三中考全國各地中考數(shù)學(xué)試題分類匯編匯編：等腰三角形

1、1 / 722012 年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編等腰三角形一.選擇題1. （ 2012 肇慶） 等腰三角形兩邊長分別為 4 和 8，則這個(gè)等腰三角形的周長為A16B 18C20D 16 或 20【解讀】 先利用等腰三角形的性質(zhì) :兩腰相等；再由三角形的任意兩邊和大于第三邊,確定三角形的第三邊長 ,最后求得其周長 .【答案】 C【點(diǎn)評(píng)】本題將兩個(gè)簡易的知識(shí)點(diǎn) :等腰三角形的兩腰相等和三角形的三邊關(guān)系組合在一起 難度較小 .2（ 2012 江西） 等腰三角形的頂角為 80 ，則它的底角是（ ）A 20 B50 C60 D80 考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì)。分析： 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的

2、性質(zhì)，可以求得其底角的度數(shù)解答：解：等腰三角形的一個(gè)頂角為80 底角=（180 - 80 ）-2=50 .故選 B 點(diǎn)評(píng)： 考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，比較簡單2 / 723 .（ 2012?中考）把等腰 ABC 沿底邊 BC 翻折，得到 DBC，那么四邊形 ABDC解答：解：等腰AABC 沿底邊 BC 翻折，得到 DBC ,四邊形 ABDC 是菱形，菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，四邊形 ABDC 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.故選 C.點(diǎn)評(píng)：本題考查了中心對稱圖形，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形，判斷出四邊形ABDC是菱形是解題的關(guān)鍵.4. （ 2012 荊州）如

3、圖，ABC是等邊三角形，P是/ABC的平分線BD上一點(diǎn)，PE丄AB于點(diǎn)E,線段BP的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)Q.若BF= 2，則PE的長為()A . 2 B . 23C .D . 3【解讀】 題目中已知了ABC是等邊三角形，聯(lián)想到等邊三角形的三邊相等、 三角相等、三線合一的性質(zhì)。本題中，有含有30。角的直角三角形，要想到30。角的直角邊等于斜邊的一半。ABC是等邊三角形，BD是/ABC的平分線，( )第 9 題圖3 / 721所以/ABD= /CBD= ZABC=30 。2在直角QBF 中，BF= 2，/CBD=30:所以 BQ=3.FQ 是 BP的垂直平分線，所以BP=2BQ=2 .

4、3在直角PBE 中，BP=2 .3,/ABD =30 1所以PE= BP=3.2【答案】C【點(diǎn)評(píng)】 題目中已知了ABC是等邊三角形，聯(lián)想到等邊三角形的三邊相等、三角相等、三線合一的性質(zhì)。本題中，有含有30 角的直角三角形，要想到 30 的角所對的直角邊等于斜邊的一半。A.6 B. 7 C. 8 D . 9考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)。解答：解：T/ABC/ACB的平分線相交于點(diǎn) E, /MBE= ZEBC,/ECN= ZECB,MIN /BC,ZEBC= ZMEB , /NEC= ZECB,./VIBE= ZMEB , /NEC= ZECN ,5.（2012 銅仁） 如圖，在 A

5、BC 中，/ABC 和/ACB 的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn) E 作 MN/BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，則線段 MN 的長為（4 / 72MN=ME+EN 即 MN=BM+CN BM+CN=9 MN=9 , 故選 D .6 . （ 2012?資陽）如圖， ABC 是等腰三角形，點(diǎn) D 是底邊 BC 上異于 BC 中點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，/ADE= /DAC , DE=AC 運(yùn)用這個(gè)圖（不添加輔助線）可以說明下列哪一個(gè)命題是假命題？（）A . 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B. 有一組對邊平行的四邊形是梯形C . 一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

6、D .對角線相等的四邊形是矩形考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的判定； 梯形；命題與定理。分析：已知條件應(yīng)分析一組邊相等，一組角對應(yīng)相等的四邊不是平行四邊形，根據(jù)全等三角形判定方法得出/ B= ZE, AB=DE，進(jìn)而得出一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不是平行四邊形，得出答案即可.解答：解：A 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)等腰梯形符 合要求，得出故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B 有一組對邊平行的四邊形是梯形，若另一組對邊也平行，則此四邊形是平行四 邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C 一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，5 / 72公 BC 是

7、等腰三角形，AB=AC，/B=ZC,DE=AC , AD=AD，/ADE= ZDAC ,rDB=AC即Z犧E二ZDAC,LAD二AD /ADEBdDAC ,左=ZC,ZB= ZE, AB=DE ,但是四邊形 ABDE 不是平行四邊形，故一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不是平行四邊形，因此C 符合題意,故此選項(xiàng)正確；D 對角線相等的四邊形是矩形，根據(jù)等腰梯形符合要求，得出故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定方法以及全等三角形的判定，結(jié)合已知選項(xiàng)，得 出已知條件應(yīng)分析一組邊相等，一組角對應(yīng)相等的四邊不是平行四邊形是解題關(guān) 鍵.7 （ 2012 攀枝花）已知實(shí)數(shù) x, y

