排列組合學(xué)習(xí)知識(shí)重點(diǎn)與方法歸納

1、排列組合、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、咼考考點(diǎn)1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個(gè)性 質(zhì)的掌握；3、運(yùn)用排列與組合的意義與公式解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）三、知識(shí)要點(diǎn)一分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)算原理1分類計(jì)算原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有 m種不同的方法，在第二類辦法中有 m 種不同的方法， ，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N= m+ mi+ m種不同的方法。2分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成 n個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第 2步有m種不同 的方法， ，

2、做第 n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有 N= mi x m2X x m n種 不同的方法。3、認(rèn)知：上述兩個(gè)原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計(jì)數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)別在于，力口法原理的要害是分類： 將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各種方法相互獨(dú)立，運(yùn)用任何一類辦法的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進(jìn)行，各個(gè)步驟不可缺少， 只有當(dāng)各個(gè)步驟依次完成后這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個(gè)步驟，而不能獨(dú)立完成這件事）。二排列1定義（1）從n個(gè)不同元素中取出 m （層三）個(gè)元素，按照一定的順序排成

3、一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一排列。（2） 從n個(gè)不同元素中取出 m （層三:）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同 元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為-.2排列數(shù)的公式與性質(zhì)（1）排列數(shù)的公式：=n （n-1 ）（n-2 ）（ n-m+1）=工 ；特例：當(dāng) m=n時(shí)，-'：=n ! =n （ n-1 ） （ n-23X 2X1規(guī)定：0! =1（2）排列數(shù)的性質(zhì)：咧；O衛(wèi)胃1三丄鍛（1 =八（排列數(shù)上標(biāo)、下標(biāo)同時(shí)減 1 （或加1 ）后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（n）（排列數(shù)上標(biāo)加1或下標(biāo)減1后與原排列數(shù)的聯(lián)系）（川）、'-（分解或合并的依據(jù)）三.組合1定義 （1 ）從n

4、個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元 素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合（2）從n個(gè)不同元素中取出-：-個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示。2組合數(shù)的公式與性質(zhì)4J"總（理-1（總一 2）（科一啲+1）（1）組合數(shù)公式：比（乘積表示）C：=（X刪且吻£丹）（階乘表示）（2）組合數(shù)的主要性質(zhì):(I)（上標(biāo)變換公式）（n）'勺' ： mi（楊輝恒等式）認(rèn)知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標(biāo)相同，而上標(biāo)為相鄰自然數(shù)； 合二為一后的右邊組合數(shù)下標(biāo)等于左邊組合數(shù)下標(biāo)加1，而上標(biāo)取左邊兩組合數(shù)上標(biāo)的較大者。3比較與鑒別由排列

5、與組合的定義知，獲得一個(gè)排列需要“取出元素”和“對(duì)取出元素按一定順序排 成一列”兩個(gè)過程，而獲得一個(gè)組合只需要“取出元素”，不管怎樣的順序并成一組這一個(gè)步驟。（1） 排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2） 注意到獲得（一個(gè)）排列歷經(jīng)“獲得（一個(gè)）組合”和“對(duì)取出元素作全排列” 兩個(gè)步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系：四、經(jīng)典例題例1、某人計(jì)劃使用不超過 500元的資金購買單價(jià)分別為 60、70元的單片軟件和盒裝 磁盤，要求軟件至少買 3片，

6、磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（）A .5種B.6種C. 7 種D. 8種分析：依題意“軟件至少買 3片，磁盤至少買2盒”，而購得3片軟件和2盒磁盤花去 320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購買3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何 使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有 2種方法； 第四類，不買軟件，再 買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有 3種方法；于是由分類計(jì)數(shù)原理可知，共有N=1 + 1+2

