數(shù)學(xué)物理方法 復(fù)變函數(shù)的積分

1、數(shù)學(xué)物理方法2015.02第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第一節(jié)第一節(jié) 積分的概念及性質(zhì)積分的概念及性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) Cauchy定理定理第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02概念概念設(shè)C是z平面上一分段光滑的曲線，函數(shù) f(z)在C上定義。分割：求和：取極限：njjjjCzzfdzzf11)(lim)(第一節(jié)第一節(jié) 積分的概念及性質(zhì)積分的概念及性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法2015.02性質(zhì)性質(zhì)CCCdzzgBdzzfAdzzBgzAf)()()()(2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzf的逆向是其中CCd

2、zzfdzzfCC,)()(CCdzzfdzzf)()(的長度為其中ClzfMMldzzfC|,)(|max,)(第一節(jié)第一節(jié) 積分的概念及性質(zhì)積分的概念及性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法2015.02路積分的計算方法路積分的計算方法1.歸為二元函數(shù)的第二型積分來計算，計算公式為2. 參數(shù)方程的表達形式C: z=z(t) (t: )CCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxudzzf),(),(i),(),()(dttztzfdzzfC)()()(第一節(jié)第一節(jié) 積分的概念及性質(zhì)積分的概念及性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例舉例CzdzRe其中：(1) C為由原點到(2,0)再到(2,1)的折線； (2) C

3、為由原點到 (2,1)的直線Cdzz其中：C為圓周x=asint, y=acost (0t2)1, 01i,2)(nnazdzCn其中：C為以a為中心以為半徑的圓周第一節(jié)第一節(jié) 積分的概念及性質(zhì)積分的概念及性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方法2015.02單連通區(qū)域上的單連通區(qū)域上的Cauchy定理定理如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域G內(nèi)解析，則沿G內(nèi)的任何一條光滑的閉合曲線C有0)(Cdzzf第二節(jié)第二節(jié) Cauchy定理定理數(shù)學(xué)物理方法2015.02推廣推廣0)(Cdzzf如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域G內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則沿 上的任何一條光滑的閉合曲線C（當(dāng)然包括 的邊界）有GGG舉例舉例02211|2zdzz

4、z證明：x yO1-1-1+i-1-i第二節(jié)第二節(jié) Cauchy定理定理數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)連通區(qū)域上的復(fù)連通區(qū)域上的Cauchy定理定理njCCjdzzfdzzf1)()(0設(shè)G是由C0 , C1, C2 , , Cn圍成的多連通區(qū)域，函數(shù)f(z)在G內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則有G第二節(jié)第二節(jié) Cauchy定理定理數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例舉例2|) 1(13zdzzzz計算積分：2|211zdzz計算積分：dzzzz212計算積分：其中為包含|z|=1在內(nèi)的任何正向的閉曲線x yO2-21xyO1x y-12-21第二節(jié)第二節(jié) Cauchy定理定理數(shù)學(xué)物理方法2015.02原函數(shù)的

5、概念原函數(shù)的概念若F(z)= f(z)，則稱F(z)是f(z)的原函數(shù)，其中zB，B是單連通區(qū)域第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分數(shù)學(xué)物理方法2015.02設(shè) f(z)是單連通區(qū)域B內(nèi)的解析函數(shù)，由Cauchy定理知：沿B內(nèi)任一路徑的積分l f(z)dz只與起點、終點有關(guān)，而與在B內(nèi)的積分路徑無關(guān)，因此當(dāng)起點z0B固定時，這樣該積分就定義一個關(guān)于終點z的單值函數(shù)，記作結(jié)論結(jié)論zzdfzF0)()(則F(z)是 f(z)的原函數(shù)。zz0B第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分數(shù)學(xué)物理方法2015.02不定積分不定積分函數(shù) f(z)的原函數(shù)的一般表達式F(z)+C（其中C 是任

6、意常數(shù)）被稱為函數(shù) f(z)的不定積分，記作CzFdzzf)()(兩個原函數(shù)的差是一個常數(shù)。說明第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分數(shù)學(xué)物理方法2015.02若函數(shù) f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，而F(z)是它的一個原函數(shù)，則有結(jié)論結(jié)論)()()(1221zFzFdzzfzz其中z1, z2 B。z2z1B第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例舉例10coszdzz計算積分：idzzz11) 1ln(計算積分：沿區(qū)域 Imz0, Rez0 內(nèi)的圓弧|z|=11, 01i,2)(|nnazdzazn計算積分：第三節(jié)第三節(jié) 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不

7、定積分數(shù)學(xué)物理方法2015.02單連通域上的單連通域上的Cauchy積分公式積分公式設(shè) f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則對B內(nèi)任一點 ，有BBdzzzff)(i21)()(i2)(fdzzzfB或BB第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)連通域上的復(fù)連通域上的Cauchy積分公式積分公式 njCCjdzzzfdzzzff1)(i21)(i21)(0設(shè)B是由C0 , C1, C2 , , Cn圍成的多連通區(qū)域，函數(shù)f(z)在B內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則對B內(nèi)任一點 ，有B第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例舉例3|i 2

8、zdzzz計算積分：3|2) 1(zzdzzze計算積分：第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02無窮域上的無窮域上的Cauchy積分公式積分公式設(shè) f(z) 在簡單閉合曲線C上及C外（包括無窮遠點）是單值解析的，我們來計算積分Cdzazzf)(i21其中a是外C一點，積分路徑C的走向是順時針方向，即繞無窮遠點的正向)()(faf第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例舉例1|i 2/1zdzzz計算積分：1|/1i 2zzdzze計算積分：特別地，當(dāng) f() = 0 時，有如果 f(z) 在簡單閉合曲線C上及C外解析，且當(dāng)z時， f(z)一致地趨于零，則有)()(i21afdzazzfC第四節(jié)第四節(jié) Cauchy積分公式積分公式數(shù)學(xué)物理方法2015.02高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式設(shè) f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則f(z)在B內(nèi)任一點 ，有各階導(dǎo)數(shù)，且BBnndzzzfnf1)()()(i2!)