342 切線的判定與性質(zhì)精編版

1、直線與圓的 位置關(guān)系 相交 Orld AB相切 Or dlA相離 Or dl圖 形 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)名稱 直線名稱 圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系 2 個(gè) 交點(diǎn) 割線 1個(gè) 切點(diǎn) 切線 沒有 d r 圖中直線l滿足什么條件時(shí)是滿足什么條件時(shí)是O的切線？ 方法1：直線與圓有唯一公共點(diǎn) O l 方法2：直線到圓心的距離等于半徑 注意：實(shí)際證明過程中，通常不采用第一種方法;方法2從從“量化”的角度說明的角度說明圓的切線的判定方法。 請(qǐng)?jiān)谡?qǐng)?jiān)贠上任意取一點(diǎn)A，連接OA，過點(diǎn)A作直線lOA。思考：。思考： （1） 圓心O到直線l的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系? （2） 二者位置有什么關(guān)系？為什么？ O

2、 A l （3） 由此你發(fā)現(xiàn)了什么？ 切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線。 O 對(duì)定理的理解： l A 切線必須同時(shí)滿足兩條：經(jīng)過半徑外端；垂直于這條半徑 定理的數(shù)學(xué)語言表達(dá)： OA是半徑， l OA于于A l是是O的切線 l A O r (1)直線l經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A； (2)直線l垂直于半徑0A O l A 則:直線l與與O相切 這樣我們就得到了從這樣我們就得到了從“位置”的角度的角度圓的切線的判定方法切線的判定定理 利用上面的定理，過圓上任意一點(diǎn)，你會(huì)用三角尺畫意一點(diǎn)，你會(huì)用三角尺畫O的切線嗎？ P O 1、判斷： (1)過半徑的外端的直線是圓的切線（

3、） (2)與半徑垂直的的直線是圓的切線（ ） (3)過半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（ ） O l r A O r l O r l A A 判定直線與圓相切有哪些方法？ 切線的判定方法有三種： ? 直線與圓有唯一公共點(diǎn)； ? 直線到圓心的距離等于該圓的半徑； ? 切線的判定定理即 經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線. 例1 如圖，已知：直線AB經(jīng)過經(jīng)過O上的點(diǎn)C， 并且OA=OB，CA=CB。 求證：直線AB是是O的切線。 A O C 分析：由于AB過過O上的點(diǎn)C，所以連接OC，只要證明只要證明ABOC即可。即可。 B 例2 如圖，已知：O為為BAC平分線上一 點(diǎn)，點(diǎn)，ODA

4、B于于D,以O(shè)為圓心，OD為半徑作 O。 求證：求證：O與AC相切。 A D O E B C 例1與例2的證法有何不同? O A C B D A O B E C (1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn),則連結(jié)這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直.簡(jiǎn)記為：有交點(diǎn)，連半徑,證垂直. (2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn),則過圓心作直線的垂線段,再證垂線段長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng).簡(jiǎn)記為：無交點(diǎn),作垂直,證半徑. 1、如圖，、如圖，AB是是O的直徑的直徑,O過過BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D，DEAC. 求證：求證：DE是是O的切線的切線 證明：連接證明：連接OD BDCD，OA=OB, OD是是ABC的中位

5、線的中位線. OD/AC. 又又 DEC90, ODE90. 又又 D在圓周上在圓周上, DE是是O的切線的切線. C E D B A O 2、如圖,ABC中中,AB=AC,AOBC于于O，OEAC于于E,以O(shè)為圓心,OE為半徑作為半徑作O. 求證：AB是是O的切線. F B O A E C 3、如圖,AB是是O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上,BD=OB,點(diǎn)C在在O上上, CAB=30 . 求證:DC是是O的切線. C A O B D 4、 如圖，如圖，AB是是O的直徑的直徑, C為為O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為的切線互相垂直，垂足為D. 求證：求證：AC平分平分D

6、AB 證明：連接證明：連接OC CD 是是O的切線，的切線， OCCD. 又又ADCD , OC/AD. ACO CAD . 又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO , 故故AC平分平分DAB A D C O B 5已知：在已知：在ABC中，中，ABAC，以以AB為直徑作為直徑作O交交BC于于D，DEAC于于E， 分析：分析：因?yàn)橐驗(yàn)镈E經(jīng)經(jīng)過過O上的點(diǎn)上的點(diǎn)D，所以要證明所以要證明DE為為切線，可連結(jié)切線，可連結(jié)OD， 再證明再證明DEOD. 求證：求證：DE是是O的切線的切線. 6如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，ADBC于于D，ADBC/2，E和和F分別為分別為AB和和 A

