高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案

1、酷酷酷啦啦啦第2講函數(shù)的應(yīng)用考情考向分析1.求函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題熱點一函數(shù)的零點1零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐

2、標例1(1)(2018·北京朝陽區(qū)模擬)方程4sin x在2,4內(nèi)根的個數(shù)為()A6 B7 C5 D8答案D解析由原方程得2sin x，同一坐標系中作出函數(shù)y1和y22sin x的圖象如圖所示由圖象可知，共有8個交點，故選D.(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)，且當(dāng)x4,1)時，f(x)，g(x)2sin x是以1為最小正周期的函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)，x3,5的所有零點之和等于()A17 B16 C4 D2答案A解析因為函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)，所以f(1)0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱，因為g(x)2sin x是以

3、1為最小正周期的函數(shù)，所以2，g(x)2sin 2x.令F(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)又當(dāng)x4,1)時，f(x)，所以可作出當(dāng)x3,5時，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示，根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點及函數(shù)圖象的對稱性可設(shè)交點的橫坐標由左到右依次為x1，x2，x3，x16，交點的橫坐標間的關(guān)系為x1x162，x2x152，x3x142，x8x92，所以F(x)f(x)g(x)，x3,5的所有零點之和等于1x1x2x3x4x15x1612×817，故選A.思維升華函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有(1)函數(shù)零點大致存在區(qū)間的確定(2)零點個數(shù)的確定(3)兩函數(shù)圖象

4、交點的橫坐標或有幾個交點的確定解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解跟蹤演練1(1)(2018·安慶模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)在(0，)內(nèi)的零點有()A3個 B2個 C1個 D0個答案B解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期為2，作函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖中，g(3)3log23>1f(3)，g(5)3log25<1f(5)，可得有兩個交點，所以選B.(2)已知函數(shù)f(x)滿足：定義域

5、為R；xR，都有f(x2)f(x)；當(dāng)x1,1時，f(x)|x|1，則方程f(x)log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個數(shù)是()A5 B6 C7 D8答案A解析畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解熱點二函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解例2(1)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當(dāng)x1,0時，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(3,5)解析偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)，且當(dāng)x1,0時，f(x)x2，f(x2)f(x

6、11)f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有3個交點當(dāng)0<a<1時，函數(shù)圖象無交點，數(shù)形結(jié)合可得a>1且解得3<a<5.(2)(2018·全國)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()A1,0) B0，)C1，) D1，)答案C解析令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標系中畫出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象

7、有2個交點，平移yh(x)的圖象可知，當(dāng)直線yxa過點(0,1)時，有2個交點，此時10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時，僅有1個交點，不符合題意；當(dāng)yxa在yx1下方，即a>1時，有2個交點，符合題意綜上，a的取值范圍為1，)故選C.思維升華(1)方程f(x)g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點的個數(shù)(2)關(guān)于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數(shù)yf(x)的值域跟蹤演練2(1)已知函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)k0有唯一一個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是_答案0,1)(2，)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0k<1或

8、k>2時符合題設(shè)(2)(2018·天津)已知a>0，函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是_答案(4,8)解析作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖l1是過原點且與拋物線yx22ax2a相切的直線，l2是過原點且與拋物線yx22axa相切的直線由圖可知，當(dāng)直線yax在l1，l2之間(不含直線l1，l2)變動時，符合題意由消去y，整理得x2ax2a0.由10，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由20，得a4(a0舍去)綜上，得4<a<8.熱點三函數(shù)的實際應(yīng)用問題解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并

9、要注意定義域其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答例3經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/時)(50x120)的關(guān)系可近似表示為：y(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？解(1)當(dāng)x50,80)時，y(x2130x4 900)

10、(x65)2675，當(dāng)x65時，y有最小值×6759.當(dāng)x80,120時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時，y有最小值10.因為9<10，故當(dāng)x65時每小時耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知ly·.當(dāng)x50,80)時，ly·16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時，l取得最小值16.當(dāng)x80,120時，ly·2為減函數(shù)當(dāng)x120時，l取得最小值10.因為10<16，所以當(dāng)速度為120千米/時時，總耗油量最少思維升華(1)解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際

