點E對P節(jié)點溫度影響的程度。 EpeeeERAxa?)(/1熱阻/w 三、幾點討論 1、網(wǎng)格間距 ?)()(xxe?，采用非均勻網(wǎng)格 當(dāng)網(wǎng)格間距，可以獲得比較準確的數(shù)值解，但節(jié)點數(shù)目，內(nèi)存，機時，所以不能籠統(tǒng)地

22、采用細網(wǎng)格。 xt?變化平緩的區(qū)域，x?，粗網(wǎng)格，coarse grid； xt?變化陡急的區(qū)域，x?，細網(wǎng)格，fine grid； 合適的非均勻網(wǎng)格的獲得：試探性粗網(wǎng)絡(luò)xt?的初步信息合適的非均勻網(wǎng)格 所以粗網(wǎng)格也應(yīng)給出有物理意義的解！ 2、界面導(dǎo)熱系數(shù) e?？ eEpeeeexttdxdtq)(?，物性值存放在節(jié)點處，eEp?,如何確定？ （1）線性變化 x p E e (x)e ?ex)(? ?ex)(? p E p e E eeeEepeEeepeeexxfffxxxx)()(,)1()()()()(? （4-2-5） 5.0?ef，即界面位于網(wǎng)格間距正中間時 )(5.0Epe?算術(shù)平

23、均 （4-2-6） 缺點： 51 當(dāng)0?E?時，左邊控制容積材料絕熱：0?eq，但此時的0?peef?，按此計算的界 面熱流0)(?eEppeexttfq?，不符合實際，所以線性變化不能適應(yīng)導(dǎo)熱系數(shù)突然變化的情形，)(x?。 （2）調(diào)和平均法 確定e?的目的在于正確給出界面熱流 eq的計算式（數(shù)值方法中的計算式） ；eEpeNexttq)(? 實際熱流？一維問題是一個雙層平板的導(dǎo)熱（P控容與E控容之間的一維導(dǎo)熱） tp P tE E x e ?ex)(? ?ex)(? ex)( ? P平板（控容），p?材料組成 E平板（控容），E?材料組成 兩層平板串聯(lián)導(dǎo)熱 通過界面的傳熱量eq是多少？ Ee

24、peEpexx t t q ?)()( 令eNeqq?，即EepeEpeEpexxtt x t t ? ? ? ? ? ?)()()( 可得 EepeEepeeeEepeeeffxxxxxx?11)()()()()()( （4-2-7） 特例，e位于P、E點正中間時，5.0?ef 52 eEpEpeEpe?2)11(5.01是Ep?,的調(diào)和平均值 （4-2-8） 合理性？ E板材料絕熱，0?E?，實際上兩板之間無熱傳導(dǎo)，0?eq EeeNeeumxxqN?)()(,0,，e?與p?無關(guān)，與實際相等； 線性化方案：Eepeeff?)1(?，保留了p?的影響，不合理； ii，Ee?，而是eEef/

25、? ?eEpEEpeEEpeNexttexttfexttq)()()(? P板的高導(dǎo)熱性使其溫度均勻，eptt?，實際導(dǎo)熱距離?ex)(?，但Niq中名義上仍用ex)(? 所以?eEeENexttq)(?合理！ 所以因子ef是對Neq方程中采用名義詞距ex)(?的補償； 導(dǎo)出e?的條件：無內(nèi)熱源、?突變，一維 擴廣：有內(nèi)熱源、?連續(xù)變化、多維，調(diào)和平均法仍有滿意的結(jié)果 這里，在推廣條件下如何準確地確定e?，尚有待研究！ 3、源項線性化S（t） 這里所指的線性化是局部線性化，即在某個t的附近范圍內(nèi)。線性代數(shù)方程組只允許形式上的線性關(guān)系出現(xiàn)： ttStStSSSpcpc)()(? （4-2-9）

