等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題-

1、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題1、等比數(shù)列的定義：anq q0n2, 且n N * ， q 稱為公比an 12、通項(xiàng)公式：an a1qn 1a1 qnA Bna1q0, A B 0 ，首項(xiàng)： a1 ；公比： qq推廣： anamqn mqnmanqann mamam3、等比中項(xiàng)：（ 1）如果 a, A, b 成等比數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)，即： A2ab 或 Aab注意：同號(hào)的 兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（ 2）數(shù)列 an 是等比數(shù)列an2an 1 an 14、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 公式：（ 1）當(dāng) q 1 時(shí)， Sn na1（ 2）當(dāng) q 1 時(shí)，

2、 Sna11qna1anq1q1qa11a1qnAA BnA ' BnA '（ A, B, A', B '為常數(shù)）1qq5、等比數(shù)列的判定方法：（ 1）用定義：對(duì)任意的n ，都有或 an 1為常數(shù)，an 0) an 為等比數(shù)an 1 qanq( qan列（2）等比中項(xiàng)： an2an 1an 1 (an1an 10) an 為等比數(shù)列（3）通項(xiàng)公式： anA Bn0 an 為等比數(shù)列A B6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若anqq0n2, 且 nN *或 an 1qan an 為等比數(shù)列an17、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對(duì)任何 m, nN* ，在等比數(shù)列 an 中

3、，有 anamqn m 。（3）若 mn s t (m ,n ,s t, N *) ，則 an am as at 。特別的，當(dāng) m n2k 時(shí)，得 an am ak2注： a1 ana2 an 1a3 an 2等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義an 1anda n 1q(q0)an遞推公a nan 1d ； a na m n mdanan 1 q ； a nam qn m式通項(xiàng)公ana1( n 1) dana1q n 1 （ a1 , q 0 ）式中項(xiàng)a n ka n k（ n, kN*, n k 0）Ga n k a n k (a n k a n k0) （ n, k*, n k 0）

4、A2NSnn(a1an )na1 (q 1)2前 n 項(xiàng)和S na1 1 qna1a n qn(n1)2)Snna1d1 q1( q2q重要ama na paqaa apaqmn性質(zhì)(m, n, p, q N * , m n p q)( m, n, p, q N * , m n p q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例 1 等比數(shù)列 an 中， a1a964,a3 a720, 求 a11 .思路點(diǎn)撥： 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)已知條件可列出關(guān)于a1 和 q 的二元方程組，解出a1 和 q ，可得 a11 ；或注意到下標(biāo) 1 937 ，可以利用性質(zhì)可求出a3 、 a7 ，再求 a11

5、.解析：法一： 設(shè)此數(shù)列公比為a1a9a1 a1q864(1)q ，則a1q2a1q6a3a720(2)由 (2) 得： a1q2 (1 q4 ) 20 .(3) a10 .由 (1) 得： (a q4 )264 , a q48 .(4)11(3) ÷ (4) 得：1 q4205q28，2 2q45q22 0 , 解得 q22 或 q21當(dāng) q2a q1022時(shí)， a12 ， a64 ；111當(dāng) q21 時(shí)， a132， a11a1 q101 .2法二： a1a9a3a764,又 a3 a720 , a3 、 a7 為方程 x220 x64 0 的兩實(shí)數(shù)根，a316或a34a74a7

6、16 a3 a11a7 2 , a11a7 21或 a1164 .a3總結(jié)升華：列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì)算量；解題過(guò)程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零） .舉一反三：【變式 1】a n 為等比數(shù)列， a1=3， a9=768，求 a6。【答案】 ± 96法一： 設(shè)公比為q，則 768=a1q8，q8=256， q=± 2， a6=± 96；2法二： a5 =a1a9a5=± 48q=± 2， a6=± 96?！咀兪?2】a n 為等比數(shù)列， an

7、0，且 a1a89=16，求 a44 a45a46 的值。【答案】 64； a1a89a45216，又 an 0， a45=4 a a45a46a364 。4445【變式3】已知等比數(shù)列 a ，若 a1a2a37 ， a1a2 a38 ，求 a 。nn【答案】 an2n1 或 an 23 n ；法一： a1a3 a22 ， a1a2a3 a238 ， a22從而a1a351， a4 或 a4 ， a 1, 解之得 aa1a341313當(dāng) a11時(shí)， q2 ；當(dāng) a14 時(shí)， q1。2故 a2n 1 或 a 23 n 。nn法二 ：由等比數(shù)列的定義知a2 a1q ， a3a1q2代入已知得a1a