8、滿足| : - -I,則以 x, y 的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A.20 或 16B . 20C . 16D .以上答案均不對 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；三角形三邊關(guān)系。分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義列出關(guān)于 x、y 的方程并求出 x、y 的值，再根據(jù) x 是腰長和底邊 長兩種情況討論求解.6 / 72解答：解：根據(jù)題意得x - 4=0廠 8=0，垃二 4解得，,I 尸 8(1 )若 4 是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8 ,不能組成三角形；(2 )若 4 是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8,能組成三角形，周長為 4+8+8=20.故選

9、 B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情況討論求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做 出判斷.根據(jù)題意列出方程是正確解答本題的關(guān)鍵.8 . ( 2012 廣安)已知等腰厶 ABC 中，AD 丄 BC 于點(diǎn) D，且 AD=BC，則 ABC 底角的度 數(shù)為( )A . 45 B. 75 C . 45 或 75 D . 60 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形。7 / 72分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，注意分別從/BAC 是頂角與/ BAC 是底角去分析，然后利用等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)

10、，即可求得答案.解答：解：如圖 1 : AB=AC ,AD 丄 BC,BD=CD=BC ，/ ADB=90 ,AD=BC ,AD=BD ,/ B=45 ,即此時(shí) ABC 底角的度數(shù)為 45 ;如圖 2, AC=BC ,AD 丄 BC,/ ADC=90 ,AD=BC ,AD=AC ,/ C=30 ,180 - ZAJCAB- ZB=75 ,2即此時(shí) ABC 底角的度數(shù)為 75 ;綜上， ABC 底角的度數(shù)為 45 或 75 .故選 C.圏1圏28 / 72點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理此題難 度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.9.

11、（ 2012 孝感）如圖，在ABC中，AB=AC,/A=36 ,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,若AC=2，則AD的長是（）A._LZ!B._L_!C.、5 -1D .5 1tK II BS）【解讀】 根據(jù)三角形特點(diǎn)，先求出角的度數(shù)，從而得到三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得.在ABC中，AB=AC,/A=36 ,./BC=ZACB= 72 /BD平ZABC,A/ABD=/CBD= 36 ，-BD=AD=BC,/BDC=72ZABCS/BCD故：AB:BC=BC:CD設(shè)AD=x，貝 UBC=x,CD=2-x,：2 :x=x: (2-x)解得x= 5 -1 或x= 5 1 AC(舍去

12、)【答案】C【點(diǎn)評(píng)】 題考查了相似三角形的證明和性質(zhì)，本題中求證三角形相似是解題的關(guān)鍵.10 . （ 2012 潛江）如圖，AABC 為等邊三角形，點(diǎn) E 在 BA 的延長線上，點(diǎn) D 在 BC 邊9 / 72上，且 ED=EC .若 ABC 的邊長為 4 , AE=2，貝 U BD 的長為（）平行線分線段成比例；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。延長 BC 至 F 點(diǎn)，使得 CF=BD，證得 EBD 也FC 后即可證得/ B= /F,然后證得AC /EF,利用平行線分線段成比例定理證得CF=EA 后即可求得 BD 的長.解：延長 BC 至 F 點(diǎn)，使得 CF=BD ,VED=EC ZEDB

13、= ZECF./EBD 也FCZB= ZF公 BC 是等邊三角形,ZB=ZACBZACB= ZF AC /EFAE=CF=2 BD=AE=CF=2故選 A.10 / 7211.（ 2012 孝感）如圖，在菱形ABCD中，/A=60 ,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),DE,BF相交于點(diǎn)G，連接BD,CG,有下列結(jié)論：/BGD=120【解讀】根據(jù)題意，ABD是等邊三角形，由此可推得BG=DG=ZEBG,ZGCB=3 0 , /GBC=9 0 ;1因?yàn)橹苯侨切沃?0。角所對的邊等于斜邊的一半，所以BG=- GC;顯然CGBD,2BDF和CGB不可能全等；故，正確.【答案】C【點(diǎn)評(píng)】考查菱形的性質(zhì)和軸

14、對稱及等邊三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用根據(jù)/ 邊三角形厶ABD是解本題的關(guān)鍵.;(BG+DG=CG;彳AB2.其中正確的結(jié)論有（A=6 0 得到等點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線.第12題圖）BDFzCGB:SAABD=11 / 72.填空題12.( 2012 廣元)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為80 ，則另兩個(gè)角的度數(shù)是【答案】50 , 50 8 或 , 20 ?！究键c(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。【分析】分情況討論：(1 )若等腰三角形的頂角為80 時(shí)，另外兩個(gè)內(nèi)角-(180 - 80 )- 2=50 ;(2 )若等腰三角形的底角為80 時(shí)，頂角為

