函數(shù)的單調(diào)性與極值教學案

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值(5月10日)教學目標：正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理； 掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；教學重點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；教學難點：利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學過程：一引入：以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性 .在假設(shè)Xi<X2的前提下，比較f(Xl)<f(X2)與的 大小，在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下，比較 f(xi)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導數(shù) 來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單 .二新課講授1函數(shù)單調(diào)性我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導數(shù).從函數(shù)yX2 4x 3的圖像可以看到：在區(qū)間(2,)內(nèi)，切線的斜

2、率為正，函數(shù) y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即y/>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(2,)內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間(，2)內(nèi)，切線的斜率為負，函數(shù)y=f(x)的值隨著X的增大而減小，即y/ 0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(,2)內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)y/>0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；，如果在這個區(qū)間內(nèi) y/<0,那么函數(shù)y=f(x)在為這個區(qū) 間內(nèi)的減函數(shù)。例1確定函數(shù)y x2 2x 4在哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。例2確定函數(shù)y 2x3 6x2 7的單調(diào)區(qū)間。2極大值與極小值觀察例2的圖

3、可以看出，函數(shù)在 X=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在 X=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我 們說f(0)是函數(shù)的一個極小值。一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x Xo及其附近有定義，如果 f (Xo)的值比Xo附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(Xo)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值；如果 f(X。)的值比Xo附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說 f(X。)是函數(shù)y=f(X)的一個極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請注 意以下幾點：(i)極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個

4、點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小。(ii)函數(shù)的極值不是唯一的。即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個。(iii)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，(iv)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有f (x) 0。但反過來不一定。如函數(shù) y X3,在X 0處，曲線的切線是水平的，但這點的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大，也不

5、比它附近的點的函數(shù)值小。假設(shè)x0使f(Xo)。因此，X0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù)，即f(x) 0。X0的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)，即f (x) 0,同理，如上右圖所示，若X0是極小值點，則在X0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)，即f (x) 0,在X0的右側(cè)附近f (x)只能是增函數(shù)，即f (x) 0,從而我們得出結(jié)論：若X0滿足f (X。) 0 ,且在X0的兩側(cè)f (X)的導數(shù)異號，則X0是f (X)的極值點，f (X0)是極值，并且如果f (X)在X0兩側(cè)滿足“左正右負”，則X0是f (X)的極大值點，f(X0)是f (X0)是極小極大值；如果f (X)在X0兩側(cè)滿足“左負右正”，則X0是f (X)的極小值點,值。1例3求函數(shù)y - X3 4x4的極值。3小結(jié)1 求極值常按如下步驟：確定函數(shù)的定義域；求導數(shù)；求方程 y/=0 的根，這些根也稱為可能極值點；檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點。 （最好通過列表法）4四 鞏固練習1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（ 1 ） y 2x2 5x 72 求下列函數(shù)的極值2（1） y x 7x 6（3） y x3 27x五 課堂作業(yè)1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（ 1） y 4x 2（3） y x2 2x 52 求下列函數(shù)的極值（1） y x2 4x 10（3） y x3 3x2 1（5） y 4x3 3x2 6x32） y