26、以*pt表示t的估計值或前一次迭代值，則有 ttStSSpppc?)()(* 在P點處附近，S隨t的變化可以有多個局部線性化方案，選擇的依據(jù)：0?pS；應(yīng)當(dāng)是)(ts的一個好的近似，如何理解“好”了？ p t S )(*ptS )(*pt 53 （1）S=5-4t 4,5?pcSS 0,45*?ppcStS 11,75*?ppcStS （2）S=3+7t電熱源，必須有好的散熱環(huán)境！ 7,3?pcSS 0,73*?ppcStS 2,93*?ppcStS （3）354tS? 0,543*?ppcStS 2*5,4ppctSS? S=？ 切線方程： )()()()(*ppttdtdSSSttdtdS

27、SS? =)(1554*2*3*ppptttt? =tttpp?2*3*15104 2*3*15,104pppctStS? 2*3*25,204pppctStS? 試繪出線性化溫度化的圖象？pS，相同的s?對應(yīng)的t?，溫度變化量 結(jié)論：pS，迭代收斂速度；在一般情況下，0?pS時的收斂速度最快，但切線方案穩(wěn)妥而有效。 4、非線性的處理 離散方程是形式上的代數(shù)方程，當(dāng))(),(tSSt?等時，控制方程將是非線性的！反映在 t S *pt t p S 4 S# 0 t *pt 54 離散過程中，節(jié)點系數(shù)pnaba,與t 有關(guān)：eeExta)()(?，隨)(),(EEpptt?而變化非線性，求Ept

28、t,而又需要已知,Eptt來預(yù)先確定Ea。 處理方法：迭代式解法 （1）估計或猜測一個初場（it，i?）賦初值)0(t （2）由初場確定一組臨時系數(shù))0()0()0()0(,pcpnbSSaa （3）在這一組臨時系數(shù)下，求解名義上的節(jié)點?變量的線性代數(shù)方程)1(t；非線性問題在每一組確定系數(shù)下進行的求解計算稱為一個層次的迭代。 （4）以)1(t作為新的)10(t，返回到步驟（2），并重復(fù)這一迭代過程，直至t無實質(zhì)性變化為止，)1()(,?nntt。 收斂判據(jù)：絕對值判據(jù)?)()1(maxnntt 變化率判據(jù)63)1()()1(1010max?tttnnn? 說明：非線性問題的迭代式解法，目前尚

29、無完整的理論來判斷是否能獲得收斂的解，實踐表明，只要： 每一層次上的代數(shù)方程的系數(shù)都滿足迭代法求解的收斂充分條件； 兩個相鄰層次間代數(shù)方程的系數(shù)變化不太大，亦即未知量的變化不太大； 則多數(shù)情況下非線性問題的迭代式求解方法是可以收斂的。 4-3 邊界條件的處理 一個熱物理問題的完整描述： 控制方程+單價性條件確定的解 一維穩(wěn)態(tài)問題，單值性條件：物理、幾何、邊界，有兩個邊界條件。 控制方程的離散內(nèi)部節(jié)點處的?變量離散方程，僅此，不足以求解而獲得數(shù)值解！ 邊界條件的處理補充內(nèi)部節(jié)點方程，使代數(shù)方程封閉。 要區(qū)分兩種不同的離散化方法，A和B，所以它們在邊界處所獲得的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)不相同： 方法A：邊界節(jié)點占

30、有半個控制容積； 方法B：邊界點不占有控制容積（或者控制容積的厚度=0） 一、離散化方法A外節(jié)點法：先定節(jié)點，后定界面（如圖） 55 I i B x x 1、第一類邊界條件給定邊界溫度，Bt，給定Bt，無需再建立邊界節(jié)點方程，溫度Bt直接進入相鄰內(nèi)節(jié)I的離散方程。 2、第二類邊界條件給定邊界熱流， x tqmwqBB?/,/,2? 這時，邊界節(jié)點溫度Bt未知，需要建立關(guān)于邊界節(jié)點（邊界控制容積）的離散方程。如何建立？通過邊界條件表達式而獲得：將式（ 4-2-1 ）在邊界半控容上積分，并注意到B qdxdt?/?加入熱量為正。 控容法：?)(_)(xASdxdtxAdxd?0 0)(0? ? ?

