《定積分的概念》ppt課件

1、求由延續(xù)曲線求由延續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取xixi-1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用高為個小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為而寬為Dx的小矩形面積的小矩形面積f(xi)Dx近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊梯形的面積，所求曲邊梯形的面積S為為 取取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似的近似值：值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim( )niniSfxx1( )niiSfxx (1)分割:在區(qū)間0,1上等間隔地插入n-1個點,將它等分成n

2、個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度xban 11211,iina xx xxxxb2一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx 小矩形面積和S=假設(shè)當n時，S 的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作 baf (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,經(jīng)過經(jīng)過“四步曲四步曲:分割分割-近似替代近似替代-求和求和-取極限得到處理取極限得到處理.1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即3定積分的定義： 定積分的相關(guān)稱號：定積分的相關(guān)稱號： 叫做積

3、分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy 4 Sbaf (x)dx； 按定積分的定義，有 (1) 由延續(xù)曲線y=f(x) (f(x)0) ，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運動的速度v=v(t)，那么此物體在時間區(qū)間a, b內(nèi)運動的間隔s為 sbav(t)dt。 Oab( )vv t

4、tv定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即5112001( )3Sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt 根據(jù)定積分的定義左邊圖形的面積為61.dxxf)(與badxxf)(的差別3定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4規(guī)定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的

5、全體原函數(shù) 是函數(shù)badxxf)(是一個和式的極限 是一個確定的常數(shù)注：2 .當xfini)(1x的極限存在時，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間ba,的分法及xi點的取法無關(guān)。f(x)a,b7(2)定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 ab 時，有baf (x)dx0。 8 當f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(，d

6、xxfba)(ab yf (x) y-f (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 9ab yf (x)Ox y( )yg x探求探求:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx10三三: 定積分的根本性質(zhì)定積分的根本

7、性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk11三三: 定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)12性質(zhì)性質(zhì)33不論不論a a，b b，c c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)d

8、xf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 13 例例1：利用定積分的定義：利用定積分的定義,計算計算 的值的值. 130 x d x14例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-115積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22x

9、fxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-116積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-117可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-118成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-119 利用定積分的幾何意義，判別以下定積分 值的正、負號。20sinxdx212dxx利用定積分的幾何意義，闡明以下各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx12.12.練習(xí)：試用定積分表示以下各圖中影陰部分的面積。0yx