伯樂(lè)教育--第二冊(cè)第一章立體幾何初步

1、 紙上得來(lái)終覺(jué)淺 絕知此事要躬行第一章：立體幾何初步【考綱要求】1柱、錐、臺(tái)、球以及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征是基礎(chǔ)，以它們?yōu)檩d體考查線(xiàn)面位置關(guān)系是重點(diǎn)2柱、錐、臺(tái)、球的表面積、體積的考查常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)3對(duì)三視圖的考查呈逐年增強(qiáng)的趨勢(shì)，既有選擇題、填空題又有解答題，應(yīng)引起高度重視4近年來(lái)，高考命題由考查知識(shí)向考查能力方向轉(zhuǎn)變，題目新穎，靈活性強(qiáng)，立體幾何試題經(jīng)常是以簡(jiǎn)單幾何體為載體，考查線(xiàn)面位置關(guān)系，以中檔題為主【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】一 、空間幾何體（一） 空間幾何體的類(lèi)型 1 多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱

2、與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。 2 旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。（二） 幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1 、棱柱的結(jié)構(gòu)特征 1.1 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1 棱柱 1.2 棱柱的分類(lèi)棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱棱長(zhǎng)都相等正方體性質(zhì)：、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等； 、兩底面是全等多邊形且互相平行；、平行于底面的截面和底面全等；

3、1.3 棱柱的面積和體積公式（是底周長(zhǎng)，是高）2 、棱錐的結(jié)構(gòu)特征 2.1 棱錐的定義 （1） 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。（2）正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 2.2 正棱錐的結(jié)構(gòu)特征ABCDPOH 、 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；、 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；

4、 正棱錐側(cè)面積：（為底周長(zhǎng)，為斜高）體積：（為底面積，為高）正四面體：對(duì)于棱長(zhǎng)為正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體問(wèn)題。對(duì)棱間的距離為（正方體的邊長(zhǎng)）正四面體的高（）正四面體的體積為（）正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為（）3 、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征3.1 棱臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái)。3.2 正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 （1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；（2）正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形； （3）正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形； （4）各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)。4 、圓柱的結(jié)構(gòu)特征4.1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為

5、旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2 圓柱的性質(zhì)（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓； （2）過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線(xiàn)長(zhǎng)為鄰邊的矩形。4.4 圓柱的面積和體積公式 (為底面半徑，為圓柱的高) 5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征5.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2 圓錐的結(jié)構(gòu)特征 （1） 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； （2）軸截面是等腰三角形；圖1-5 圓錐 （3）母線(xiàn)的平方

6、等于底面半徑與高的平方和： 5.3 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線(xiàn)長(zhǎng)為半徑的扇形。6、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 6.1 圓臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為圓臺(tái)。 6.2 圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓； 圓臺(tái)的截面是等腰梯形； 圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。 6.3 圓臺(tái)的面積和體積公式(無(wú)需記憶) (r、R為上下底面半徑) (h為圓臺(tái)的高) 7 球的結(jié)構(gòu)特征 7.1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成

7、的幾何體稱(chēng)為球體。 7-2 球的結(jié)構(gòu)特征2 球心與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面； 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差： 7-3 球與其他多面體的組合體的問(wèn)題 球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類(lèi)型，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是： 根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫(huà)出立體圖形； 找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖； 將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題； 注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線(xiàn)； 球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。 7-4 球的面積和體積公式 (為球半徑) （三）空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積棱柱

8、、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和圓柱的表面積 ： 圓錐的表面積：圓臺(tái)的表面積： 球的表面積：扇形的面積公式（其中表示弧長(zhǎng)，表示半徑，表示弧度）空間幾何體的體積柱體的體積 ： 錐體的體積 ： 臺(tái)體的體積 ：（無(wú)需記憶） 球體的體積： （四）空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖 正（主）視圖：光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。 側(cè)（左）視圖：光線(xiàn)從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。 俯視圖：光線(xiàn)從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。畫(huà)三視圖的原則：正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣注：球的三視圖都是圓；長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形直觀(guān)圖：斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：（1）平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平

9、行于坐標(biāo)軸；（2）平行于軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于，軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（3）畫(huà)法要寫(xiě)好用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖【精益求精】第一類(lèi)：幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.柱中（ ）A、只有兩個(gè)面平行B、所有的棱都相等C、所有的面都是平行四邊形D、兩底面平行，且各側(cè)棱也平行2.下列命題中，正確的是（ ）A、有一個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 B、有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C、有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱 D、底面是正多邊形的棱柱是直棱柱3.棱柱是正四棱柱的條件是（ ）A、底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面B、每個(gè)側(cè)面都是全等的矩形C、底面是正方形，且有一個(gè)頂點(diǎn)處的三