31、BipcBiBiBiAdxSSdxdtAAdxSdxdxdtAdxd? 0)(0)(?xABSSqAqAxAtSSdxdtAdxdtABpciiBBBBpciB? iIBiixttq)/( )(?代入上式，經(jīng)整理得到： btataIIBB?二階截差 （4-3-1） 其中 BBBcBpIBiiiIqAxASbxASaawxAa?/)(?（4-3-2） 特例：對于均勻截面，取1m2，則有 BcpIBiiIqxSbxSaamwxa?),/(,)/(2? 熱平衡法： 0)(?xAtSSqAqABBpciiBB在型線與控容法相同時，其結(jié)果一致。 泰勒級數(shù)法： xtqB?/?只能是向后差分： 56 iIB

32、BBxttq)(?一階差，從數(shù)值計算的角度看，為了保證計算的總體準確度，邊界節(jié)點離散方程的截應(yīng)力求與內(nèi)部節(jié)點一致！ btataIIBB? BIBiBIqbaaxa?,)/(?與控容法和平衡法不同！ 3、第三類邊界條件：ft,?給定（邊界熱條件），邊界節(jié)點溫度Bt未知，需要補充關(guān)于邊界節(jié)點溫的離散方程。 利用第二類邊界條件時的結(jié)果，將此時的Bq表達式代入，亦此時 BfBfBttttaq?)( 控容積分結(jié)果：0)(?xAtSSqAqABBpciiBB 最終得btataIIBB? 其中 BfBcBBpIBiiiIAtxASbAxASaaxAa?,)( （4-3-3） 將第二、三類邊界條件合并表示為：

33、BBDtCq? （4-3-4a） 二B、C時 0,?DqCB （4-3-4b） 三B、C時 ?DtCf, （4-3-4c） 于是，邊界節(jié)點方程中的系數(shù)為 BBcBBpIBiiiiCAxASbDAxASaaxAa?,)/(? （4-3-5） 二、離散化方法B內(nèi)節(jié)點法：先定界面，后定節(jié)點，且0?BV I i B x ix)(? 以上諸邊界條件下的邊界點方程仍然適用，但BiAAx ?,0（界面與邊界面重合）Bi? 例題：等截面直肋 ,0222?tmdxtd取1)/(2?Apm?，則有 57 ?1/,10,0022?Bqdxdtxtxtdxtd A： t1 t2 t3 t4 a,tf=0 0 x 方法

34、B： t1 t2 t3 t4 t5 分析解：)1(/)()(11)(1)(2222chxshee e eeeeextx? 數(shù)值解：方法A、B；邊界節(jié)點方程：一、二階截差 解：1、方法A，三等分，四個節(jié)點：1、2、3、4，3/1?x? 節(jié)點2 ：09190)3/1(232122321?ttttttt 二階截差 節(jié)點3 ：09190)3/1(243232432?ttttttt 二階截差 節(jié)點 4： 1)3/1(34?tt（B、C向后差分）9/143?tt 一階截差 半個邊界控容積分： 31181903121)3/1(143443?ttttt 二階截差 格式 t2 t3 t4 t5 右邊界節(jié)點一階格

35、式 0.2477 0.5229 0.8563 A 右邊界節(jié)點二階格式 0.2168 0.4867 0.7497 精確解 0.2200 0.4648 0.7616 B 數(shù)值解 0.1084 0.3372 0.6035 0.7702 精確解 0.1085 0.3377 0.6048 0.7616 58 4-4 線性代數(shù)方程的求解 內(nèi)部節(jié)點離散方程：btatatawwEEpp? (4-4-1) )1(211?Nidtctbtaiiiiiii (4-4-2) 邊界節(jié)點：00,11112111?NNNNNNbdtctaNcdtbta 1 2 3 N-2 N-1 N 統(tǒng)一表示為 ?)344(0,0)344

36、(1111bbcaNidtctbtaNiiiiiii CATdddddttttttatctbtatctbtatctbtatctbtaNNNNNNNNNNNNNN?132113211111214333233222122111? 系數(shù)矩陣的非零元件集中在三條對角線性上三對角矩陣，TDMA（TriDiagonal-Matrix Algorithm） 思路：通過代入消元，使每個方程只含兩個節(jié)點溫度，從而形成上三角系數(shù)矩陣，最后一個方程則只包含一個未知節(jié)點溫度Nt，即得到Nt之值；然后回代，得到1221,ttttNN?，即對第i個方程而言，由前一方程可得 111?iiiiQtpt （4-4-5） 代入第