11、問題中去(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法跟蹤演練3為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？解(1)由題意可知，二

12、氧化碳的每噸平均處理成本為x2002200200，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x400時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元(2)設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因為400x600，所以當(dāng)x400時，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能使該單位不虧損.真題體驗1(2016·天津改編)已知函數(shù)f(x)sin2sin x(>0，xR)若f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒

13、有零點，所以>2，所以>，所以0<<1.當(dāng)x(，2)時，x，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)有零點，則<k<2(kZ)，即<<k(kZ)當(dāng)k0時，<<；當(dāng)k1時，<<.所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有零點時，0<或.2(2017·山東改編)已知當(dāng)x0,1時，函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是_答案(0,13，)解析設(shè)f(x)(mx1)2，g(x)m，在同一直角坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形：(1)當(dāng)0<m1時

14、，1，如圖，當(dāng)x0,1時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意(2)當(dāng)m>1時，0<<1，如圖，要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)綜上所述，m(0,13，)3(2017·江蘇)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個數(shù)是_答案8解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1x<10的情況，在此范圍內(nèi)，當(dāng)xQ，且xZ時，設(shè)x，p，qN*，p2且p，q互質(zhì)若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設(shè)lg x，m，nN*

15、，m2且m，n互質(zhì)因此，則10nm，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)xD部分的交點，畫出函數(shù)草圖圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期內(nèi)xD部分，且x1處(lg x)<1，則在x1附近僅有1個交點，因此方程解的個數(shù)為8.押題預(yù)測1f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為()A4 B5C6 D7押題依據(jù)函數(shù)的零點是高考的一個熱點，利用函數(shù)圖象的交點確定零點個數(shù)是一種常用方法答案B解析令2sin xx10，則2sin xx1，令h(x)2sin x，g(x)x1，則f(x)2si

16、n xx1的零點個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)問題h(x)2sin x的最小正周期為T2，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，因為h(1)g(1)，h>g，g(4)3>2，g(1)2，所以兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個，所以f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為5.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)2x恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押題依據(jù)利用函數(shù)零點個數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點個數(shù)，進而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想答案D解析g(x)f(x)2x要使函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)0恰

17、有三個不同的實數(shù)根，所以或所以g(x)0的三個不同的實數(shù)根為x2(x>a)，x1(xa)，x2(xa)再借助數(shù)軸，可得1a<2.所以實數(shù)a的取值范圍是1,2)，故選D.3在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.押題依據(jù)函數(shù)的實際應(yīng)用是高考的必考點，函數(shù)的最值問題是應(yīng)用問題考查的熱點答案20解析如圖，過A作AHBC交BC于點H，交DE于點F，易知，AFx，F(xiàn)H40x(0<x<40)，則矩形花園的面積Sx(40x)2，當(dāng)且僅當(dāng)40xx，即x20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20 m.A組專題通關(guān)1如圖是函數(shù)f(x)x2a

18、xb的部分圖象，則函數(shù)g(x)ln xf(x)的零點所在的區(qū)間是()A. B.C(1,2) D(2,3)答案B解析由函數(shù)圖象可知即函數(shù)g(x)ln x2xaln x2x1b，gln 11bln 2b<0，g(1)ln 121b1b>0，所以零點所在的一個區(qū)間為，故選B.2某企業(yè)為節(jié)能減排，用9萬元購進一臺新設(shè)備用于生產(chǎn)，第一年需運營費用2萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加3萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為21萬元，設(shè)該設(shè)備使用了n(nN*)年后，盈利總額達到最大值(盈利額等于收入減去成本)，則n等于()A6 B7 C8 D7或8答案B解析盈利總額為21n9n2n9，由于對稱

19、軸為n，所以當(dāng)n7時，取最大值，故選B.3(2018·湖南十四校聯(lián)考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x>0時，f(x)2x2x4，則f(x)的零點個數(shù)是()A2 B3 C4 D5答案B解析由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)0.由于f·f(2)<0，而函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時有1個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)x<0時，也有1個零點故一共有3個零點4(2018·烏魯木齊模擬)已知函數(shù)f(x)x22x(x<0)與g(x)x2log2(xa)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是()A(，

