鄭毓教授對(duì)《植樹(shù)問(wèn)題》的解讀

1、鄭毓信教授對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的解讀     一、“歸類(模式的建構(gòu))”與“分類”  首先應(yīng)當(dāng)指明，就“植樹(shù)問(wèn)題”這一內(nèi)容的教學(xué)而言，事實(shí)上涉及了兩種不同的數(shù)學(xué)活動(dòng)：其一，以“植樹(shù)問(wèn)題”為(現(xiàn)實(shí))原型引出普遍性的數(shù)學(xué)模式(例如，可以稱為“分隔問(wèn)題”)，然后再利用這一模式去解決各種新的實(shí)際問(wèn)題，如路燈問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、鋸樹(shù)問(wèn)題、爬樓問(wèn)題等。其二，對(duì)于上面所提到的每一個(gè)問(wèn)題，我們又都可區(qū)分出三種不同的情況，就“植樹(shù)問(wèn)題”而言，這也就是所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：就上述的這兩種活動(dòng)而言，究竟何者應(yīng)當(dāng)成為這一教

2、學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)?什么又是這一教學(xué)活動(dòng)的真正難點(diǎn)? 由于筆者并未實(shí)際從事過(guò)這方面的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)于上述問(wèn)題就很難作出最終的解答；但在筆者看來(lái)，這無(wú)疑又是這方面最為基本的一個(gè)事實(shí)：如果學(xué)生未能清楚地認(rèn)識(shí)到路燈問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、鋸樹(shù)問(wèn)題、爬樓問(wèn)題等都與“植樹(shù)問(wèn)題”有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模式，那么，對(duì)他們來(lái)說(shuō)“這究竟屬于植樹(shù)問(wèn)題中的哪個(gè)類型啊”這樣的問(wèn)題就是完全沒(méi)有意義的，從而，在這樣的意義上，我們也就可以說(shuō)，上述的“模式建構(gòu)(與應(yīng)用)”要比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性(對(duì)此在以下還將作出進(jìn)一步的淪證)，從而在教學(xué)上我們也就應(yīng)當(dāng)對(duì)于前者予以更大的關(guān)注。例如，以下的一些“

3、教學(xué)體會(huì)”或許也就可以被看成對(duì)于上述結(jié)論的一個(gè)旁證：  “有些學(xué)生雖然會(huì)解決這一問(wèn)題，但這些學(xué)生尚不能把植樹(shù)問(wèn)題的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進(jìn)行知識(shí)鏈接，這就導(dǎo)致了能找到規(guī)律但不會(huì)熟練運(yùn)用規(guī)律”進(jìn)而，也正是從這一角度去分析，筆者認(rèn)為，就這一內(nèi)容的教學(xué)而言，盡管“植樹(shù)問(wèn)題”可以被看成提供了一個(gè)很好的“現(xiàn)實(shí)原型”，但在教學(xué)中我們又必須超出這一特定情境而引出普遍的數(shù)學(xué)模式。例如，從這樣的角度去分析，如何能夠幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到所有這些具體問(wèn)題事實(shí)上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是十分重要的；進(jìn)而，就后一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)而言，以下一些教學(xué)設(shè)計(jì)又是十分恰當(dāng)?shù)?。如在教學(xué)中明確提出“分隔問(wèn)題”這樣一個(gè)

4、概念，并清楚地總結(jié)出相關(guān)的計(jì)算法則“路的長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)度間隔數(shù)”，又能夠利用適當(dāng)?shù)膱D形或符號(hào)以幫助學(xué)生很好地建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式，包括通過(guò)正反兩個(gè)方面的練習(xí)幫助學(xué)生更好地去掌握這一模式。(如同時(shí)出現(xiàn)已知路長(zhǎng)和間隔米數(shù)求路燈數(shù)，已知間隔米數(shù)和路燈座數(shù)求路長(zhǎng)。)  二、規(guī)律的“機(jī)械應(yīng)用”與思維的靈活性這里所涉及的主要是這樣一個(gè)問(wèn)題：即使不是在上述的對(duì)比意義上，我們?cè)诮虒W(xué)中又是否應(yīng)當(dāng)對(duì)于“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區(qū)分予以特別的重視，并要求學(xué)生牢牢地記住相應(yīng)的計(jì)算法則(“加一”“不加不減”“減一”)從而能在面對(duì)新的類似問(wèn)題時(shí)不假思索地直接加以應(yīng)用