37、i個方程（4-4-3a）得 diQtpctbtaiiiiiiii?)(111 解出iiiiiiiiiiiiiiiiQtptpcaQcdtpcabt?11111 得 59 111?iiiiiiiiiiiiPcaQcdQpcabp消元后，上三角陣元素的遞推關(guān)系 （4-4-6） 因為01?c，所以111111/,/adQabP?； 因為NNNNQtPb?,0,0 TDMA步驟： 1、計算11111111/,/:,adQabpQp? 2、計算NiQpii,3,2,? 3、令NNQt? 4、四代計算出NiiiNNQtPttttt?11221,? TDMA方便而有效，且其所需計算機內(nèi)存及所耗機時僅N?，而

38、不是一般的N2或N3。 CTDMA 循環(huán)三對角陣算法（cycle TDMA） DTDMA 雙三對角陣算法（double TDMA） 4-5 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 與一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱相比，僅多一非穩(wěn)態(tài)項，所以僅需闡明非穩(wěn)態(tài)項的離散即可。 著重說明非穩(wěn)態(tài)項離散過程中，三種典型型線的選擇及所形成的差分格式的一些特性。 一、通用離散方程 通用控制方程，穩(wěn)態(tài)通用控制方程+非穩(wěn)態(tài)項 SxtxAxxAtc?)()(1? （4-5-1） 在時間間隔?tt內(nèi)，將上式在控制容積P上作積分： ?eweewpcAdxdtSSdxdxtAxdxdtcA?)( ?ewewpppcwedxdAtSSdxtAxtAdxttcA?)()

39、()()( 型線tx： 非穩(wěn)態(tài)項中呈階梯式分布：擴散項中呈分段線性分布；源項中為階梯式分布 60 ?xdAtSSdxttAxttAxttAcpppcwwpwwePEeepppp)()()()()()()(（4-5-2） ?t： 有三種典型形式，即顯式階躍式：?內(nèi)始終為間隔開始時之值?t，在?時刻，變?yōu)?t 隱式階梯式:.終了?t C-N格式: ?內(nèi)，t隨?作直線變化 t 0 + t0t t0t+ 全隱 c-N ?td 在這種典型型線下，溫度的積分結(jié)果可以統(tǒng)一地表示為： ?)1()1(0tffttffttd （4-5-3） 對wEpttt,均適用。式中 ?tttt?0,；f是權(quán)因子，10?f，?

40、NCf5.010全隱顯式 將（4-5-2）中各溫度的積分用式（4-5-3）表示，并經(jīng)整理，得 )()()()()1()()()()()()(wowopwweopoEeewwpwepEeeoppppxttAxttAfxttAxttAfttxAc?+xAtSSftSSfpoppcppc?)(1()( （4-5-4） 等號右邊：兩種節(jié)點溫差下導(dǎo)熱量的加權(quán)和、兩個溫度下發(fā)熱量的加權(quán)和 等號左邊：控制容積P的溫升吸熱量 上述離散方程整理為： wEopowwwoEEEppafafatfftatfftata)1()1()1()1(? +)1(xAStxASfpcoppp? 61 =xAStafafataft

41、aftfatfapcopWEopowwoEEwwEE?)1()1()1()1( =btatawwEE?'' owt opt oEt 注:1, 0 ? f時，鄰點有opowoEwEttttt, 其中 ?xAcaxAaxAappopweeeE)(,)(,)( xAfSafafaappopwEp? f=0，顯式：xAStxASaaatatatapcopppwEopowwoEEpp?)( oppaa? 此時，鄰點為owoEtt,和opt，不計熱源時，?pop w E o p wEbnaaaaaaaa 對于常物性、等截面、均勻網(wǎng)格，且無內(nèi)熱源時： 0000)(ppWpEppWpWEpEp

