高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 例談三角函數(shù)中的最值問題

1、例談三角函數(shù)中的最值問題 三角函數(shù)的最值問題，其實(shí)質(zhì)上是對含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求值，是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用。近幾年高考題中，此類問題及經(jīng)常出現(xiàn)，其解法主要是通過三角函數(shù)恒等變形，將函數(shù)關(guān)系式化為一個角的一種函數(shù)形式，然后借助于三角函數(shù)性質(zhì)來解決。下面就其類型與解法舉例說明。1 y=asinx + bcosx+c型例1 已知函數(shù)f(x)=2asin2 x-2asinx·cosx+a+b(a0)的定義域?yàn)?0， ，值域?yàn)?5，1，求常數(shù)a、b的值。 解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b =-a(cos2x+sin2x)+2a+b=-2asin(2x+ )

2、+2a+b.x0,2x+,.-sin(2x+)1.因此，由f(x)的值域?yàn)?5，1可得,或或點(diǎn)評：本題將函數(shù)化為一個角的一種函數(shù)的形式。本題通過降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函數(shù)，再應(yīng)用函數(shù)的有界性求解。2 .y=asinx2+bsinx+c型例3求函數(shù)f(x)= 2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.設(shè)sinx=t,則-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.(1)當(dāng)a<-1時，有ymax=g(1)=3-4a

3、,ymin=g(-1)=3+4a.(2)當(dāng)-1a1時,有ymin=g(a)=1-2a2,ymax為g(-1)和g(1)中的較大者,即ymax=3-4a(-1a0),(3)當(dāng)a>1時,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.本題可以化為以sinx為自變量的二次函數(shù)，定義域?yàn)?1,1,利用二次函數(shù)在閉曲間上的最值求法。對于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性，應(yīng)引起充分的重視。3. y=asinx+b型例1 已知f(x)=sin(2x+)-sin2x+sinxcosx+求f(x)的最小值及此時x的值。解：f(x)=sin(2x+)-(1-cos2x)+ sin2x+= sin(

4、2x+)+sin2x+cos2x=sin(2x+)+sin(2x+)=2sin(2x+).當(dāng)x=k- (kZ) 時,f(x)的最小值-2.點(diǎn)評：化為一個角三角函數(shù)形式，再利用有界性求解。4（xR）型例4求函數(shù)的最大值與最小值。方法一：去分母，原式化為sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=,故1解得y,ymax=,ymin=方法二：將函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)A(2,2)和B(cosx,sinx )間連線斜率的范圍。而點(diǎn)（cosx,sinx）的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓。通過點(diǎn)(2,2)的直線方程為y-2=k(x-2), 即kx-y+2(1-k)=0.原點(diǎn)到此直線的距離應(yīng)為1.故=

5、1,即得k=,ymax=,ymin=.點(diǎn)評：法一是利用三角函數(shù)的有界性；法二是數(shù)形結(jié)合法，將y 看成是兩點(diǎn)連線的斜率；學(xué)習(xí)中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合法處理最值的問題。5.綜合型 例5：當(dāng)0<x<時，函數(shù)f(x)=的最小值為（ ）A.2 B.2 C. 4 D. 4解法一：f(x)= =4（“=”cosx=2sinxtanx=）故選C解法二：f(x)= =,f/(x)=0對0<x<成立，故cos2x=，sin2x=時,f(x)min=4.故選C.點(diǎn)評：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求導(dǎo)方法求解。例6:若函數(shù)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值。解： 其中角滿足，解之得，.點(diǎn)評：本題利用了三角函數(shù)公式恒等變形的技能和運(yùn)算能力，達(dá)到了求三角函數(shù)最值的目的。 在解答有關(guān)三