10、條棱兩兩垂直D、底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形4.三個(gè)命題（1）底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。（2）底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體。（3）直四棱柱是直平行六面體。以上命題中正確的序號(hào)為 。5.四個(gè)命題：（1）各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；（2）三條側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；（3）底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；（4）頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的三棱錐必是正三棱錐其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6.題中的真命題是（ ）（A）以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；（B）以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；（C）圓柱、圓錐、

11、圓臺(tái)的底面都是圓；（D）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑.7. 給出四個(gè)命題：其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） 各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； 各對(duì)角面是全等矩形的平行六面體一定是長(zhǎng)方體； 有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長(zhǎng)方體一定是正四棱柱。 A. 0B. 1C. 2D. 3 8. 下列四個(gè)命題： 各側(cè)面是全等的等腰三角形的四棱錐是正四棱錐； 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； 棱錐的所有面可能都是直角三角形； 四棱錐中側(cè)面最多有四個(gè)直角三角形。 正確的命題有_個(gè) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.列命題中，假命題是 。（選出所有可能的答案）（1）

12、有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱（2）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)（3）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體10.個(gè)命題中，正確的有（ ）用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)。A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)11下列命題中正確的有_.平行于圓錐某一母線(xiàn)的截面是等腰三角形；平行于圓臺(tái)某一母線(xiàn)的截面是等腰梯形；過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形；在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；圓錐的頂點(diǎn)和底面的

13、圓周上一點(diǎn)的連線(xiàn)是圓錐的母線(xiàn)。12.用平面去截正方體，所得的截面不可能是（ ）. A. 六邊形 B. 菱形 C. 梯形 D. 直角三角形第二類(lèi)：幾何體的結(jié)構(gòu)特征13.正四棱錐的高為，側(cè)棱的長(zhǎng)為，則側(cè)面上的斜高為多少？14.正三棱臺(tái)的高為3cm上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm。求這棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高。15.如圖，正四棱臺(tái)AC的高是17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高. 第三類(lèi)：投影問(wèn)題16.如圖，在正四面體ABCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是 。 17.如圖，E、F分別為正方體的面A

14、DD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）.18.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1，C1D1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，則空間四邊形AEFG在該正方體各面上的正投影不可能是（ ）第四類(lèi)：最值問(wèn)題19如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為()A8 B10C12 D1620.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的

15、最短距離是 。21.如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)PB的長(zhǎng)為6，D為PB的中點(diǎn)一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為 。22.已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，且AOA1=120，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A則螞蟻爬行的最短路程長(zhǎng)為 。第五類(lèi)：斜二測(cè)畫(huà)法23.是正ABC的斜二測(cè)畫(huà)法的水平放置圖形的直觀(guān)圖，若的面積為，那么ABC的面積為_(kāi)。24.如圖所示，梯形是一平面圖形的直觀(guān)圖. 若，. 請(qǐng)畫(huà)出原來(lái)的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.25.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形，有下列說(shuō)法：三角形的直觀(guān)圖仍是三角形；正方

16、形的直觀(guān)圖仍是正方形；平行四邊形的直觀(guān)圖仍是平行四邊形；菱形的直觀(guān)圖仍是菱形. 其中說(shuō)法正確的序號(hào)依次是 .第六類(lèi)：三視圖26.畫(huà)三視圖畫(huà)出有一條側(cè)棱正對(duì)著你的正三棱柱，其中底面邊長(zhǎng)為2cm，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm.畫(huà)出有一條側(cè)棱正對(duì)著你的正四面體，其棱長(zhǎng)為2cm.畫(huà)出有一個(gè)側(cè)面正對(duì)著你的正四棱錐，所有棱長(zhǎng)均為2cm27. 一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個(gè)正三棱錐的表面積。28.如圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，俯視圖輪廓為正方形，則其體積是（ ）. A B . C. D . 29.如圖是一個(gè)空間幾何體的主視圖（正視圖）、側(cè)視圖、俯視圖，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)

17、均為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）.A1 B C D30.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是 31.三視圖如下圖的幾何體是 （ ）A.三棱錐 B.四棱錐 C.四棱臺(tái) D.三棱臺(tái)32.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為 ( )第七類(lèi)：表面積與體積33如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。34. 一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積為側(cè)面積的比是（ ） A. B. C. D. 35. 若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量

18、得水面的高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是（ ） A.B. C. D. 36.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（ ）A. B. C. D. _A_B_D_C_E_F37.如圖，在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,EFAB,且EF與平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為( )A、 B、5 C、6 D、38.一個(gè)棱臺(tái)的上、下底面積之比為4：9，若棱臺(tái)的高是4cm，求截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高 。39.兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)大球，則大球的表面積 ( ) A. B. C. D. 40.若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，則該棱柱的體積等于( ). . . .41如圖，在三棱柱中，若、分別為、的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為、的兩部分，那么_.第八類(lèi)：球中問(wèn)題42.一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（ ）A、B、C、D、43.兩平行平面截半徑為13的球，若截面面積分別為25、144 ，則這兩個(gè)平面間的距離是_ 44.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別是3、4、5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積（ ） A、 B、