北方數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座

1、北方數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座最值問(wèn)題在數(shù)學(xué)中，研究某些變量的最大值或最小值問(wèn)題，稱(chēng)為最值問(wèn)題。最值問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各部分知識(shí)點(diǎn)中，各個(gè)知識(shí)的水平層面上，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極其廣泛。解決最值問(wèn)題的方法綜合、技巧性強(qiáng)，涉及的數(shù)學(xué)方法和數(shù) 學(xué)思想較多，是競(jìng)賽中的重點(diǎn)知識(shí)和難點(diǎn)內(nèi)容。最值問(wèn)題雖然是老問(wèn)題，但一直活躍，解決 問(wèn)題的方法和技巧也在不斷的發(fā)展和創(chuàng)新。一、最值問(wèn)題呈現(xiàn)的方式1、函數(shù)的最值；2、數(shù)學(xué)中其他章節(jié)中的最值(如幾何體體積的最值，數(shù)列的最大值，三角形面積的最 值等)；3、恒成立問(wèn)題或字母的取值范圍；4、應(yīng)用問(wèn)題的最值；5、幾何最值；6、離散變量的最值；二、最值問(wèn)題處理的方法與技

2、巧1、函數(shù)方法；2、不等式方法；3、構(gòu)造法(構(gòu)造模型轉(zhuǎn)化)；4、幾何圖形性質(zhì)；5、導(dǎo)數(shù)方法；6、離散變量最值方法(單獨(dú)研究)；三、典型例題分析1例1已知一a 1,若f(x) ax2 2x 1在區(qū)間1,3的最大值為g(a),最小值為h(a)。 3令F(a)=g(a)-h(a) (1) F(a)的表達(dá)式(2)判斷F(a)的單調(diào)性，并求出F(a)最小值.x4 kx2 1例2已知f(x) 1-2(k,x R),求f (x)的最小值.x x 1例3求實(shí)數(shù)a的范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x與任意的0,，恒有22+acos )2(x+3+2sin cos ) +(2+ax+asin一 , 一一,49,一例4已知x,

3、 y在區(qū)間 2,2且xy 1,求一的最大值。4 x2 9 y24X例5求f X = (x R)的取大值。(1 x2)3例6設(shè)a, b, c為正實(shí)數(shù)，求 a 3c一竺一 一8c一的最小值.a2bcab2cab3c例7設(shè)x, y R且滿(mǎn)足x2 4y2 4 ,求x2一 2 一 . . 一 2xy 4y的最大值，最小值例8設(shè)a, b, c是正實(shí)數(shù)，且abc a c b ,確定P2a2 1例9給定正整數(shù)n和正數(shù)M,對(duì)于滿(mǎn)足條件a21 a2n1M的所有等差數(shù)列a1,a2.an.,試求S an 1 an 2 . a2n 1的最大值。例 10 設(shè) x, y, z 為正數(shù)，且 x y z 1,求 f(x,y,z) =3x2 x 1 x2的最小值。例11實(shí)數(shù)a b c和實(shí)數(shù) 使得f (x)x3 ax2 bx c有三個(gè)實(shí)根 xi,x2,x3且滿(mǎn)足(1)x2Xi一 1(2)x3 > '(Xi x2),求2a3 27c 9ab的最大值.12 設(shè)正數(shù) a,b,c,x,y,z,滿(mǎn)足 cy bz a,az cx b,bxay c ,求函數(shù)f(x, y,z)22_y_三的最小值.1 y 1 z例13已知x,y都是正數(shù)且滿(mǎn)足 xyz(x y z)1 .試求(x y)(