7、C的的中點(diǎn)，中點(diǎn)，EF與與AD交于交于G，以，以EF為直徑作為直徑作O，求證：，求證：O與與BC相切相切. 分析：分析：要證明以要證明以EF為直徑的為直徑的O與與BC相切，只要相切，只要過過O作作OHBC于于H，證，證 明明OH等于等于直徑直徑EF的一半的一半. H 7如圖如圖(3)，ABC內(nèi)接于內(nèi)接于O，P、B、2C在一直線上，且在一直線上，且PA PBPC， 求證：求證：PA是是O的切線的切線. 分析：分析：PA過過O上上一點(diǎn)一點(diǎn)A，要證，要證PA為切為切線，只要證線，只要證PAAO，為此，作直徑為此，作直徑AD，并，并連結(jié)連結(jié)CD，只要證，只要證PAAD即可即可. 如圖，如果直線l是是O

8、的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？ O l A 如果直線如果直線L是圓是圓O的切線，切點(diǎn)為的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑，那么半徑OA與與直線直線L是不是垂直呢？是不是垂直呢？ 分析：分析：假設(shè)假設(shè)OA與與L不垂直，過不垂直，過O 點(diǎn)作點(diǎn)作OML，垂足為，垂足為M。 根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，有根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，有OMOA，這說明圓心，這說明圓心O到直線到直線A L L的距離小于半徑的距離小于半徑OA，于是直，于是直O(jiān) 線線L就要與圓相交，而這與直線就要與圓相交，而這與直線L是圓是圓O的切線相矛盾。的切線相矛盾。 因此，因此，OA與直線與直線L垂直。垂直。 A M L 切線的

9、性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。 l是是O的切線， 切點(diǎn)為A l OA O l A 切線判定定理： 過半徑外端; 垂直于這條半徑. O 切線 A l 切線性質(zhì)定理： 圓的切線; 過切點(diǎn)的半徑. 切線垂直于半徑 例3、如圖，PA、PB分別切分別切O于A、0B，兩切線相交于點(diǎn)P,若若P=42 ，求 ACB的度數(shù)。A A C m O B m P C C O B P 1、如圖, O切PB于點(diǎn)B,PB=4,PA=2,則O的半徑多少？的半徑多少？ B 注：已知切線、切點(diǎn)，則連接半徑，應(yīng)用切線的性質(zhì)定理得到垂直關(guān)系，從而應(yīng)用勾股定理計(jì)算。 OAP2、如圖，AB、AC分別切分別切O于B、C，若0A=60

10、 ，點(diǎn)P是圓上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，則則BPC的度數(shù)是（ ） 0 A、600 B、12000 C、60 或12000 D、140 或60B O C P A 練習(xí)與鞏固：練習(xí)與鞏固： 1、如圖，如圖，A、B是是O上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，AC是是O的切線，的切線，B=70，則則BAC等于（等于（ ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10 O B A （1） AEC O B （3） BD（2） CA 2、如圖如圖,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120,A與與BC相切于相切于點(diǎn)點(diǎn)D,與與AB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E,則則ADE等于等于_ _度度. 3、如圖如圖,在在OAB中中,OB：AB=3：2

11、, 0B=6，O與與AB相切相切于點(diǎn)于點(diǎn)A, 則則O的直徑為的直徑為 。 4、如圖如圖,PA、PB是是O的切線的切線,切點(diǎn)分別為切點(diǎn)分別為A、B,且且APB=50,點(diǎn)點(diǎn)C是優(yōu)弧上的一點(diǎn)是優(yōu)弧上的一點(diǎn),則則ACB=_. ACCOBPAOBP（4） （5） 5、如圖，如圖，O的直徑的直徑AB與弦與弦AC的夾角為的夾角為30，過，過C點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線PC與與AB的延長(zhǎng)線交于的延長(zhǎng)線交于P，PC=5，則，則O的半徑為（的半徑為（ ） A. 5 3 3B. 5 3 6 C. 10 D. 5 輔助線的作法：輔助線的作法：作過切點(diǎn)的半徑作過切點(diǎn)的半徑 6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A為圓心，為圓心，

12、1為半徑的圓與邊為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)D ，則，則BD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 。 變式一：變式一：在在ABC中，中，AB=2，AC= ，以，以A為圓心，為圓心，1為為半徑的圓與邊半徑的圓與邊BC相切相切 ，則，則BC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 。 變式二：變式二：如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A是圓是圓O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，OA=4，AB與圓相切于點(diǎn)與圓相切于點(diǎn)B，且，且AB=2 ，弦，弦BCOA，則，則BC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為 。 A A C O B A B D C B C 7、如圖如圖,AB為為O的直徑，的直徑，C為為O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，AD和過和過C點(diǎn)的切點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為線互相垂直，垂足為D，求證：，求證：AC平分平分DAB。 D A C O B A D O （8） C B （7） 8、如圖如圖,AB為為O的直徑，的直徑，BC是是O的切線，切點(diǎn)為的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦平行于弦AD，求證：，求證：CD是是O的切線。的切線。 1、知識(shí)：切線的判定定理著重分析了定理成立的條件，在應(yīng)用定理時(shí)，注重兩個(gè)條件缺一不可 2、方法：判定一條直線是圓的切線的三種方法： (1) 根據(jù)切線定義判定即與圓有唯一公共點(diǎn)的直線