7、+3=7種不同購買方法，應(yīng)選 Co例 2、已知集合 M=-1 , 0, 1 , N=2, 3, 4, 5，映射- ，當(dāng) x M時(shí)，斜佝為奇數(shù)，則這樣的映射的個(gè)數(shù)是（)A.20B.18C.32D.24分析：由映射定義知，當(dāng)x M時(shí)，了 7當(dāng)x M時(shí)，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但必須為奇數(shù)，因 此，對(duì)M中x的對(duì)應(yīng)情況逐一分析，分步考察：第一步，考察 x=-1 的象，當(dāng) x=-1 時(shí)，一：，+'：“ 此時(shí)* 可取N中任一數(shù)值，即 M中的元素-1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時(shí)，：； 丁 /'為奇數(shù)，故'只有2種取法（' =3或&qu

8、ot; ' =5）,即M中的元素0與N中的元素有2種對(duì)應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時(shí)，一；I 丁卞'I； 為奇數(shù)，故廣.可 為奇數(shù)也可為偶數(shù)，： 可取N中任一數(shù)值，即 M中的元素1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，映射“ 共有4X 2X 4=32個(gè)。中有4個(gè)編號(hào)為1, 2, 3, 4的小三角形，要在每個(gè)小三角形中涂上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同 的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對(duì)角”的兩個(gè)小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對(duì)角的小三角形1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，進(jìn)而在

9、每一類中分步計(jì)算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時(shí)有N=5X 4X 4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法， 故此時(shí)有Nb=5X 4X 3X 3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有 80+180=260種。點(diǎn)評(píng)：欲不重不漏地分類， 需要選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，一般地，根據(jù)所給問題的具 體情況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類，或是從問題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問題中有關(guān)事物的相對(duì)關(guān)系入手分類等等。例4、將字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2

10、、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè) 方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A.6種B.9種C.11 種D.23 種解法一（采用“分步”方法）：完成這件事分三個(gè)步驟。第一步：任取一個(gè)數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)字的格子編號(hào)相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個(gè)數(shù)字按規(guī)定填入兩個(gè)格子，只有1種填法；于是，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有N=3X 3X 1=9種不同填法。解法二：（采用“列舉”方法）：從編號(hào)為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類。第一類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2,共有3種不同填法：第二241321432341類.編號(hào)1的方格內(nèi)填數(shù)字3,

11、也有3種不同填法:11314234123421第三類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4,仍有3種不冋填法：,4 J234 J3 -143：211于是由分類計(jì)數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選 B解法三（間接法）：將上述4個(gè)數(shù)字填入4個(gè)方格，每格填一個(gè)數(shù)，共有N=4X 3X 2X仁24 種不同填法，其中不合條件的是 （1）4個(gè)數(shù)字與4個(gè)格子的編號(hào)均相同的填法有 1種；（2） 恰有兩個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有 6種；（3）恰有1個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有8種； 因此，有數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法共有2=1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為 24-15=9種。點(diǎn)評(píng)：解題步驟的設(shè)計(jì)原則上

12、任意，但不同的設(shè)計(jì)招致計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的安排，以減少問題的頭緒或懸念。當(dāng)正面考慮頭緒較多時(shí)， 可考慮運(yùn)用間接法計(jì)算：不考慮限制條件的方法種數(shù)一不符合條件的方法種數(shù)=符合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的“分類”，恰恰向人們展示了“分步”與“分類”相互依存、相互聯(lián)系的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0, 1，2，3, 4，5組成無重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字 2和3,并且 2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個(gè)？解：注意到這里“ 0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“ 0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1, 4，5這三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排

13、列有叫 種；進(jìn)而將2和3分別插入前面排好的兩個(gè)數(shù)字中間或首尾位置，又有種排法,于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有J: =36個(gè)。第二類：含有“ 0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運(yùn)用“間接法”：首先從1, 4，5這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，而后與 0，2, 3進(jìn)行全排列，這樣的排列 共有一：個(gè)。其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險(xiǎn)：（1）0在首位的，有個(gè)； （2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有：亠 個(gè)（3）0在個(gè)位的，但2與3相鄰的，有'-個(gè)因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有 =30個(gè)于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個(gè)點(diǎn)評(píng)：解決元素不

