第四章電子衍射(1)

1、中南大學1 晶體和點陣的定義2 晶體中的對稱元素與晶體學點群3 空間點陣4 倒易點陣及其在晶體幾何學中的應用5 晶體投影6 總結晶體的定義：n 晶體是原子或者分子規(guī)則排列的固體；n 晶體是微觀結構具有周期性和一定對稱性的固體；n 晶體是可以抽象出點陣結構的固體。國際晶體學聯(lián)合會下設的非周期晶體學術委員會在1992年建議，將晶體的定義改為：晶體是能夠給出明銳衍射的固體，非晶體是能夠給出明銳衍射的固體，非周期晶體是沒有周期平移的晶體。周期晶體是沒有周期平移的晶體。普通晶體的衍射花樣；a) 一般花樣；b) 有序相花樣準晶的衍射花樣與形貌示意圖。 a) Al-Ni-Co二維十次準晶花樣； b) 三維準

2、晶沿五次軸得到的衍射花樣； c) 三維準晶的外形示意圖。晶體的特性1）自范性或自限性就熱力學可能性而言，任何晶態(tài)的物質(zhì)總是傾向于以凸多面體的形式存在，晶體的這一性質(zhì)稱為自限性或自范性。面角守衡定律：（由丹麥的斯丹諾于1669年提出）晶體的特性2）具有特定的熔點；3）晶體能夠產(chǎn)生衍射；4）晶體的宏觀均勻性：均勻性是晶體中坐標原點的任何平移后性質(zhì)的不變性；5）晶體的各向異性：晶體的物理性質(zhì)隨方向不同而有所差異的特性，稱為晶體的各向異性。點陣的定義： 點陣是在空間任何方向上均為周期排布的無限個全同點的集合。與點陣有關的歷史n1830年，德國的Hessel總結出晶體多面體的32種對稱類型；n1849年

3、，法國的布拉維確定了三維空間的14種空間點陣即14種Bravais格子；n1887年，俄國的加多林嚴格推導出32個晶體學點群；n18901891年，俄國的費道羅夫和德國的熊夫利斯先后獨立地推導出230個晶體學空間群，建立了晶體結構理論的基本框架。小結n 晶體的特性：自范性、固定的熔點、宏自范性、固定的熔點、宏觀均勻性、各向異性；觀均勻性、各向異性；n 面角守衡定律：1 晶體和點陣的定義2 晶體中的對稱元素與晶體學點群3 空間點陣4 倒易點陣及其在晶體幾何學中的應用5 晶體投影6 總結1、對稱軸若形體繞軸轉(zhuǎn)過360/n（n為整數(shù)）后即回復為自身，則該形體具有n次旋轉(zhuǎn)對稱，這個軸就稱之為n次對稱軸

4、。n次旋轉(zhuǎn)對稱本身構成一個群。在晶體中，由于受平移對稱的制約，只能存在1，2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)對稱操作。2、反映面若形體中的一個面將形體分成兩部分，且兩部分上的點相對于該平面成鏡面對稱，則該平面稱為該形體的反映面，以符號m表示。反映也構成群。3、反演中心若形體中的所有點都相對于某一點中心對稱，則該點就是反演中心，用符號-1表示。晶體中的對稱元素4、平移在晶體中，沿某個周期方向平移一個或多個周期后，我們認為晶體沒有發(fā)生改變，稱之為平移對稱。5、旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)和反演的復合操作構成一個不同于旋轉(zhuǎn)和反演的對稱群。6、螺旋旋轉(zhuǎn)與平行平移的組合。7、滑移反映與平行平移的組合晶體學點群將以上點對稱操作任意組合

5、，能夠構成群的組合有32種，這就是晶體中能夠存在的點對稱操作組合，稱之為晶體學點群。1;2;3;4;6;222;32;422;622;23;432旋轉(zhuǎn)點群：中心對稱的點群：_2461 ; 3 ; 3;46;3 ;3m m mmmmmm mm mmmmmm非中心對稱的點群：_;2; 6; 3; 4;6; 4 2; 6 2; 4 3; 4mm mmm mm mmmm小結n晶體中的基本對稱操作只有四種，分別是：旋轉(zhuǎn)、反映、反演和平移；另外旋轉(zhuǎn)和反演組合可構成旋轉(zhuǎn)反演對稱操作，旋轉(zhuǎn)和平移可以構成螺旋對稱操作，反映和平移可以構成滑移對稱操作；n將晶體中能夠存在的點對稱操作任意組合，能夠成群的有32種，這

