輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用

1、摘 要輔助函數(shù)作為一種重要的函數(shù)對我們深入研究問題有著至關(guān)重要的作用.輔助函數(shù)的構(gòu)造是通過巧妙的數(shù)學(xué)變換,將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,這種論證思想是數(shù)學(xué)中重要而常用的數(shù)學(xué)思維集中體現(xiàn),在解決各種實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛.然而如何構(gòu)造輔助函數(shù)是解題中的一個(gè)難點(diǎn),因此我們要充分掌握輔助函數(shù)的構(gòu)造方法,并能熟練運(yùn)用輔助函數(shù)來解題.本論文首先介紹輔助函數(shù)的特點(diǎn)及構(gòu)造原則；其次,總結(jié)出構(gòu)造輔助函數(shù)的方法,在每種方法后配有相應(yīng)的例題,這樣能夠幫助大家更好的理解輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：輔助函數(shù),構(gòu)造方法,應(yīng)用The Structure and Application o

2、f Auxiliary FunctionAbstract：Auxiliary function as an important function for our further research issues has a vital role. The structure of the auxiliary function is a mathematical transformation, which can transform the general problems into special questions, the complex problems into simple probl

3、ems. This thought is an important and commonly used in the mathematical argument concentrated expression of mathematical thinking, in solving various practical problems in the application is very broad. However, how to construct auxiliary function is a difficulty of the problem solving, so we should

4、 fully grasp the structure method of auxiliary function, and skillfully use the auxiliary function to problem solving. This paper first introduces the characteristics of the auxiliary function and principle of structure; second, summarizes the structure method of auxiliary function, after each metho

5、d is equipped with the corresponding examples, which can help people better understand the application of the auxiliary function in problem solving.Keywords: Auxiliary Function, Construction method , Application 目 錄一、引一、引 言言 .1二、輔助函數(shù)的特點(diǎn)及構(gòu)造二、輔助函數(shù)的特點(diǎn)及構(gòu)造 .1三、輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用三、輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用 .2（一）微分方程法 .2（二）積分構(gòu)造法

6、 .3（三）觀察聯(lián)想法 .3（四）參數(shù)變易法 .4（五）常數(shù)K值法 .5（六）綜合分析法 .7（七）待定因子法 .7（八）行列式法 .8（九）變量替換法 .9（十）積分定義法 .10（十一）零點(diǎn)構(gòu)造法 .10（十二）函數(shù)連續(xù)法 .11四、結(jié)束語四、結(jié)束語 .12五、致謝五、致謝 .12六、參考文獻(xiàn)六、參考文獻(xiàn) .130一、引 言輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)及一些其它學(xué)科中的應(yīng)用都非常廣泛.輔助函數(shù)構(gòu)造法不僅是數(shù)學(xué)證明中廣泛使用的一種很有用的方法,而且是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助問題的一種.輔助函數(shù)是依據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)及其它一些相關(guān)信息而構(gòu)造成的函數(shù),再利用這個(gè)函數(shù)所滿足的條件進(jìn)行求解.構(gòu)造輔助函數(shù)是

7、將原來的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為比較容易解決的輔助函數(shù)問題.這就要求我們不僅要掌握數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ),更要全面把握數(shù)學(xué)問題所提供的信息,即問題本身的特點(diǎn)、背景以及與其它問題之間的關(guān)系,運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想,經(jīng)過認(rèn)真、仔細(xì)的觀察,深入的思考,才能構(gòu)造出符合問題條件的輔助函數(shù).這一構(gòu)造過程是一個(gè)從特殊到一般的過程,而運(yùn)用輔助函數(shù)返回去解決原數(shù)學(xué)問題又是一個(gè)從一般到特殊的過程.構(gòu)造輔助函數(shù)是一種創(chuàng)造性的思維過程,具有較大的靈活性,需要技巧.二、輔助函數(shù)的特點(diǎn)及構(gòu)造構(gòu)造法,是按一定方式,經(jīng)過有限次步驟能夠?qū)崿F(xiàn)的方法,在解題時(shí)常表現(xiàn)的是不對問題本身求解,而是構(gòu)造一個(gè)與問題有關(guān)的輔助函數(shù)問題進(jìn)行求解.輔助函數(shù)具有兩個(gè)顯著的