20、) B(，)C. D.答案B解析f(x)x22x(x<0)，當(dāng)x>0時，x<0，f(x)x22x(x>0)，所以f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為h(x)f(x)x22x(x>0)，由題意得x22xx2log2(xa)在x>0時有解，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)a0時，函數(shù)y2x與ylog2(xa)的圖象在(0，)上必有交點，符合題意，若a>0，若兩函數(shù)在(0，)上有交點，則log2a<，解得0<a<，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(，)5將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過5 min后

21、甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有升，則m的值為()A5 B6 C8 D10答案A解析根據(jù)題意知，因為5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)f(x)aent滿足f(5)ae5na，可得nln ，因為當(dāng)k min后甲桶中的水只有升，所以f(k)，即ln ·kln ，所以ln ·k2ln ，解得k10，k55，即m5，故選A.6(2018·湖南省三湘名校教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)則方程f(f(x)20的實根個數(shù)為()A6 B5 C4 D3答案C解析令tf(x)，則方程f(f(x)20等價于f(t)2t0，在同一平面直角坐標系中作出f(x)與直

22、線y2x的圖象，由圖象可得有兩個交點，且f(t)2t0的兩根分別為t10和1<t2<2，當(dāng)t1f(x)0時，解得x2，當(dāng)t2f(x)(1,2)時，f(x)有3個不等實根，綜上所述，方程f(f(x)20的實根個數(shù)為4.7定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x5)16，當(dāng)x(1,4時，f(x)x22x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2 019上的零點個數(shù)是_答案605解析因為f(x)f(x5)16，所以f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以該函數(shù)的周期是T10.由于函數(shù)yf(x)在(1,4上有3個零點，因此在區(qū)間(1,9上只有3個零點，且在(1,0)上有1個零點，在0

23、,9上有2個零點且不在區(qū)間端點處而2 019201×109，故在區(qū)間0,2 019上共有201×32605(個)零點8設(shè)函數(shù)f(x)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))有三個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(1，)解析當(dāng)x>0時，存在一個零點，故當(dāng)x0時有兩個零點，f(x)x33mx2(x0)，f(x)3x23m(x0)，若m0，則f(x)0，函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞增，不會有兩個零點，故舍去；當(dāng)m>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又f(0)2<0，所以f>0時有兩個零點，解得m>1，故m的取值范圍是(1，)9對于函數(shù)f(

24、x)與g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點密切函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)ex2x3與g(x)x2axx4互為“零點密切函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是_答案3,4解析由題意知，函數(shù)f(x)的零點為x2，設(shè)g(x)滿足|2|1的零點為，因為|2|1，解得13.因為函數(shù)g(x)的圖象開口向上，所以要使g(x)的一個零點落在區(qū)間1,3上，則需滿足g(1)g(3)0或解得a4或3a<，得3a4.故實數(shù)a的取值范圍為3,410(2018·江西撫州七校聯(lián)考)食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的

25、危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬元)滿足P804，Qa120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解(1)因為甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，所以f(50)804×150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依

26、題意得解得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t2，6，則yt24t250(t8)2282，當(dāng)t8，即x128時，f(x)max282，所以當(dāng)甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元B組能力提高11定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時，f(x)若關(guān)于x的方程f(x)a0(0<a<1)所有根之和為1，則實數(shù)a的值為()A. B. C. D.答案B解析因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x(1,0時，f(x)f(x)log(x1)log2(1x)；當(dāng)x(，1時，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令

27、g(x)f(x)a，函數(shù)g(x)的零點即為函數(shù)yf(x)與ya的交點，如圖所示，共5個當(dāng)x(，1時，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，當(dāng)x(1,0)時，令log2(1x)a，解得x312a；當(dāng)x1，)時，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零點之和為x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12(2018·山東、湖北部分重點中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)axln x有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析函數(shù)f(x)axln x有3個不同的零點，等價于a，x(0，)有3個不同解，令g(x)，x(0，)，則g(x)，當(dāng)x(0，)時，令y2xln x，則y2，當(dāng)x時，y<0，y單