8、1q a1q27a1 a1q a1 q28a1 (1qq2 )7,a1 (1qq2 ) 7, (1)a13 q38a1q2(2)將 a12代入（ 1）得 2q25q20 ，q解得 q21或 q2a11a14由（ 2）得1 ，以下同方法一。q或q22類型二：等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式例 2 設(shè)等比數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.解析： 若 q=1，則有 S3=3a1， S6=6a1，S9=9a1.因 a1 0，得 S3+S6 2S9，顯然 q=1 與題設(shè)矛盾，故q 1.由S3 S62S9a1 (1 q3 ) a1(1 q6 ) 2a1(1 q9 )得，

9、1 q，1 q1 q整理得 q3(2q 6-q 3-1)=0 ，由 q 0，得 2q6-q 3-1=0 ，從而 (2q 3+1)(q 3-1)=0 ，因 q3 1，故 q31，所以 q34。22舉一反三：【變式 1】求等比數(shù)列 1,1 , 1 ,的前 6 項(xiàng)和。39【答案】364 ；2431， n6，qa1 1316116 S63311364 。12324313【變式 2】已知： a n 為等比數(shù)列， a1a2a3=27， S3=13，求 S5.121【答案】 121或；3a (1q3 )11或27 a23， 13q 3 qa21q3，則 a1=1 或 a1=9359 11135121或.S5

10、121S5119313【變式3】在等比數(shù)列 an 中， a1an66 ， a2an 1128， Sn 126 ，求 n 和 q ?！敬鸢浮?q1或 2， n 6 ；2 a2an 1a1an ， a1an128解方程組a1an128，得a164a12a1an 66或an2an64將a164a1anq，得 q1an代入 Sn1q，22由 ana1qn1 ，解得 n6 ；將a12代入 Sna1anq ，得 q2 ，an641q由 ana1qn1 ，解得 n6 。 q1或 2， n 6 。2類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例 3.等比數(shù)列 an 中，若 a5 a69 , 求 log3 a1log 3 a2 .l

11、og3 a10 .解析： an 是等比數(shù)列，a1 a10a2a9a3 a8a4 a7a5a69 log 3 a1log 3 a2log 3 a10log3 (a1a2a3a10 )log3 (a5 a6 )5log3 9510舉一反三：【變式1】正項(xiàng)等比數(shù)列 an 中，若 a1·a100=100;則 lga 1+lga 2+lga 100=_.【答案】 100； lga 1+lga 2+lga 3+lga 100=lg(a 1· a2· a3· · a100)而 a1· a100=a2· a99=a3· a98=a

12、50· a51原式 =lg(a1· a100)50=50lg(a 1· a100)=50 × lg100=100 ?！咀兪?2】在 8 和 27 之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)。32【答案】 216；法一： 設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為 an ，其公比為 q ， a18 ， a527a1q48q4 ， q481 ， q2932316433 aaaa q a q2a q3a3 q68963216。234111134法二： 設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為 a ，公比為 q，則 a18 ， a527 ，n32加入的三項(xiàng)分別為 a2 ， a3 ， a4 ，

13、由題意 a1 ， a3， a5 也成等比數(shù)列，a32 82736 ，故 a36 ，32 a2 a3a4a32 a3a33216。類型四：等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的性質(zhì)例 4 在等比數(shù)列 an 中，已知 Sn48 ， S2n60 ，求 S3n 。思路點(diǎn)撥： 等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k 項(xiàng)和，第 2 個(gè) k 項(xiàng)和，第3 個(gè) k 項(xiàng)和， ，第n 個(gè) k 項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析：法一： 令 b1=Sn=48, b2=S2n-S n=60-48=12 ， b3=S3n -S2n觀察 b1=a1+a2+an,b =a+a+a =q (a +a +a ) ，2