15、180 - 80 - 80 -20 。等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 80 ，則另兩個(gè)角的度數(shù)是 50 , 50 8 或 , 20 。13.( 2012 綏化)等腰三角形的兩邊長是 3 和 5，它的周長是.【解讀】 解：題中給出了等腰三角形的兩邊長，因沒給出具體誰是底長，故需分類討論：當(dāng) 3 是底邊長時(shí)，周長為 5+5+3=13;當(dāng) 5 是底邊長時(shí)，周長為 3+3+5=11.【答案】11 或 13 .【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等腰三角形中的常見分類討論思想，已知兩邊求第三邊長或周長面積 等，解決本題的關(guān)鍵是注意要分類討論，但注意有時(shí)其中一種情況不能構(gòu)造出三角形，考 生稍不留神也會(huì)寫出這種不合題意的答案.難度

16、中等.14.(2012 哈爾濱)一個(gè)等腰三角形靜的兩邊長分別為5 或 6，則這個(gè)等腰三角形的周長是.【解讀】 本題考查等腰三角的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系因?yàn)榈妊莾裳嗟?，所以其三邊可能?5、5、6 或 6、6、5，經(jīng)檢驗(yàn)兩種可能都能組成三角形，所以這個(gè)三角形周長是 16 或 17.【答案】16 或 1712 / 72【點(diǎn)評(píng)】本題易忽略檢驗(yàn)?zāi)芊窠M成三角形，注意分類討論思想的運(yùn)用15.（ 2012 遵義）一個(gè)等腰三角形的兩條邊分別為4cm 和 8cm，則這個(gè)三角形的周長為.解讀：由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?4cm ;（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?8cm ;兩種情

17、況討論，從而得到其周長.解：（1 ）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?4cm，底為 8cm 時(shí)，不能構(gòu)成三角形.（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?8cm，底為 4cm 時(shí)，能構(gòu)成三角形，周長為 4+8+8=20cm 故這個(gè)等腰三角形的周長是 20cm .故答案為：20cm .答案：20cm點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目 一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行答 案，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.16.（2012 隨州）等腰三角形的周長為 16，其一邊長為 6，則另兩邊為 _。解讀：當(dāng)邊長為 6 的邊為腰時(shí)，則底時(shí)，則另兩邊分別為5、5，

18、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，三邊也可以構(gòu)成三角形。所以兩種情況均成立。答案：6 和 4 或 5 和 5點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的邊角關(guān)系。在題中沒有明確所給邊為底邊還是腰時(shí)，要分類討論，分別求解。且對于求出的邊長要根據(jù)三角形邊角關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，以防止三邊不能構(gòu)成三角形。13 / 7217.（2012 黃岡）如圖，在 ABC 中，AB=AC，/A=36 ,AB 的垂直平分線交 AC 點(diǎn) E,垂足為點(diǎn) D，連接 BE，則ZEBC 的度數(shù)為 _【解讀】 在厶 ABC 中， AB=AC， /A=36 得： zABC= ZC=72。 由 AB 的垂直平分線交 AC 得 AE=BE ,UBE=

19、ZA=36 ,二 EBC=72 -36 =36 【答案】36 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形和線段中垂線的性質(zhì)難度中等18 .（ 2012?寧波）如圖，AE /BD,C是BD上的點(diǎn)，且AB=BC,ZACD=110 ，則/EAB=40 度.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)。分析：首先利用/ACD=110。求得zACB與ZBAC的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求得/B的度數(shù),然后利用平行線的性質(zhì)求得結(jié)論即可.14 / 72解答：解:vAB=BC,/.zACB=ZBACVZACD=110 ZACB=ZBAC=70 /ZB= / 40 AE/BD,ZEAB=40 ,故答案為 40 .點(diǎn)評(píng)：本題考查

20、了等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，題目相對比較簡單，屬于基礎(chǔ)題.19. （ 2012 淮安）如圖，AABC中，AB=AC，AD丄BC,垂足為點(diǎn)D，若/BAC=70o，則/BAD=o .題14 S【解讀】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線1互相重合（三線合一），可得/BAD=- ZBAC=35 o .【答案】350【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，禾 U 用三線合一是正確解答本題的關(guān)鍵.20. （2012 濱州）如圖，在 ABC 中，AB=AD=DC , / BAD=20 ，則 C=.15 / 72AD=DC，/C=40/ADC 是ABD 的外角，/ ADC

21、= ZB+ / BAD=80 +20=10016 / 72【答案】40【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，AB=AD，又已知/ BAD 的大小，可求出/ B、/ADE的大小.又已知 AD=DC，由三 角形內(nèi)角和定理可得/ C 的大小.21.（ 2012?吉林）如圖，A, B,C是L O上的三點(diǎn)，CAO =25.- BCO =35，則ZAOB二度.答案120.考點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)；圓：圓內(nèi)同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系（圓周角定理）解讀利用等腰三角形兩底角相等，圓內(nèi)同弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求解解： 女口圖， 在AOC中，A

22、O C ,- - CAO = - ACO = 25 . CAO ACO =25 .ACB=25 35丄60又ACB是AC對的圓周角， AOB是AC對的圓心角. AOB =2 ACB =2 60 =12022. （2012 萊蕪）在AABC 中，AB=AC=5 , BC=6，若點(diǎn) P 在邊 AC 上移動(dòng)，則 BP 的最 小值是.（第15題圖）第十一題丿17 / 72【解讀】過點(diǎn) A 作 AD 丄 BC 于點(diǎn) D ,因?yàn)?AB=AC=5 , BC=6，所以 BD=3，所以 AD=4 ,根據(jù)垂線段最短，當(dāng) BP 丄 AC 時(shí)，BP 有最小值.【點(diǎn)評(píng)】本題考察了勾股定理、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、等面