8、特點(diǎn):直觀性和可行性.輔助函數(shù)還有許多基本特點(diǎn).首先,輔助函數(shù)在題設(shè)中沒有,在結(jié)論中也沒有,僅是解題中間過程中構(gòu)造出來的,類似于平面幾何中的輔助線,起輔助解題的作用;其次,同一個(gè)命題可構(gòu)造多個(gè)輔助函數(shù);再次,構(gòu)造輔助函數(shù)的思想較寬廣.輔助函數(shù)的這些特點(diǎn)決定其在解題中的重要性,由于不同的輔助函數(shù)直接關(guān)系到解題的難易,因此構(gòu)造最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是關(guān)鍵.那么如何構(gòu)造最恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)呢?事實(shí)上,我們在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí),必須遵循一定的原則.因?yàn)檩o助函數(shù)的構(gòu)造具有一定的規(guī)律,當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法按定勢思維去考慮很難解決時(shí),可根據(jù)已知條件和結(jié)論的特點(diǎn)、性質(zhì)展開聯(lián)想,進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式.構(gòu)造輔助函

9、數(shù)的原則:首先,將未知化為已知.在一元微積分學(xué)中許多定理的證明都是在分析所給命題的條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),從而將要證的問題轉(zhuǎn)化為可利用的已知結(jié)論來完成;其次,將復(fù)雜化為簡單.一些命題較為復(fù)雜,直接構(gòu)造輔助函數(shù)往往較困難,這時(shí)可以通過恒等變形,把復(fù)雜的式子轉(zhuǎn)化為簡單明了的等式,從中尋找恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),以達(dá)到解決問題的目的;再次,利用幾何特征.在許多教科書中,微分中值定理的證明是利用對幾何圖形的分析,探索輔助函數(shù)的構(gòu)造,然后加以證明.接下來介紹幾種構(gòu)造輔助1函數(shù)的方法.三、輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用（一）微分方程法微分方程法是指通過求一個(gè)常微分方程的通解而構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.構(gòu)造出輔助函數(shù)

10、的步驟:第 1 步:將命題中的換成;x第 2 步:移項(xiàng),使等式一邊為零,得一個(gè)常微分方程;第 3 步:求得常微分方程的通解,在通解中的常數(shù)令為零可得輔助函數(shù).例 1.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),且滿足關(guān)系.( )f x0,1 1202( )1xf x dxf證明：至少存在一點(diǎn),使得 .0,1( )( )0ff分析：令,x則-.( )( )0ff( )fx( )f xx0( )( )fxf x1x積分得-,（令）.ln( )f xln xlnc( )f xcx xf xc0c 于是輔助函數(shù)為:.( )( )F xxf x證明：構(gòu)造輔助函數(shù),( )( )F xxf x由條件知在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).( )( )F

11、 xxf x0,10,1根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點(diǎn),使得=0,1(1)f 1202xf x dx.( )f又可知,(1)F(1)f( )F( )f所以對于,由羅爾中值定理,至少存在一點(diǎn),使得( )F x( )xf x,1,即,( )F0( )f( )f0進(jìn)一步化簡就是.( )f( )f02（二）積分構(gòu)造法在應(yīng)用微分中值定理時(shí),結(jié)論常會出現(xiàn)與 或者等有關(guān)的等( )f( )f式.我們將所要證明問題的結(jié)論中的換成后,移項(xiàng)使等式右端為,經(jīng)過x0適當(dāng)恒等變形,通常等式左端即為所要構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).在很( )F x( )Fx多情況下,我們對等式左端進(jìn)行表達(dá)式積分就可以將函數(shù)還原出來.然( )F x后