14、相鄰的排列問題，一般采用“插空法”， 即先將符合已知條件的部分元素排好，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問題，一般采用“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個(gè)大元素與其它元素進(jìn)行排列，進(jìn)而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問題。例6、某人在打靶時(shí)射擊 8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的， 那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有（）A.720 種B.480 種C.24 種D.20 種分析：首先，對(duì)未命中的4槍進(jìn)行排列，它們形成5個(gè)空擋，注意到未命中的4槍“地 位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個(gè)元素，與命中

15、的另一槍從前面5個(gè)空格中選2個(gè)排進(jìn)去，有二 種排法，于是由乘法原理知，不同的報(bào)告結(jié)果菜有種點(diǎn)評(píng)：這里的情形與前面不同， 按照問題的實(shí)際情況理解， 未命中的4槍“地位平等”， 連續(xù)命中的3槍亦“地位平等”。 因此，第一步排法只有一種， 第二步的排法種數(shù)也不再乘以。解決此類“相同元素”的排列問題，切忌照搬計(jì)算相同元素的排列種數(shù)的方法，請(qǐng)讀者引起注意。例7、(1)(2)若°矗+丄 +K-1-1 +，貝廿 n=(3)2空 + 9戌 +12CJ + 5CJ -丄丄w-L(4) 若=；一；，貝U n的取值集合為 U =霽(5) 方程I2 ' 的解集為;解：3ji£13 4M*

16、17 -2f Un- 6(1) 注意到n滿足的條件.原式=1】|1=:'(2 )運(yùn)用楊輝恒等式，已知等式在之下,原不等式40(«- 3)(/7 -4)o嚴(yán) -1也口 <0:'，:”''1 二" 所求 n=4。嚴(yán)*廣禪 J, 廣rwr-l(3) 根據(jù)楊輝恒等式''原式=；一二=一“«3Cb+ 2)(n+ Oc)s- 1)(4) 注意到這里n滿足的條件n5且n N*O 3!匸2 曲艸(冋-1)(總-2)片(用一 1)仗-2)仗-3)料詼一 1)依一2)用-3)儀-4)由、得原不等式的解集為5 , 6, 7,，11（

17、5）由S ；-*-> 注意到當(dāng) y=0 時(shí)，無 意義，原方程組可化為x= 3=3>1_71片 g卩二9恥十1）一 2 2畑+ 0由此解得b d經(jīng)檢驗(yàn)知b - 3 是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了 3套卡片，每套卡片有寫上 A B、C、D E字母 的卡片各一張，若從這 15張卡片中，每次取出 5張，則字母不同，且 3種顏色齊全的取法 有多少種？解：符合條件的取法可分為 6類第一類:取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有U抵Cf種取法;第二類:取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有r 5種取法;第三類:取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃色，1張

18、綠色，有種取法;第四類:取出的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有種取法;第五類:取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有c種取法;第八類:取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有種取法;于是由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的取法共有N -理U席 4- CjcjC + CCfcl + 7鷗U + Cjcf C + Cfclcl 15D種點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類討論必須選擇適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，在這里，以紅色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行主分類， 以黃色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行次分類， 主次結(jié)合，確保分類的不 重不漏，這一思路值得學(xué)習(xí)和借鑒。例9、（ 1 ）從5雙不同的襪子中任取 4只，

19、則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？（2） 設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球和編號(hào)為 1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，將 五個(gè)小球放入五個(gè)盒子中（每個(gè)盒子中放一個(gè)小球），則至少有兩個(gè)小球和盒子編號(hào)相同的 放法有多少種？（3） 將四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3, 4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法 共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測(cè) 試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況有 多少種？解：（1）滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對(duì)，這只要從 5雙襪子中任取1雙，再從其

20、余4雙中任取2雙，并從每雙中取出 1只，共有-種選 法；另一類是4只襪子恰好配成兩雙，共有種選法，于是由加法原理知，符合要求的取 法為一】一種。（2）符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同， 這只需先從5個(gè)中任取兩個(gè)放入編號(hào)相同的盒 子中，有匚種放法，再從剩下的3個(gè)小球中取出1個(gè)放入與其編號(hào)不同的盒子中， 有二種 方法，則最后剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類共有種不同方法；第二類：恰有3個(gè)小球與盒子編號(hào)相同， 這只需先從5個(gè)中任取三個(gè)放入編號(hào)相同的盒 子中，有V種放法，則最后剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類共有：'種不同方法；