23、積法。考察了學(xué)生解決 等腰三角形解決等腰三角形問題常加的輔助線。本題綜合性強(qiáng)，難度中等。三.解答題23. （2012 肇慶）如圖 5，已知AC丄BC,BD丄AD,AC與BD交于0,AC=BD. 求證：（1）BC=AD；（2 ）OAB是等腰三角形.圖 5【解讀】 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)ACB/BDA從而得出BC=AD，及/C AB= ZDBA，進(jìn)而推 出OAB根據(jù)AD4 6 =5BP, BP=24【答245C18 / 72是等腰三角形.【答案】 證明：（1）VAC丄BC,BD丄AD.zD =/C=90（1 分）在 Rt ACB和 Rt BDA中，AB=BA,AC=BD,/-ZACB zBDA（HL）（

24、4 分）DCBC=AD（5 分）（2 ）由ACBzBDA得 ZCAB= ZDBA（6 分） /OAB 是等腰三角形.（7 分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的判定，考察了學(xué)生簡單的推理 能力。難度較小。24. （ 2012 益陽）如圖，已知AE/BC,AE平分ZDAC.求證：AB=AC.【解讀】由AE平分ZDAC得到Z1=Z2 又由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等同位角相等，得到Z1=ZB,Z2=ZC.所以有：ZB= ZC HABC中等角對等邊，即得到AB=AC【答案】證明：AE平分ZDAC,Z= Z2.AE/BC,19 / 72Z=ZB,Z2=ZC.ZB=ZC,AB=AC.【點(diǎn)評(píng)】

25、此題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和在三角形中等角對等邊的應(yīng)用，考20 / 72查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)來解決問題的能力，設(shè)問方式較常規(guī)，為學(xué)生熟知揮自己的思維水平，難度不大。【專題】證明題.【分析】(2 )首先根據(jù) AB=AC，利用等角對等邊和已知的/ A 的度數(shù)求出/ ABC 和/C 的度數(shù)，再根據(jù)已知的BD 是/ABC 的平分線，利用角平分線的定義求出/DBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出/BDC 的度數(shù).【解答】(2)解：TAB=AC，/A=40 ,1ZABC= /C= (180 -40 )=70 ,2又 BD 是/ABC 的平分線，1ZDBC=/ABC=35 ,2ZBDC

26、=180 - /DBC- /C=75 .【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及全等 三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握定理與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵,能讓學(xué)生正常發(fā)25 .（ 2012在厶 ABC 中,BD 是/ABC度數(shù).【考等腰三角形的性質(zhì).的平分線，求/ BDC濟(jì)南)(2 )如圖AB=AC , / A=4021 / 7226 .（ 2012 廣東）如圖，在 ABC 中，AB=AC，/ ABC=72（1 ）用直尺和圓規(guī)作/ ABC 的平分線 BD 交 AC 于點(diǎn) D （保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2 ）在（1 ）中作出/ ABC 的平分線 BD 后，求/ BDC

27、 的度數(shù).考點(diǎn)：作圖一基本作圖；等腰三角形的性質(zhì)。解答：解：（1）一點(diǎn) B 為圓心，以任意長長為半徑畫弧，分別交AB、BC 于點(diǎn) E、F;分別以點(diǎn) E、F 為圓心，以大于 EF 為半徑畫圓，兩圓相較于點(diǎn)G,連接 BG 角 AC 于點(diǎn)D 即可.（2 ）在ABC 中，AB=AC，/ ABC=72 ,ZA=18 0 -2 / ABC=180 - 144 =36 ,AD 是/ABC 的平分線，ZABD=/ABC=X72=36 , ZBDC 是ABD 的外角，ZBDC= /A+ / ABD=36 +36 =72 .22 / 7227 .( 2012?湘潭)如圖，AABC 是邊長為 3 的等邊三角形，將

28、ABC 沿直線 BC 向右平移，使 B 點(diǎn)與 C 點(diǎn)重合，得到 DCE，連接 BD，交 AC 于 F.(1 )猜想 AC 與 BD 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2 )求線段 BD 的長.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；平移的性質(zhì)。專題：探究型。分析：(1)由平移的性質(zhì)可知 BE=2BC=6 , DE=AC=3 ，故可得出 BD 丄 DE,由/E= /ACB=60?？芍?AC /DE，故可得出結(jié)論；(2 )在 RtBDE 中利用勾股定理即可得出BD 的長.解答：解：(1 ) AC 丄 BD VZDCE 由ABC 平移而成，BE=2BC=6 , DE=AC=3，/E= / ACB=60 , D