6、就是32種晶體學點群；32種點群中只有11種是中心對稱的點群。1 晶體和點陣的定義2 晶體中的對稱元素與晶體學點群3 空間點陣4 倒易點陣及其在晶體幾何學中的應用5 晶體投影6 總結空間點陣的類型在討論點群的時候，講的是平移對點群對稱元素的制約；當晶體中的對稱元素確定以后，又會反過來制約平移群和點陣的類型！這是因為晶體中的原子團可以不是中心對稱的，但是當將其抽象為空間點陣點以后，陣點總是中心對稱的，再加上平移群也顯示中心對稱的特點，使得空間點陣一定是中心對稱的。金剛石的空間群是Fd-3m，其點群是中心對稱的，而硫化鋅（閃鋅礦）的空間群是F-43m，其點群不是中心對稱的，但兩者都是面心立方點陣，

7、點陣都是中心對稱的。因此按點群的對稱性來劃分空間點陣時，只須要考慮11個中心對稱的點群；另外，這11個中心對稱的點群與平移群結合時，將會使其中的4個與另外4個具有完全相同的對稱元素；因此只能劃分出七個晶系。七大晶系：按點群的對稱性分類按點陣的對稱性分類三維空間點陣有6個參數(shù)（a，b，c，,），在一組參數(shù)下，按照對稱性由低到高的順序，依次考慮點陣的各種點群對稱性，一旦不能容納某些點群時，則變動點陣參數(shù)。這樣可以得出。七個Bravais系為：當選用能充分反映點群對稱性的慣用晶胞時，可以得到14種bravais點陣14種bravais點陣示意圖小結n從點群的對稱性出發(fā)，可以將空間點陣分為七個晶系，分

8、別是：n從點陣的對稱性出發(fā)，可以將空間點陣分為七個Bravais系，分別是：n當選用能充分反映點群對稱性的慣用晶胞時，可以得到14種bravais點陣1 晶體和點陣的定義2 晶體中的對稱元素與晶體學點群3 空間點陣4 倒易點陣及其在晶體幾何學中的應用5 晶體投影6 總結倒易點陣的定義倒易點陣是相對于晶體的正空間點陣而言的，它與正空間點陣互為倒易，是一對矛盾的統(tǒng)一體。倒易點陣基矢與正空間矢量間的關系是：V*bcaV*cabV*abc其中V是正空間點陣單胞的體積，等于三個基矢的混合積。()()()V ab cbcacab由倒易點陣基矢的定義，容易推出：a*a=1 a*b=0 a*c=0 b*a=0

9、 b*b=1 b*c=0c*a=0 c*b=0 c*c=1VV*=1100010001E*ababcc研究倒易點陣的意義：n利用倒易點陣可以比較方便地導出晶體幾何學中的各種重要關系式；n用倒易點陣可以方便而形象地表示晶體的衍射幾何學；n在物理學中可以用倒易點陣來表示波矢。倒易點陣的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上與正空間的同名晶面(hkl)垂直，在數(shù)值上為正空間點陣中同名晶面(hkl)的面間距的倒數(shù)。晶帶軸定律設正空間中的某一矢量為：ua+vb+wc；倒空間的任一矢量為： ha*+kb*+lc*；則上面兩矢量的點乘為：(u +v +w ) (h+k+l)= hu +kv+lw*abca

10、bc當兩矢量互相垂直時，其點乘為，此時有：hu +kv+lw = 0hu +kv+lw = 0給定一個正空間的晶向給定一個正空間的晶向(uvw)，滿足上式的所有，滿足上式的所有晶面晶面(hikili)屬于同一個晶帶，其晶帶軸即為屬于同一個晶帶，其晶帶軸即為(uvw)；這就是晶帶軸定律。這就是晶帶軸定律。給定一個正空間的晶向給定一個正空間的晶向(uvw)，對于任一給定的，對于任一給定的整數(shù)整數(shù)N，滿足上式的所有晶面，滿足上式的所有晶面(hikili)都在倒空間都在倒空間的同一層倒易面上；該倒易面上的任意矢量的同一層倒易面上；該倒易面上的任意矢量(hikili)與晶向與晶向(uvw)的點乘都等于整