5、。在對(duì)上述問(wèn)題作出明確解答前，我們或許可以先來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：就“植樹(shù)問(wèn)題”而言，是否真的就只有“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”這樣三種情況。進(jìn)而，如果在現(xiàn)實(shí)中我們所面對(duì)的是以下一些“特殊情況”，如“由于中間是大門，因此就有若干個(gè)間隔不需要種樹(shù)”，或“如果要求在兩端都種兩棵樹(shù)”，或“要求間隔地種樹(shù)與種花”，我們又應(yīng)如何去做。特別是，在所說(shuō)的情況下我們是否也應(yīng)要求學(xué)生總結(jié)出相關(guān)的類型，包括牢牢地去記住相應(yīng)的“規(guī)律”(“加二”“減二”“乘二”“除二”)。我想上面的論述已經(jīng)十分清楚地表明，將“三種情況”的區(qū)分以及相應(yīng)的計(jì)算法則看成是一種“規(guī)律”并要求學(xué)生牢固掌握從而就能直接加以運(yùn)用恐怕不很恰

6、當(dāng)。毋寧說(shuō)，在此真正重要的應(yīng)是“一一對(duì)應(yīng)”這樣一個(gè)數(shù)學(xué)思想，就“植樹(shù)問(wèn)題”進(jìn)行分析，這也就是指，在此真正重要的是在“間隔”與“樹(shù)”之間所存在的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。進(jìn)而，所謂的“加一”“減一”等法則又只是針對(duì)具體情況作出的適當(dāng)變化，從而，在此真正需要的也就并非“規(guī)律的應(yīng)用”，而是思維的靈活性，即如何能夠依據(jù)基本模式并通過(guò)適當(dāng)變化以適應(yīng)變化了的情況。  (更為一般地說(shuō)，這也就是指，“基本技能不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”。)綜上可見(jiàn)，就“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)而言，我們事實(shí)上應(yīng)當(dāng)區(qū)分出這樣兩個(gè)不同的教學(xué)要求或教學(xué)環(huán)節(jié)：第一，突出“分隔問(wèn)題”，即如何能以“植樹(shù)問(wèn)題”為背景并通過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段幫助學(xué)生建

7、構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式；第二，明確引出“間隔數(shù)”與“所種樹(shù)的棵數(shù)”這兩者的關(guān)系，突出“一一對(duì)應(yīng)”的思想，并以此為基礎(chǔ)并通過(guò)適當(dāng)變化以求解各種變化了的情況。進(jìn)而，對(duì)于“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這樣三種情況的區(qū)分我們則不必過(guò)于強(qiáng)調(diào)，更不應(yīng)將相應(yīng)的計(jì)算法則看成是重要的規(guī)律乃至要求學(xué)生牢牢地去記住并能不假思索地加以應(yīng)用。再者，筆者認(rèn)為，以上的分析事實(shí)上也就表明：相對(duì)于“化歸思想的滲透”這一提法而言，我們事實(shí)上應(yīng)當(dāng)更加重視“模式化”與“一一對(duì)應(yīng)”的思想。當(dāng)然，對(duì)于后者在教學(xué)中究竟應(yīng)當(dāng)明確提及還是停留于滲透這樣一個(gè)問(wèn)題，我想就只有依據(jù)更多的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)才能作出正確的解答。三、現(xiàn)實(shí)原型與數(shù)學(xué)