29、E=BE ,VBD 丄 DE,左=/ ACB=60 ,AC /DE ,BD 丄 AC ；(2 )在 RtBED 中，BE=6 , DE=3 ,BD= J= :=3 _;.23 / 72點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.2011 年全國各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編第 23 章等腰三角形一、選擇題 http:/ /1.（2011 浙江省舟山，7, 3 分）如圖，邊長為 4 的等邊ABC中，DE為中位線，則四 邊形BCED的面積為（）（A）2.3（ B）3、3（ C）4 3(D)63（第7題）【答案】B2.（2011 四川南充市，10

30、 , 3 分）如圖，A 和CdCDE 勻?yàn)榈妊苯侨切?，點(diǎn) B,C,DBC在一條直線上，點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，下列結(jié)論：tan CEC=CDSdABC+SdCD皋SdACE。 BM 丄 DM。 BM=DM.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）24 / 72(A) 1 個(gè)( B) 2 個(gè)( C) 3 個(gè)( D) 4 個(gè)【答案】D3.（2011 浙江義烏，10, 3 分）如圖，ABC和ADE都是等腰直角三角形，/BAC= /DAE=90 ，四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE.下列結(jié)論中：CE=BD；ADC是等腰直角三角形；/ADB=ZAEB;CDAE=EFCG;

31、一定正確的結(jié)論有BE25 / 72A. 1 個(gè) B . 2 個(gè) C . 3 個(gè) D . 4 個(gè)【答案】D4.（2011 臺(tái)灣全區(qū),30）如圖（十三），AABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，并連接BD、DE.若ZA=30 ,AB=AC，則/BDE的度數(shù)為何?26 / 727.（2011 四川涼山州,8, 4 分) 如圖，在 ABC中，AB=AC=13,BC =10,占八A .45 B 52 5 C 67 5 D .75【答案】C（2011 臺(tái)灣全區(qū)，34）如圖（十六），有兩全等的正三角形ABC、DEF,且D、A分別為MBC、ADEF的重心固定D點(diǎn)，將ADEF逆時(shí)

32、針旋轉(zhuǎn)，使得A落在DE上，如圖（十七）所示求圖六）與圖（十七）中，兩個(gè)三角形重迭區(qū)域的面積比為何?【答案】C么此三角形的周長是A 15cm 16cm 或 17cm【答案】D5.6.（2011 山東濟(jì)寧,3, 3 分)如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是5cm 和 6cm , 16cmC 17cmA ( +A )27 / 72【答案】3 3cm2.（2011 山東煙臺(tái)，14,4 分）等腰三角形的周長為14，其一邊長為 4，那么，它的底邊為.【答案】4 或 63.（2011 浙江杭州，16 , 4）在等腰RtKBC中，/C=90 ,AC= 1，過點(diǎn)C作直線I/AB,F是I上的一點(diǎn)，且AB=AF,則點(diǎn)F

33、到直線BC的距離為.【答案】或 311224.（2011 浙江臺(tái)州，14,5 分）已知等邊厶 ABC 中，點(diǎn) D,E 分別在邊 AB,BC 上，把 BDE10156075A.B .C.D .13/131313AAa【答案】 C8.二、填空題1. (2011山東濱州，15 ,4 分）邊長為6cm 的等邊三角形中，其一邊上高的長度為D為BC的中點(diǎn)，DE DE _ AB，垂足為點(diǎn)E，貝U DE等于（)28 / 72沿直線 DE 翻折，使點(diǎn) B 落在點(diǎn) B /處,DB :EB，分別交邊 AC 于點(diǎn) F, G,若ZADF=80 o，則/EGC 的度數(shù)為29 / 72【答案】80o5.（2011 浙江省嘉

34、興，14 , 5 分）如圖，在ABC中，AB=AC,. A =40，則ABC的【答案】1106.（2011 湖南邵陽，11 , 3 分）如圖（四）所示，在 ABC 中，AB=AC，/B=50 ，則/【答案】80 。提示：/A=180 -2 X50 807.（2011 山東濟(jì)寧，15 , 3 分）如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為 AB、BC 邊外角/BCD=.A=_圖（四）30 / 72上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE,AE與CD交于點(diǎn)F,AG丄CD于點(diǎn) G,則FGAF31 / 72D第 15 題1【答案】28.（2011 湖南懷化，13 , 3 分）如圖 6，在 AB中, AB=AC，/

35、BAC 勺角平分線交 BC邊于點(diǎn) D , AB=5 , BC=6，貝 U AD=_【答案】49.（2011 四川樂山 16 , 3 分）如圖，已知/AOB=在射線 0A、OB 上分別取點(diǎn)0A1=0B，連結(jié) AB，在 BA、BB 上分別取點(diǎn) A、B，使 B1B= B A，連結(jié) A B按此規(guī)律上去，記/ A B=弓，/A3B2B3二二2，/An+1B*Bn 1=片則弓=；71n=。32 / 72180+a（2“_1）180心 + 口【答案】-一 J8022n10 .（2011 湖南邵陽，11 , 3 分）如圖（四）所示，在 ABC 中，AB=AC，/B=50貝 y/A=_ 。【答案】80 。11.