14、n+1n+22nn12nb3=a2n+1+a2n+2+a3n =q2n(a 1+a2+an)易知 b1,b 2,b 3 成等比數(shù)列，b3b22122b13，48 S3n=b3+S2n=3+60=63.法二： S2n2Sn ， q1，a1 (1qn )1q48由已知得a1 (1q2 n )1q60÷得 1 qn5，即 qn144代入得a164 ，1q S3na1(1q3 n )64(113 ) 63。1q4法三： an 為等比數(shù)列，Sn ， S2nSn ， S3nS2 n 也成等比數(shù)列， ( S2nSn )2Sn ( S3n S2 n ) ， S3n( S2nSn )2S2n(6048

15、)260 63。Sn48舉一反三：【變式 1】等比數(shù)列 an 中，公比q=2, S 4=1, 則 S8=_.【答案】 17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4 +a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a 1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q 4)=1 × (1+2 4)=17【變式 2】已知等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 且 S10=10, S20=40,求： S30=？【答案】 130；法一： S10， S20-S 10， S30-S 20 構(gòu)成等比數(shù)列，(S20-S 10) 2=S10 · (S30 -S20)即 302=1

16、0(S 30 -40), S30=130.法二： 2S10 S20， q 1, Sa (1q10 )1101q 1q101 , q101q204 Sa (1q30 )1301q10a1(1q20 ), S40 ,201qa13,51q( 5)(133)130.【變式 3】等比數(shù)列 an 的項(xiàng)都是正數(shù)，若Sn=80, S 2n=6560，前 n 項(xiàng)中最大的一項(xiàng)為54，求 n.【答案】 Sn80， q1( 否則Sn1S2n6560S2n)2 Sna1 (1qn ) =80 .(1)1qS2na1 (1q2n ) =6560.(2)，1q(2) ÷ (1) 得： 1+qn=82, qn=8

17、1.(3)該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由(3) 知 q>1 a n 為遞增數(shù)列， an 為最大項(xiàng) 54. an=a1qn-1 =54, a1qn =54q, 81a1=54q.(4) a154 q2 q 代入 (1)得2 q(1 81)80(1 q) ，8133 q=3, n=4.【變式 4】等比數(shù)列 an 中，若 a1+a2=324, a 3+a4=36,則 a5+a6=_.【答案】 4；令 b1=a1+a2=a1(1+q) ， b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知： b1, b 2, b 3 成等比數(shù)列， b3=b2236256=4,即 a +a =

18、4.b1324【變式 5】等比數(shù)列 an 中，若 a1+a2+a3=7,a 4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值?！敬鸢浮?448；3 3 a n 是等比數(shù)列， (a4+a5+a6)=(a1+a2+a3 )q , q =8, a7+a8+a9=(a 4+a5+a6)q 3=56× 8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例 5已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列. 若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列. 求原來(lái)的三個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥： 恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提. 考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式 .解析：

19、法一： 設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d, a,a+d.則 a-d, a, a+d+32成等比數(shù)列，a-d, a-4, a+d成等比數(shù)列 .a2(ad )(ad32). .(1)(a4)2(ad)(ad ).(2)由 (2) 得 a= d 216 .(3)8由 (1) 得 32a=d2+32d .(4)(3) 代 (4)消 a，解得 d8或 d=8.8263當(dāng) da；當(dāng) d=8 時(shí) ,a=10時(shí) ,93原來(lái)三個(gè)數(shù)為2 , 26 , 338 或 2,10,50.9992，則 a, aq,aq2-32 成等差數(shù)列， a, aq-4, aq2-32 成等比數(shù)列法二： 設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為a, aq, aq2aq

20、aaq 232.(1)4) 2a(aq 2(aq32).( 2)由 (2) 得 a2，代入 (1) 解得 q=5 或 q=13q42當(dāng) q=5 時(shí) a=2；當(dāng) q=13 時(shí) a.9原來(lái)三個(gè)數(shù)為 2，10， 50 或 2，26, 338.999總結(jié)升華： 選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d, a, a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為x ， x, xy 。但還要就問(wèn)題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比 q 來(lái)解y決問(wèn)題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，