21、第三類：恰有5個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只有 1種方法；于是由分類計(jì)數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計(jì)分三步完成：第一步，取定三個(gè)空盒（或取走一個(gè)空盒），有 -：-''種取法；第二步，將4個(gè)小球分為3堆，一堆2個(gè)，另外兩堆各一個(gè)，有- 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個(gè)空盒中，有 ：種放法；（75 - fSG匚1）護(hù)=c乜嚴(yán)滬=兇耳于是由乘法原理得共有：“-4 "種不同方法。（4）分兩步完成：第一步，安排第五次測(cè)試，由于第五次測(cè)試測(cè)出的是次品，故有；種方法；第二步，安排前 4次測(cè)試，則在前四次測(cè)試中測(cè)出3只次品和1只正品的方法種數(shù)為

22、S-,.-O于是由分布計(jì)數(shù)原理可知，共有 r '種測(cè)試方法。點(diǎn)評(píng)：為了出現(xiàn)題設(shè)條件中的“巧合”，我們需要考慮對(duì)特殊情形的“有意設(shè)計(jì)”，本例（1）則是這種“有意設(shè)計(jì)”的典型代表，而這里的（3），則是先“分堆”后“分配”的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（）A 18 對(duì)B、24 對(duì)C、30 對(duì)D、36 對(duì)分析：注意到任一四面體中異面直線的對(duì)數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對(duì)數(shù),首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四面體個(gè)數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成一F W個(gè)四面體，而每一四面體有 3對(duì)異面直線，故共有 36對(duì)異面直線，應(yīng)選 Db2、不共面的

23、四個(gè)定點(diǎn)到平面a的距離都相等，這樣的平面共有（）A 3個(gè)B、4個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)分析：不共面的四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四面體，取四面體各棱中點(diǎn)， 分別過有公共頂點(diǎn)的三棱中點(diǎn)可得到與相應(yīng)底面平行的 4個(gè)截面，這4個(gè)截面到四個(gè)定點(diǎn)距離相等；又與三組對(duì)棱分 別平行且等距的平面有 3個(gè)，故符合條件的平面共 7個(gè)，應(yīng)選Db若每天排早、中、3、北京財(cái)富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作,晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（）分析：排班工作分三步完成:第一步，從14人中選出12人，有'卷 種選法；第二步，將第一步選出的12人平均分成三組，有匚種分法;第三步，對(duì)第二步

24、分出的3組人員在三個(gè)位置上安排，有二 種排法；追 U14 5*在于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為L，應(yīng)選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市各 一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案 共有（）A 300 種B、240 種 C、114 種 D、96 種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類情況（1）不選甲、乙，不同方案有 廠：種；（2）甲、乙中選1人，不同方方 案有1 =丄 I種;（3）甲、乙均入選，不同方案有'-種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為 24+144+72=240,應(yīng)選 B。5、4位同

25、學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任 選一題作答，選甲題答對(duì)得 100分，答錯(cuò)得-100分；選乙題答對(duì)得 90分，答錯(cuò)得-90 分, 若4位同學(xué)的總分為0,則這四位同學(xué)不同的得分情況的種數(shù)是（）A 48B、 36C、 24D、 18分析：注意到情況的復(fù)雜，故考慮從“分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對(duì)，2人答錯(cuò)，有】 種情況；第二類：2人選甲題一對(duì)一錯(cuò)，2人選乙題一對(duì)一錯(cuò)，有 '-1 - 'J ' ； -種情況；第三類：四人全選乙題，2對(duì)2錯(cuò)，有 g 種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有:I ： '-' 'M