36、（ 2011 貴州貴陽，15，4 分）如圖，已知等腰 RtZABC的直角邊長為 1，以 RtZABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰 RtACD，再以 Rt ACD的斜邊AD為直角邊， 畫第三個(gè)等腰 RtADE，-,依此類推直到第五個(gè)等腰 RtAFG，則由這五個(gè)等腰直角三角形所構(gòu)成的圖形的面積為 _（第 15 題圖）圖（四）33 / 72【答31212.( 2011 廣東茂名,14 , 3 分）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則/己=度.34 / 72【答案】15三、解答題1. （2011 廣東東莞，21 , 9 分）如圖（1）,AABC與

37、AEFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，ZBAC=ZDEF= 90 ，固定ABC,將EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）.（1 ）問：始終與AGC相似的三角形有及；（2 ）設(shè)CG=x,BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2 的情況說明理由）；【解】（1 ）HGA 及 AHAB ;(2 )由(1)可知 AGC s/HAB些，即X,AB BH 9 y所以，y =X1(3 )當(dāng) CGv? BC時(shí)，/GAC= ZHv/HAC ,.ACvCHAGv

38、AC,.AGvGH35 / 72又 AH AG , AH GH此時(shí)， AGH 不可能是等腰三角形；1當(dāng) CG=BC時(shí)，G 為 BC 的中點(diǎn)，H 與 C 重合， AGH 是等腰三角形；29尸9尸此時(shí)，GC= .2，即 x= 22 21當(dāng) CG - BC時(shí)，由（1）可知 AGC s/HGA2所以，若 AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若 AG=AH，貝 U AC=CG，此時(shí) x=99 l綜上，當(dāng) x=9 或、2 時(shí)，AAGH 是等腰三角形.22.（2011 山東德州 19,8 分）如圖AB=AC,CD丄AB于D,BE丄AC于E,BE與CD相交于點(diǎn)O.（1 ）求證AD=AE; （2）連接O

39、A,BC,試判斷直線OA,BC的關(guān)系并說明理由.【答案】（1 ）證明：在厶ACD與ZABE中,么=ZA，/ADC=ZAEB=90 ,AB=AC,ACD3X ABE.3 分 AD=AE .4 分A36 / 72(2)互相垂直 .5 分在 RtADO與AAO中,OA=OA ,AD=AE,ADO經(jīng)AEO.DAO= /EAO.即OA是/BAC的平分線.又 TAB=AC,OA丄BC.分3.(2011 山東日照，23 , 10 分)如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角ABC內(nèi)一點(diǎn)，/CAD=ZCBD= 15 ,E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA.(1)求證：DE平分/BDC;(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證

40、：ME=BD.【答案】(1 )在等腰直角ABC中，/CAD= /CBD=150,zBAD= /ABD=45-15=300,BD=AD,AZBDC也 ADC,zDCA=ZDCB=450.由/BDM=ZABD+ /BAD=30+30=600ZEDC= ZDAC+ZDCA=15+45o=600,zBDM= /EDC,37 / 72DE平分/BDC;(2 )如圖，連接MC,38 / 72DC=DM，且/MDC=60ZMDC是等邊三角形，即CM=CD.又 vZEMC=180 ZDMC=180。-60 120ZADC=180 /MDC=180 -60 120 ,zEMC=ZADC.又CE=CA,zDAC=

41、 /CEM=15 ,.AJDC/EMC,.ME=AD=DB上中點(diǎn)，過 D 點(diǎn)作 DE 丄 DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4 , FC=3，求 EF 長.【答案】連結(jié) BD，證/BEDBJCFD 和AAED 也 ZBFD，求得 EF=55.（ 2011 浙江衢州,23,10 分）ABC是一張等腰直角三角形紙板，C二Rt,AC二BC=2.要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由4.（2011 湖北鄂州，18 , 7 分）如圖，在等腰三角形ABC 中，/ABC=90,D 為 AC 邊39 /

42、 72圖 1 中甲種剪法稱為第 1 次剪取，記所得的正方形面積為S；按照甲種剪法，在余下的-ADE和-BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第 2 次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為S2（如圖 2），則S2=；再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3 次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為2（如圖 3）;繼續(xù)操作下去則第 10 次剪取時(shí)，So =.求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面積和【答案】（1）解法 1 ：如圖甲，由題意得AE = DE = EC 即乙，設(shè)MN =x，則由題意，得AM =MQ =PN =NB =MN.甲種剪法所得的

43、正方形的面積更大S正方形 CFDE S ABC- 1EC1,目方形 CFDE-1.如圖二x,說明：圖甲可另解為：由題意得點(diǎn) D、E、F 分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，S正方形 PNMQ -40 / 722解法 2 :如圖甲，由題意得AE二DE二EC,即卩 EC=1如圖乙，設(shè)MN =x,則由題意得 AM =MQ nQpnpN =NB = MN =x41 / 72.3x = 2 、- 2,解得x =2 23又；1，即 EC . MN3.甲種剪法所得的正方形的面積更大1S2二2c1Si。二 29i解法 1 ：探索規(guī)律可知：Sn茍2 -剩余三角形的面積和為：2一3 5 HI Sg =21* 川土 T解