12、利用就能構(gòu)造出適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù).我們再驗(yàn)證輔助函數(shù)是否滿足微( )F x分中值定理的條件,若條件滿足就可應(yīng)用中值定理證明.這就是積分構(gòu)造法.例 2.設(shè),且.0,1fD( )x20( )xt f t dt(1)(1)f證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得-.0,1( )f2 ( )f分析:將欲證等式中的換成,然后對該等式變形得x( )xfx2 ( )f x,兩邊同時(shí)乘以可得一簇函數(shù).并令積分常數(shù),即0 x( )F x0C ( )F x.2( )x f x證明：構(gòu)造輔助函數(shù),由已知可知在上連續(xù),( )F x2( )x f x( )F x0,1在內(nèi)可導(dǎo),且利用積分中值定理,0,1 (),(1)F(1)f(1)

13、211( )f101又,1( )F211( )f故在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以在內(nèi)( )F x 1,10,11,10,1至少有一點(diǎn),使得:=,( )F 2xx f x2( )f2( )f0即: -.( )f2 ( )f（三）觀察聯(lián)想法在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的微分法后,做了一定量的習(xí)題,有了一定程度的積累后,對于一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,我們就會很熟悉.下面我們列出一些常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式:（1）,1( )( )( )kkkx f xkxf xx fx（2）,2( )( )( )()f xfx xf xxx3（3）,2( )( ) ( )( )( )()( )( )f xfx g xf

14、x g xg xgx（4）,( )( )( )xxef xefxf x（5）,( )( )( )xxef xefxf x當(dāng)我們通過積分構(gòu)造法和微分構(gòu)造法不易構(gòu)造出輔助函數(shù)時(shí),我( )F x們可以觀察所要證明等式的結(jié)論形式,看它是否與我們常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式相似或相同.當(dāng)兩者相似或相同時(shí),我們可以立即聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式左端括號內(nèi)的函數(shù)就是我們所要構(gòu)造的輔助函數(shù).這就是觀察聯(lián)想法.( )F x例 3.已知函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式: ,且( )f x, ( )( )fxf x;(0)1f求.( )f x分析:此題由,很容易想到有可能,而( )( )fxf x(0)1f( )xf xe,( )( )( )xxef

15、 xefxf x當(dāng)時(shí),由于,所以有1( )( )( )xxef xefxf x( )( )fxf x,故作輔助函數(shù),則( )( )( )0 xxef xefxf xxexfxF)()(,再根據(jù)條件證明即可.( )0Fx ( )1F x 解:作輔助函數(shù),則,xexfxF)()( )( )( )xxFxfx ef x e,( )( )fxf x,即,( )0Fx ( )F xC令,得,0 x 0(0)01FfeC ,從而有. 1xF xf x e( )xf xe（四）參數(shù)變易法參數(shù)變易法是指把命題中的某個(gè)參數(shù)“變易”為變量,從而構(gòu)造出x相應(yīng)的輔助函數(shù)的方法.命題的證明思路:4第 1 步:將命題中的

16、某一參數(shù)(或)換成;abx第 2 步:移項(xiàng),使等式一邊為零,則另一邊即是所求輔助函數(shù);( )F x第 3 步:根據(jù)有關(guān)定理完成命題的證明.例 4.設(shè),是在上連續(xù)增加函數(shù),( )f t( )g t, a b,0.a b 證明：. bbbaaaf t dtg t dtbaf t g t dt證明：把上式中的換成,移項(xiàng).然后作輔助函數(shù)bx. xxxaaaF xf t dtg t dtxaf t g t dt由于 xxaaFxf xg t dtg xf t dt xaf t g t dtxa f x g x xxaaf x g t dtg x f t dt xxaaf t g t dtf x g x

17、dt .xaf xf tg xg tdt 又,均為連續(xù)增加函數(shù),因此,為減少函數(shù),( )f t( )g t 0Fx ( )F x.( )( )0F bF a即 . 0bbbaaaf t dtg t dtbaf t g t dt所以. bbbaaaf t dtg t dtbaf t g t dt（五）常數(shù)K值法此法適用于從結(jié)論中可分離出常數(shù)部分的命題,構(gòu)造出輔助函數(shù)的具體步驟如下:( )F x(l)從結(jié)論中分離出常數(shù)部分,將它令為;k(2)做恒等變換,使等式(或不等式)一端為及構(gòu)成的代數(shù)式,另a( )f a一端為和構(gòu)成的代數(shù)式;b( )f b(3)分析端點(diǎn),的表達(dá)式是否為對稱式或輪換式.若是,將