11、數(shù)的點乘都等于整數(shù)N，這就是，這就是廣義晶帶軸定律。廣義晶帶軸定律。hu +kv+lw = N高階勞埃帶花樣產(chǎn)生的示意圖高階勞埃帶花樣產(chǎn)生的示意圖高階勞埃帶花樣實例高階勞埃帶花樣實例 A、已知兩晶面(h1k1l1)、(h2k2l2)，要求這兩個晶面所屬的晶帶軸，只須將與兩晶面對應的倒易矢量叉乘即可，所得的正空間矢量即為兩晶面的晶帶軸。111222111222uvw=(h+k+l) (h+k+l) = hklhkl *abcabcabcabcB、已知兩晶向(u1v1w1)， (u2v2w2)，求其構成的平面(hkl)，只須將兩個正空間矢量叉乘即可；111222111222hkl=(u+v+w )

12、 (u+v+w) = uvwuvw*abcabcabcabc01-1/0-11晶帶花樣由倒易矢量的定義可以知道，倒空間中的三個基矢其實是正空間中與正空間基矢共原點的三個矢量，因此可以用空間變換將兩組基矢聯(lián)系起來，從而將正、倒空間的矢量計算結合起來。G被稱為正空間到倒空間變換的度量張量，它是晶體學計算中一個非常重要的參量。aa aa ba cGbabcb ab bb ccc ac bc c引入：1EGGE *-1ababccababcGcG *aabbcc1G aabbcc同樣可以引入倒易點陣的度量張量G*aa* a*a* b*a* c*G*babcb* a*b* b*b* c*cc* a*c*

13、 b*c* c* *aa aa ba cabb ab bb cbcc ac bc ccG *aabbcc1G *aabbcc1G *aababcbabccc1GGG *aabbcc222coscoscoscoscoscosaabacabbbcacbcca aa ba cGb ab bb cc ac bc ca* a*a* b*a* c*G*b* a*b* b*b* c*c* a*c* b*c* c*由于：1GG將兩矩陣的相應值進行對比，立刻可以得到倒易點陣的點陣常數(shù)：n倒易點陣是用來處理正空間點陣一種數(shù)學工具，倒易空間的基矢是由正空間的基矢構造出來的，因此正倒空間可以通過空間變換聯(lián)系起來；n利

14、用倒易點陣可以非常方便地導出晶體幾何學中的各種重要關系式；n倒易空間與正空間具有相同的點陣類型。1 晶體和點陣的定義2 晶體中的對稱元素與晶體學點群3 空間點陣4 倒易點陣及其在晶體幾何學中的應用5 晶體投影2-6 總結球面投影點陣中的方向和點陣平面的方位以及它們之間的關系是三維空間的立體關系，用立體圖形來表示是很不方便的，所以最好想辦法把這些關系在平面圖中表示出來。為了實現(xiàn)這一目的，第一步是將晶體投影到二維的球面上。過一晶體的中心，以任意半徑作一參考球（要求參考球比晶體大得多），并由球心作各晶面的法線及晶向的方向線，將它們投影在參考球上，這種表達方式就叫做球面投影。晶向與參考球相交的點稱之為

15、跡點；晶面延展后和參考球相交為一個大圓，這個大圓就是該晶面在參考球上的面痕或者跡徑；晶面法線和球面的交點可以表示該晶面，這個交點稱為極點。極射赤面投影極射赤面投影是以參考球的赤道面作為投影面，以南極（或者北極）作為觀測點，連接南極與上半球面的球面投影點，則連線與赤道面（投影面）的交點即代表晶體的投影。下半球面上的點與北極相連，可另選符號，以與上半球的投影點相區(qū)別。全部極射赤面投影點都分布在一個與球直徑相等的大圓內(nèi)，投影圖的邊界大圓稱之為基圓。球面投影與極射赤面投影的幾個重要關系：1、球面上過南北極的大圓（了午線大圓），在極射赤面投影圖上是一根過圖中心的直線；2、球面上一般大圓的投影是一個大圓弧，例如過投影面直徑的大圓，其極射赤面投影是過該直徑的大圓弧線；3、球面上一般小圓的投影是小圓弧。極式網(wǎng)和吳里夫網(wǎng)其中吳里夫網(wǎng)是研究晶體投影、晶體取向的有力工具，吳式網(wǎng)有直徑為100mm,200mm,300mm等幾種，間隔為12度。吳里夫網(wǎng)的應用1、求晶面間的夾角和晶體的轉(zhuǎn)動標準極圖n晶體是微觀結構具有周期性和一定對稱性的固體，晶體的特性包括自范性、宏觀均