44、法 2 :由題意可知,第十次剪取后剩余三角形面積和為S9- S10= Sw=26. （2011 浙江紹興，23，12 分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目,在等邊三角形 ABC 中，點(diǎn) E 在 AB 上,點(diǎn) D 在 CB 的延長線上，且 ED=EC,如圖 I試確定線段 AE 與 DB 的大小關(guān)系，并說明 .理由.小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答:第一次剪取后剩余三角形面積和為第二次剪取后剩余三角形面積和為第三次剪取后剩余三角形面積和為2_S=1 書S -s2=1 -122=S242 / 72（1 ）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖 1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接

45、寫出結(jié)論:AE DB(填“ ” ”，“ ”或“ =”）理由如下：如圖 2，過點(diǎn)E作EF /BC，交AC于點(diǎn)F.（請你完成以下解答過程）（3 ）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED二EC.若ABC的邊長為 1，AE =2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）.【答案】（1）=.（2）=.方法一：如圖，等邊三角形ABC中，ABC二ACB二BAC =60，AB二BC二AC,I I_B第 25 題圖 1E第25題圖 2A44 / 72,EF / /BC,AEF AFE =60BAC,AEF是等邊三角形,.AE二AF二EF ,.ABAE 二 AC 一 AF,即卩

46、BE=CF,又；ABC二EDB BED二60,.ACB =/ECB . FCE =60V ED 二 EC,EDB 二 ECB,BED =/FCE,? . ： DBE 三 EFC,DB 二 EF,AE 二 BD.方法二：在等邊三角形ABC中，.ABC ACB =60,ABD =120 ,: ABC EDB BED, ACB ECB ACE,:ED二EC,.EDB ECB,BED ACE,7 FE/BC,.AEF二AFE =60二BAC,. AEF是正三角形，.EFC =180-/ACB =120 ABD:EFC三DBE,DB =EF,而由AEF是正三角形可得EF = AE.AE =DB.(3)1

47、 或 3.7.(2011 浙江臺(tái)州，23,12 分)如圖 1，過AABC 的頂點(diǎn) A 分別做對邊 BC 上的高 AD 和, DE中線 AE，點(diǎn) D 是垂足，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)，規(guī)定A。特別的，當(dāng)點(diǎn) D 重合時(shí)，規(guī)定45 / 72BEA =0。另外。對B、c 作類似的規(guī)定。46 / 72圖1圖2（1 ）如圖 2，已知在 RtKBC 中，/ A=30 o，求、A、 c；（2 ）在每個(gè)小正方形邊長為1 的 4X4 方格紙上，畫一個(gè)厶 ABC，使其頂點(diǎn)在格點(diǎn)（格點(diǎn)即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，且A=2，面積也為 2 ;（3）判斷下列三個(gè)命題的真假。（真命題打，假命題打X）1若ABC 中，1，則AABC

48、 為銳角三角形；（）2若AABC 中，A=1，則AABC 為直角三角形；（）3若ABC 中，1，則AABC 為鈍角三角形；（）【答案】解：（1 ）如圖，作 CD 丄 AB，垂足為 D，作中線 CE、AF。RtAABC/CAB=30o,/ AE=CE=BE ,/CEB=60o,CD 丄 ABCF=BFAE=2DEDEAE47 / 72（2）如圖所示:48 / 72Af2CD(3)x；“；8.(2011 浙江義烏，23 , 10 分)如圖 1，在等邊厶ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP.將ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) %角(0av180),得到A1B

49、1P,連結(jié)AA1,射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.(1)如圖 1，當(dāng) 0VaV60。時(shí)，在a角變化過程中，BEF與MEP始終存在關(guān)系(填 “相似”或“全等”)，并說明理由；(2)如圖 2，設(shè)/ABP=3-當(dāng) 60 a180。時(shí)，在a角變化過程中，是否存在BEF與AEP全等？若存在，求出a與3之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；(3)如圖 3，當(dāng)a=60 時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.已知AB=4，設(shè)DP=x,A1BB1的 面【答案】(1 )相似由題意得：/APA1=ZBPB1=aAP=A1PBP=B1P貝UZPAAi=/PBBi=18090 -2 2/ZPBBi=/EBF.zPAE

50、=ZEBF又v/BEF=ZAEP圖349 / 72/.ZBEFs/AEP(2) 存在，理由如下：易得：BEFs公EP若要使得厶BEFzAEP，只需要滿足BE=AE即可/BAE=ZABE( ot、ot4v/BAC=60 .BAE=60 90 i = -30 2丿2vzABE=3/BAE=ZABE30 = 即a=23+60 2(3) 連結(jié)BD，交AiBi于點(diǎn)G,過點(diǎn)Ai作AiH丄AC于點(diǎn)H.vzBiAiP=ZAiPA=60 AiBi/AC由題意得：AP= AiPZA=60 /PAAi是等邊三角形AiH=3(2 x)在 Rt /ABD中，BD= 2 -32BG=2.33(2 x) = . 33x2