26、種，應(yīng)選 B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在 同一倉庫是危險(xiǎn)的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（ ）A 96B、 48C、 24D、 0分析：本題的關(guān)鍵是找“異面直線對(duì)”的個(gè)數(shù)，設(shè)四棱錐為S-ABCD沒有公共頂點(diǎn)的棱只能分成 4組，每組兩條棱（否則三 條棱必有公共點(diǎn)），每8條棱分成4組，每組兩條無公共點(diǎn)的棱 僅有下面兩種情況：（1） SA CD SB-AD； SC-AB; SD- BC （本組中同一棱 不重復(fù)出現(xiàn)）（2） SA BC; SB-CD S

27、C-AD SD AB（本組中同一 條棱不重復(fù)出現(xiàn)）于是問題可轉(zhuǎn)化為：四種不同產(chǎn)品放入4個(gè)不同倉庫的排列問題，故不同的安排分法是一：5_種，應(yīng)選Bo（二）填空題1、在由數(shù)字0, 1 , 2, 3, 4, 5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整 除的數(shù)共有（）個(gè)。分析：考慮直接解法：這樣四位數(shù)的個(gè)位數(shù)為1, 2, 3, 4中的一個(gè)，有 1種法，千位從余下的4個(gè)非零數(shù)當(dāng)中任取一個(gè)是：種排法；中間兩位是種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理知，共是： 叫-'種不同排法，應(yīng)填192。2、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這

28、樣的八位數(shù)共有（）個(gè)（用數(shù)字作答）。分析： 第一步，將1與2, 3與4, 5與6組成3個(gè)大元素進(jìn)行排列，是種排法；第二步，將7與8插入上述3個(gè)大元素隊(duì)列的間隙或兩端，是"種方法；第三步，對(duì)3個(gè)大元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，各是 兒 種方法；于是由分步計(jì)數(shù)原理得共有二二' 個(gè)，應(yīng)填576。3、從集合0、P、Q R、S與0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中各任取2個(gè)元素排成 一排（字母與數(shù)字均不能重復(fù)）。每排中字母 O Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是（）分析：考慮分類計(jì)算第一類：字母 O Q和數(shù)字0均不出現(xiàn)，是硏苗93種排法；第二類：字母o q出現(xiàn)一個(gè)，數(shù)字o不出現(xiàn)，是 H

29、 種排法；第三類：字母 OQ不出現(xiàn)，數(shù)字0出現(xiàn)，是''種排法；于是分類計(jì)數(shù)原理知共是 2592+5184+648=8424種不同排法，應(yīng)填 8424。點(diǎn)評(píng)：以受限制的字母 O Q和數(shù)字0出現(xiàn)的情況為主線進(jìn)行分類，在每一類中又合理 地設(shè)計(jì)步驟，是分解題的關(guān)鍵所在，以某些特殊元素為主線進(jìn)行分類是解決復(fù)雜的排列組合 問題的基本策略。方法歸納1重復(fù)排列“住店法”重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素： 一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)。把不能重復(fù)的元素看 作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能性有（）3小8典33A 8 B 3 C A8

30、 D C8解析冠軍不能重復(fù)，但同一個(gè)學(xué)生可獲得多項(xiàng)冠軍。把 8名學(xué)生看作8家“店”，3 項(xiàng)冠軍看作3個(gè)“客”，他們都可住進(jìn)任意一家“店”，每個(gè)客有8種可能，因此共有83種 不同的結(jié)果。選（A）。評(píng)述類似問題較多。如：將 8封信放入3個(gè)郵筒中，有多少種不同的結(jié)果？這時(shí) 8 封信是“客”，3個(gè)郵筒是“店”，故共有38種結(jié)果。要注意這兩個(gè)問題的區(qū)別。2特色元素“優(yōu)先法”某個(gè)（或幾個(gè)）元素要排在指定位置，可優(yōu)先將它（們）安排好，后再安排其它元素。例2乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派 5名參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排 在第一、三、五位置，其余 7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場(chǎng)安排