42、t a a a a aataataat? ?FFxaxcAxAaaaapWpE02)(?，ppaa?0 000)21(pWEptFtFtFt? f=1, 全隱格式： xAStatatatapcopopwwEEpp? xASaaaappopwEp? 此時，鄰點為WEtt,和opt，不計熱源時，?pbnaa 對于常物性、等截面、均勻網(wǎng)格，且無內(nèi)熱源時： 62 00000)21(pWpEpWpWpppEpEttFtFtFttaataataa? f=0.5, C-N格式： xAStxASaaatatatatatapcopPpWEopowwoEEwwEEpp?21212121212121 xASaaaa

43、ppopwEp?212121 此時，鄰點為tE、tW、owoEtt,和opt， ?popppwEbnaaxASaaa212121 不計熱源時，?pbnaa 對于常物性、等截面、均勻網(wǎng)格，且無內(nèi)熱源時的情形 oEopowwpwtFtFtFtFtFtF?21)1(2121)1(21 oEopowEpwtFtFtFtFtFtF?)1(2)1(2 再次強調(diào)三種典型格式的圖示： n+1 n i-1 i i+1 w p +1 E +1 nn i-1 i i+1 n+1 n i-1 i i+1 二、格式的穩(wěn)定性 概念：對于一定的差分格式，如果在某一時層上引入的誤差在其后逐層的計算中能得到控制，即逐步減小，消

44、失或保持有界，則稱格式是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的，簡說：對擾動的控制能力！ ?ftbHttnn)0()1()( H增長矩陣，（N-1）×（N-1）三對角矩陣，實對稱，其元素取決于物性、幾何、換熱。 格式的穩(wěn)定性分析：?圖法、矩陣分析法、傅里葉級數(shù)法 矩陣分析法的結(jié)構(gòu)：對于線性問題，格式穩(wěn)定的充要條件是 )(11?HHi 由于H的元素取決于物性、幾何（網(wǎng)格劃分）、邊界換熱?隨未知邊界節(jié)點溫度，)(Bftt?，所以穩(wěn)定性要針對具體情況具體確定。 對于線性問題，在第一類邊界條件和均勻網(wǎng)格下，一維非穩(wěn)態(tài)，加權(quán)格式： 63 n+1 n 展開點 10,)1()(?fnfnn? 1、15.0?f，格

45、式無條件穩(wěn)定 2、5.00?f f ，格式條件穩(wěn)定 )21(21)(2fxaFs? 非均勻網(wǎng)格，則任一網(wǎng)格的?F都要滿足上式要求，確定出最小的?（許用） 三、解的物理真實性 數(shù)值解與真解的一致性：分布（xt?），變化?t 節(jié)點?值的人布與變化受相鄰節(jié)點之間的作用所控制（支配），這種相互作用體現(xiàn)在節(jié)點系數(shù)ban：數(shù)值體現(xiàn)作用大?。环栿w現(xiàn)變化方向和趨勢物理真實性正系數(shù)法則 熱源與溫度無關(guān)時，一般加權(quán)格式：鄰點為opowoEwEttttt, ?opwEppopwEopowwwwEEppafafaaxSAtafafataftfatfata)1()1()1( 根據(jù)正系數(shù)法則，0)1()1(?wEopa

46、fafa，即0pt的系數(shù)0 等截面，均勻網(wǎng)格時 afaop)1(2? ?/,/xcaxa o p 則解的物理真實性判據(jù)為：)1(21)()1(22fxaxfxc? ?或)1(21fFr? 可見：scriticalrcriticalFF,? 四、總量平衡與解的物理真實性 前面已經(jīng)提及，總量平衡只是解的物理真實性的必要條件，而不是充分條件。 對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進行空間離散分析（集總熱容分析），可以說明顯格式為何會產(chǎn)生物理不真實的解。 64 顯格式假定相鄰節(jié)點溫度始終維持oioitt11,?，看it實際上怎樣變化？ )()(11ioiioiittxttxddtxc?能量平衡 oioiiitttddtxc1122? ?taxRCCxcRx?/,12 2/)(,21111oioiioio