51、2S 幽BR=1 疋 4 工 3-I= 3-3x(0wxv2)l丿9.(2011 廣東株洲，20, 6 分)如圖， ABC 中，AB=AC，/A=36 ,AC 的垂直平分線 交 AB 于 E, D為垂足，連結(jié) EC.50 / 72(1)求/ ECD 的度數(shù)；(2 )若 CE=5，求 BC 長.【答案】(1 )解法一： DE 垂直平分 AC,.CE=AE，/ECD= ZA=36解法二： DE 垂直平分 AC ,.AD=CD，/ADE= ZCDE=90 ,又DE=DE, ADE 也/CDE，/ECD=ZA=36 .(2 )解法一：TAB=AC，/A=36 , B=ZACB=72 ,VZECD=36

52、 ,ZBCE= ZACB- ZECD=36 ,ZBEC=72 ZB, BC=EC=5.解法二： AB=AC ,ZA=36 , ZB=ZACB=72 , ZBEC= ZA+ ZECD=72 , ZBEC= ZB,BC=EC=5.10 . (2011 重慶綦江，24 , 10 分)如圖，等邊ABC中，AO是/BAC的角平分線，D為AO上一點(diǎn)，以CD為一邊且在CD下方作等邊CDE,連結(jié)BE.(1)求證：ACD zBCE；51 / 72(2)延長BE至Q, P為BQ上一點(diǎn)，連結(jié)CP、CQ使CP= CQ= 5,若BC= 8 時(shí)，求PQ的長.【答案】：（1）證明ABC和CDE均為等邊三角形,AC=BC ,

53、 CD=CE且/ACB=ZD6E50vZACD+ZDCB=ZDCB+厶BCE/.ZACD=ZCEACDABCE52 / 72（2）解：作CH 丄 BQ交BQ于H,則PQ =2HQ在RtBH中，由已知和（1）得/ CBH=ZCAO30 ，-CH= 4 在RtCH（中, HQ=. CQ2- CH2h：；52- 42=3PQ=2HQ= 611.（2011 江蘇揚(yáng)州，23,10 分）已知：如圖，銳角 ABC 的兩條高 BD、CE 相交于點(diǎn)O，且 OB=OC，（1 ）求證： ABC 是等腰三角形；（2 ）判斷點(diǎn) O 是否在/ BAC 的角平分線上，并說明理由。53 / 72AB 是等腰三角形?！敬鸢浮浚?/p>

54、1 ）證明:OB=OC / OBC= / OCB BD、CE 是兩條高/ BDC= / CEB=90又BC=CB BDCAAS )EB (DBC=/ ECB AB=AC54 / 72（2）點(diǎn) 0 是在/ BA 的角平分線上。連結(jié) A0./BDCACEB DC=EB,/ OB=OC OD=OE又/ BDC= / CEB=90 AO=AO ADOAAEHL(/DAO=EAO點(diǎn) O 是在/ BA 的角平分線上。12.（2011 廣東省，21 , 9 分）如圖（1）,AABC與AEFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，ZBAC=ZDEF= 90 ，固定BC,將EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)

55、DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）.（1 ）問：始終與AGC相似的三角形有及；（2 ）設(shè)CG=x,BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù) 2 的情況說明理由）；【解】（1 ）MGA 及 AHAB ;55 / 72（2 ）由（1）可知 AGCS/HABCG ACx 9，即一=AB BH9 y81所以，y=x1（3 ）當(dāng) CG VqBC時(shí)，/GAC= /Hv/HAC ,.AC AG , AH GH此時(shí)， AGH 不可能是等腰三角形；1當(dāng) CG=BC時(shí)，G 為 BC 的中點(diǎn)，H 與 C

56、重合， AGH 是等腰三角形；29尸9 /=此時(shí)，GC= -2，即 x= 2221當(dāng) CG BC時(shí)，由（1）可知 AGCS/HGA所以，若 AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH若 AG=AH，貝UAC=CG，此時(shí) x=99 l綜上，當(dāng) x=9 或-：2時(shí)，AAGH 是等腰三角形.213.（2011 湖北黃岡，18 , 7 分）如圖，在等腰三角形ABC 中，/ ABC=90 ,D 為 AC邊上中點(diǎn)，過 D 點(diǎn)作 DE 丄 DF，交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4 , FC=3，求 EF長.56 / 72【答案】連結(jié) BD，證ABEDBJCFD 和AAED 也 ZBFD，求

57、得 EF=514.（ 2011 湖北襄陽，21 , 6 分）如圖 6，點(diǎn)D,E在AABC的邊BC上，連接AD,AE.B=AC;AD=AE;BD=CE以此三個(gè)等式中的兩個(gè)作為命題的題設(shè)，另一個(gè)作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三 個(gè)命題：=；=；=.（1）以上三個(gè)命題是真命題的為（直接作答）；（2）請選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明（先寫出所選命題，然后證明）【答案】 （1 ）=；=；=.？?？?分（2 ）（略） 6 分15.（2011 山東泰安，29 , 10 分）已知：在厶ABC中，AC=BC,/ACB=900，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)。（1） 直線BF垂直于CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G（如圖），求證：AE=CG;BEC第 18 題A圖 65