31、共有 種（用數(shù)字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優(yōu)先安排，有a3種可能；然后從其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，有A種排法。因此結(jié)果為A；A；=252種。例3 5個(gè)“ 1”與2個(gè)“ 2”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列？解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。由于7個(gè)位置不同，故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置安排好“ 2”，剩下的位置填“ 1”（也可先填“1”再填“ 2”）。因此，一共可以組成 C；C；=21個(gè)不同的數(shù)列。3相鄰問題“捆綁法”把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個(gè)“大元素”，與其余普通元素全排列，是為“捆綁法”，又稱為“大元素法”。不過要注意“大元素”內(nèi)部還需要進(jìn)行排列。例4

32、有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書 3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一 列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有種（結(jié)果用數(shù)字表示）。解析將數(shù)學(xué)書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有 A種排法，再將3本 數(shù)學(xué)書之間交換有 A種，2本外文書之間交換有 A種，故共有 a5a；A；=1440種排法。評(píng)述這里需要說明的是， 有一類問題是兩個(gè)已知元素之間有固定間隔時(shí)，也用“捆綁法”解決。如：7個(gè)人排成一排，要求其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的 排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對(duì)調(diào)， 而且中間一人可從其余 5人中

33、任取，故共有 c1a2a5 1200種排法。4相間冋題“插空法”元素不相鄰問題，先安排好其他元素，然后將不相鄰的元素按要求插入排好的元素之間 的空位和兩端即可。例5某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如 果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（A 6 B 12 C 15 D 306個(gè)空位。將兩個(gè)新節(jié)目不相鄰插入,解析原來的5個(gè)節(jié)目中間和兩端可看作分出當(dāng)于從6個(gè)位置中選2個(gè)讓它們按順序排列，故有A 30種排法，選（D）。這一點(diǎn)要注意。請(qǐng)練習(xí)以下這道題:馬路評(píng)述本題中的原有5個(gè)節(jié)目不需要再排列，上有編號(hào)為1、2、3、 10的十盞路燈

34、，為節(jié)約用電又能照明，現(xiàn)準(zhǔn)備把其中的三盞燈， 但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，兩端的燈也不許關(guān)掉， 求不同的關(guān)燈方式有多少種？可得結(jié) 果為Ce=20種。你能很快求解嗎？5多元問題“分類法”對(duì)于多個(gè)元素問題，有時(shí)有多種情況需要進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理將各種可能性相加即得。需要注意的是，分類時(shí)要不重復(fù)不遺漏。例6在一塊并排10壟的田地中，選擇 2壟分別種植 A、B兩種作物，每種作物種植一 壟。為有利于作物生長，要求 A、B兩種作物的間隔不小于 6壟，則不同的選壟方法共有 種（用數(shù)字作答）。解析先考慮A種在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊第一壟上時(shí)，B有三種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟

35、上時(shí)，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時(shí)，B只有一種種植方法。又B在左邊種植的情況與 A在左邊時(shí)相同。故共有2 （321） =12種不同的選壟方法。例7有11名翻譯人員，其中 5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另 2人英語、日語都 精通。從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中 4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這 兩個(gè)小組能同時(shí)工作。問這樣的分配名單共可開出多少張？解析假設(shè)先安排英文翻譯， 后安排日文翻譯。第一類，從5名只能翻譯英文的人員中選4人任英文翻譯，其余 6人中選4人任日文翻譯（若“多面手”被選中也翻譯日文） ，則有c5c6 ；第二類，從5名只能翻譯英文的人員中選 3人任英文翻譯，另從“多面手”中選i人任英文翻譯，其余剩下 5人中選4人任日文翻譯，有 c55c2c5 ；第三類，從5名只能翻 譯英文的人員中選 2人任英文翻譯，另外安排 2名“多面手”也任英文翻譯，其余剩下 4 人全部任日文翻譯，有 C；C；C：。三種情形相加即得結(jié)果 185 （張）。評(píng)述本題當(dāng)然也可以先安排日文翻譯再安排英文翻譯，請(qǐng)大家自己列式看看。6分球問題“隔板法”計(jì)數(shù)問題中有一類“分球問題”，說的是將相同的球分到不同的盒中。如：將 10個(gè)相同 的球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒中至少一個(gè)球，問有多少種不同的 放法？這時(shí)可以用“隔板法”解題。即將10個(gè)相同的球