18、端點(diǎn)改為ab,相應(yīng)的函數(shù)值 (或)改為,則關(guān)于,的表達(dá)式即為x( )f a( )f b( )f xx( )f x5所求的輔助函數(shù).( )F x例 5.設(shè),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).0ba( )f x, a b, a b證明:,使得 ., a b 2( )( )( )( )af bbf aab baff分析 : 分離,與,則ab2( )( )( )( )af bbf aab baff.( )( )()af bbf aab ba2( )( )ff則上式的左端是關(guān)于,的對稱式,令其為,得abk( )( )af bbf akab ba22( )( )af bkabbf aka b.22( )( )f bkb

19、f akaba于是,可令=.( )F x2( )f xkxx( )f xkxx證明:引入輔助函數(shù),( )( )f xF xkxx由題設(shè)知,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo), 且( )F x, a b, a b2( )( )( )( )af bbf aab baff.( )( )()af bbf aab ba2( )( )ff令,則有,即,( )( )()af bbf akab ba22( )( )f akaf bkbab( )( )F aF b所以由羅爾定理知,使, a b ( )0F,2( )( )( )0ffFk,2( )( )ffk所以,2( )( )( )( )()af bbf affkab ba即

20、 .2( )( )( )( )af bbf aab baff6（六）綜合分析法從欲證的結(jié)論出發(fā)借助于邏輯關(guān)系及已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系,推導(dǎo)出所需要的結(jié)論.例 6.設(shè):.bae試證:.baab分析:所證形式為冪指數(shù)形式,而處理該類問題通常采用取對數(shù)轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的形式.由于,若,即,即-0.baebaablnbalnablnbalnab令=-,當(dāng)時(shí),知單調(diào)遞增,則得證.( )f xlnxalnaxxae( )f x利用輔助函數(shù)證明有關(guān)命題時(shí),關(guān)鍵是認(rèn)真分析,巧妙構(gòu)造適當(dāng)輔助函數(shù),而恰當(dāng)?shù)剌o助函數(shù)要根據(jù)命題的結(jié)論的具體形式及有聯(lián)系的定理來構(gòu)造.（七）待定因子法在一些問題中,有時(shí)難以用積分構(gòu)造法直

21、接構(gòu)造出符合題設(shè)要求且滿足中值定理?xiàng)l件的輔助函數(shù).這時(shí)我們可以構(gòu)造含有待定因子的輔助( )P x函數(shù),然后根據(jù)其他已知條件求出待定因子.這樣就得到了符合( )F x( )P x要求的輔助函數(shù).這種方法叫做待定因子法.( )F x例 7.設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)且=.( )f x0,1(0)f(1)f求證:至少存在一點(diǎn),使得.0,12( )( )1ff分析: 這是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題,要用到羅爾定理.通過積分,注意到,( ( )(1)( )2( )(1)( )f xxfxfxxfx很自然令=.但是得不到=,無助于解( )F x( )(1)( )f xxfx(0)F(1)F決問題.緊接著我們考慮尋找的兩個(gè)等

22、值點(diǎn)或者重新構(gòu)造一個(gè),( )F x( )F x使成為的一個(gè)因子.依題意,令=,2( )(1)( )fxxfx( )Fx( )F x( )P x( )fx則 ( )( )( )( )( )FxP x fxP x fx(2( )(1)( )fxxfx,( )21dPP xdxx7,21dPdxPx得,所以.2lnln(1)PxlnC2( )(1)P xC x取,有.1C 2( )(1)( )F xxfx證明 : 因?yàn)樵谏峡蓪?dǎo),且,( )f x0,1(0)f(1)f由羅爾定理知,存在,使.00,1x 0()0fx令,則,且在上可導(dǎo),由羅2( )(1)( )F xxfx0(1)()0FF x( )F