21、那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列.【答案】 為 2，6，18 或 2,10,50；999設(shè)所求的等比數(shù)列為a， aq， aq2；則 2(aq+4)=a+aq 2，且 (aq+4) 2=a(aq 2+32) ；解得 a=2，q=3 或 a2， q=-5 ；9故所求的等比數(shù)列為2，6，18 或 2,10,50.999【變式 2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?1、3、 9 或 1、 3、 9 或 9、 3、 1 或 9、 3、 1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a , ,，a aqqaa aq27a 3由已知得qa2 ( 12a2q2 1) 9122q

22、291q2aaq得 9q482q290 ，所以 q29 或 q21，9即 q13或 q3故所求三個(gè)數(shù)為：1、 3、9 或 1、3、 9 或 9、3、1 或 9、 3、 1?！咀兪?3】有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù) . 【答案】 0，4， 8， 16 或 15， 9， 3， 1；設(shè)四個(gè)數(shù)分別是 x,y,12-y,16-x2yx 12y.(1)y) 2y(16x).(2)(12由 (1) 得 x=3y-12 ，代入 (2) 得 144-24y+y 2=y(16-3y+12) 144-24y+y 2

23、=-3y 2+28y, 4y 2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4 或 9， x=0 或 15，四個(gè)數(shù)為 0， 4，8， 16 或 15， 9， 3， 1.類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例 6已知數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足： log 5(S n+1)=n(n N+), 求出數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式，并判斷a n 是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥： 由數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通項(xiàng)公式判斷a n 類型 .解析： log 5(S n+1)=n, Sn+1=5n, Sn=5n-1 (nN+),111 a =S =5 -1=4,當(dāng) n 2 時(shí)，

24、an=Sn-S n-1 =(5 n-1)-(5n-1 -1)=5 n-5 n-1 =5n-1 (5-1)=4×5n-1n-11-1而 n=1 時(shí)， 4× 5 =4×5 =4=a ,1 n N+時(shí)， an=4× 5n-1由上述通項(xiàng)公式，可知a n 為首項(xiàng)為4，公比為 5 的等比數(shù)列 .舉一反三：【變式nnnnn+1np。1】已知數(shù)列 C ，其中C =2 +3 ，且數(shù)列 C -pC 為等比數(shù)列，求常數(shù)【答案】 p=2 或 p=3； Cn+1-pC n 是等比數(shù)列，對(duì)任意 n N 且 n 2，有 (Cn+1-pCn) 2=(Cn+2-pCn+1)(C n-pC

25、 n-1 ) Cn=2n+3n, (2 n+1+3n+1)-p(2 n+3n)2=(2 n+2+3n+2)-p(2 n+1+3n+1) ·(2 n+3n)-p(2n-1 +3n-1 )即 (2-p) · 2n+(3-p) · 3n 2=(2-p)· 2n+1+(3-p) ·3n+1 ·(2-p) · 2n-1 +(3-p)· 3n-1 整理得： 1(2p)(3p)2n3 n0 , 解得： p=2 或 p=3,6顯然 Cn+1-pCn 0，故 p=2 或 p=3 為所求 .【變式2】設(shè) a n 、 b n 是公比不相

26、等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn, 證明數(shù)列 Cn 不是等比數(shù)列 .【證明】 設(shè)數(shù)列 a n 、b n 的公比分別為p, q，且 p q為證 Cn 不是等比數(shù)列，只需證C1C3C22. C 2(a p b q)2a2 p 2b 2q22a b pq ,2111111C1 C3(a1b1)( a1 p 2b1q2 ) a12 p2b12 q2a1b1( p2q2 )C1 C3C22a1b1 ( p q) 2 ,又 p q, a 1 0, b1 0,C1 C3C220即 C1 C3C22數(shù)列 Cn 不是等比數(shù)列 .【變式3】判斷正誤：(1)a n 為等比數(shù)列a7=a3a4；(2) 若 b2=ac，則 a，b， c 為等比數(shù)列；(3)a n ， b n 均為等比數(shù)列，則a nbn 為等比數(shù)列；(4)a n 是公比為 q 的等比數(shù)列，則 a2 、1仍為等比數(shù)列；nan(5)若 a，b， c 成等比，則 loga， log b， log c 成等差 .mmm【答案】(1)62325錯(cuò)； a7 =a1q， a3a4=a1q · a1q =a1q ，等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)要求項(xiàng)數(shù)相同；(2)錯(cuò)；反例：0