8、模式以下再?gòu)母鼮橐话愕慕嵌葘?duì)“現(xiàn)實(shí)原型”與“數(shù)學(xué)模式”之間的關(guān)系做一簡(jiǎn)要的分析。眾所周知，對(duì)于“情境設(shè)置”特別是現(xiàn)實(shí)情境的突出強(qiáng)調(diào)正是課改以來(lái)教學(xué)方法改革的一個(gè)明顯特點(diǎn)。當(dāng)然，與最初的簡(jiǎn)單化認(rèn)識(shí)相比，人們現(xiàn)已形成了這種的共識(shí)：我們既應(yīng)明確肯定現(xiàn)實(shí)情境對(duì)于新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的積極意義，同時(shí)又應(yīng)清楚地看到“超越”現(xiàn)實(shí)情境以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的重要性，這也就是指，數(shù)學(xué)教學(xué)既應(yīng)重視情境設(shè)置，同時(shí)又必須“去情境化”，即應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)必要的抽象。 顯然，上述的認(rèn)識(shí)事實(shí)上也為我們很好地去處理“植樹(shù)問(wèn)題”與“分隔問(wèn)題”  (指相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式)的關(guān)系指明了基本原則。另外，在筆者看來(lái)，由“

9、植樹(shù)問(wèn)題”我們可獲得關(guān)于究竟什么是一個(gè)好的“情境設(shè)置”的有益啟示，這就是指，就相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)而言，特定情境的設(shè)置不應(yīng)僅僅起到“敲門磚”的作用，即僅僅有益于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也應(yīng)當(dāng)在課程的進(jìn)一步開(kāi)展中自始至終發(fā)揮一定的導(dǎo)向作用。 值得指出的是，一些學(xué)者因此而提出了“認(rèn)知基礎(chǔ)”這樣一個(gè)概念，即認(rèn)為在數(shù)學(xué)的教學(xué)活動(dòng)中我們應(yīng)當(dāng)努力去發(fā)現(xiàn)這樣的實(shí)例，它們既是學(xué)生所熟悉的，同時(shí)又能為新的抽象活動(dòng)提供合適的基礎(chǔ)具有這種雙重性質(zhì)的實(shí)例就是所謂的“認(rèn)知基礎(chǔ)”；進(jìn)而，與此直接相關(guān)的還有所謂的“范例教學(xué)法”，而后者的核心思想也就在于如何能夠很好地處理特殊與一般(“范例”與新的數(shù)學(xué)抽象)之間的辯證關(guān)系。

10、 例如，美國(guó)已故著名數(shù)學(xué)教育家戴維斯在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育的認(rèn)知科學(xué)研究一書(shū)中就曾給出過(guò)關(guān)于如何利用“范式教學(xué)法”去進(jìn)行負(fù)數(shù)教學(xué)的一個(gè)實(shí)例。他明確指出，一個(gè)好的“認(rèn)知基礎(chǔ)”應(yīng)當(dāng)具有這樣的性質(zhì)：它能“自動(dòng)地”指明相關(guān)概念的基本性質(zhì)或相關(guān)的運(yùn)算法則，這也就是說(shuō)，借助于相關(guān)的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，學(xué)生即可十分順利地去作出相應(yīng)的發(fā)現(xiàn)而無(wú)須依靠對(duì)于相關(guān)法則的簡(jiǎn)單記憶與機(jī)械應(yīng)用才能解決所面臨的新的類似問(wèn)題。顯然，后一結(jié)論事實(shí)上也就更為清楚地表明了這樣一點(diǎn)：就“植樹(shù)問(wèn)題”的教學(xué)而言，與其說(shuō)三種類型(“兩端都種”“只種一端”“兩端都不種”)特別是相  應(yīng)的計(jì)算法則確實(shí)不應(yīng)被看成某種必須死記硬背的規(guī)律或法則，毋寧說(shuō)，在面對(duì)新的類似問(wèn)題時(shí)，這主要地只應(yīng)發(fā)揮一種“認(rèn)知基礎(chǔ)”的作用，即能夠“自動(dòng)地”去指明相關(guān)的運(yùn)算法則，包括如何能夠依據(jù)新的變化了的條件(如“中間不種”等)作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。 最后，也正是從這樣的角度去分析，我們又可看出，“原型”的恰當(dāng)性與相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)也有很大的關(guān)系。例如，如果與“分隔問(wèn)題”相比，我們更加重視如何能夠幫助學(xué)生很好地去掌握“一一對(duì)應(yīng)”的思想，那么，所謂的“一一間隔”  (例如，黃白間隔排列的一串乒乓球，男女生間隔排列的一列學(xué)生，等等)與“植樹(shù)問(wèn)題”相比可能就更為恰當(dāng)。(值得提及的是，以下