23、x0,1爾定理知存在,使:0,1x,( )(1)(2( )(1)( )0Fff又,從而: ,12( )(1)( )0ff即:,.2( )( )1ff0,1（八）行列式法此法是通過平面三角形面積的坐標(biāo)表達(dá)式,建立適當(dāng)?shù)男辛惺胶瘮?shù)用作輔助函數(shù).例 8.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo).( )f x, a b, a b試證:存在,使., a b222( )( )()( )f bf abaf分析:結(jié)論移項(xiàng)為: ,222( )( )()( )0f bf abaf即,222202( )1( )102+( )= 1( )1( )11( )ff aafaf af bbbf b將上述行列式中換為,并求出原函數(shù),x( )F

24、x,2221( )( )1( )1( )xf xF xaf abf b即為要找的輔助函數(shù).證明：作輔助函數(shù)8,2221( )( )1( )1( )xf xF xaf abf b易驗(yàn)證,又在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且( )( )0F aF b( )F x, a b, a b,22( )2( )( )( )()Fxx f bf afx ba 由羅爾定理知,至少存在,使,即, a b( )0F,222( )( )()( )0f bf abaf亦即 .222( )( )()( )f bf abaf（九）變量替換法證明等式是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容之一,根據(jù)等式特征引入輔助函數(shù),將大大簡化證明過程.例 9.證明:.2

25、22211()0aaadxadxfxf xaxxxx分析:觀看等式左右兩邊,發(fā)現(xiàn)等式左右兩邊函數(shù)的自變量和同fx2x形,于是令“”,從而使左邊化簡為積分,再比較這個(gè)2tx2211()2aadtf ttt積分的上限與右端積分的上限是兩者唯一的區(qū)別,因此這又提示我們2aa分此積分為兩段,得,2222211111()()()222aaaaadtadtadtf tf tf ttttttt再由這個(gè)積分與原證明等式比較,只需證明,222111()()22aaaadtadtf tf ttttt再令“”,則得2atu.22211()()aaadtadtf tf uttut證明: 令,則.2xt22222111

26、2aaadxadtfxftxxtt9又因?yàn)?2222211111222aaaaadtadtadtftftfttttttt于是再令,即,2atu2aut所以.2212aaadtfttt2112aadufuuu2112aadtfttt于是有,222222112212121121122()().aaaaaaaadxadtfxftxxttadtadtftftttttadtf tttadxf xxx（十）積分定義法例 10.求111lim.12nnnnn分析:此題求數(shù)列的極限,如果直接用數(shù)列極限的有關(guān)方法來求解比較麻煩,但如果我們利用輔助函數(shù)并根據(jù)定積分的定義就可以較容易地解決問題.解:,11112nn

27、nn1111niinn又在上連續(xù),從而可積,( )f x11x0,1.111lim12nnnnn111lim1nniinn1011dxxln2（十一）零點(diǎn)構(gòu)造法解方程,實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)的零點(diǎn).關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問題( )f x0( )f x一般是利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及微分中值定理來解決.10例 11.已知在上非負(fù)連續(xù),且.( )f x0,1(0)(1)0ff求:對任意實(shí)數(shù),必存在,使得,且(01)aa00,1x 00,1xa.00()()f xf xa分析:此題要證,即可證.00()()f xf xa00()()0f xf xa由此想到可構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),使得在點(diǎn)處取得的函數(shù)值( )F x( )F x0 x為 0,進(jìn)而得證.證明:作輔助函數(shù),則有. F( )()xf xf xa(0)( )0Ff a 因此有.而在連續(xù),由連續(xù)函數(shù)介值F 1(1)0afa( )F x0,1a定理,存在,使得,即.00,1xa0()0F x00()()f xf xa（十二）函數(shù)連續(xù)法有的問題不能直接用積分限求導(dǎo)公式來計(jì)算,此時(shí)我們可以試著把被積函數(shù)變換一下,從而構(gòu)造出新的