高等數(shù)學(xué)課件：2-3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理1 1 ( (鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )如果如果 在點(diǎn)在點(diǎn) x x 處可導(dǎo)，而函數(shù)處可導(dǎo)，而函數(shù) 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) u u 處可處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x x 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，且且)(xu )(ufy )(xfy )()(xufdxdy第二節(jié)第二節(jié) 2 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則dxdududydxdy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）由由 在在u u處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,可得可得)(ufy uyufu0lim)(0)1 (lim),1 ()(0ooufu

2、yu其中則有uouufy) 1 ()(xuoxuufxy)1()( 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）dxdududy可得可得)()(xufdxdy 注意到注意到: :當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 由由 的連續(xù)性的連續(xù)性0 x)(xu0)1(lim)1(lim, 000oouux從而所以所以, ,令令 , , 便有便有0 x )()()(xxfxf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例1 ，求，求 . .xytanln dxdy解解 令令 ，則，則xutan uyln 故故 xudxdytanlnxu2sec1 xx2sectan1 xxcossin1 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvd

3、vdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例2 ，求，求 . .3221xy dxdy解解 31221xdxdy2322212131xxxx42131322322)21(34xx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）xnxynsinsin.y)1ln(2xxy.y311xxy.ychxshxshxchxxchthx21xshcthx21xnxnyn) 1sin(sin1 112 xy42)1 ()1 (6xxy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例7 設(shè)設(shè) 可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且 , ,求求 . .)(log xfya )(xfy解解 )(logxfya

4、xxfaalog)(logaxxfaln1)(log 注意注意： )(log)(logxfxfaa 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)(xfg 解解xxf2)()()()(xgxgfxgfxxln2 21)(xxfg 例例8 設(shè)設(shè) ， , ,求求2)(xxf xxgln)( )(xgf?)( xgfxxgfln2)( 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例9 ，求，求 . .xxy y解解 xxy xxeln xxexxlnln 1lnln xexx )(ln)()()(xfxgxgexf 0)( xf 1ln xxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例10.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) x

5、xxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例11 設(shè)設(shè) 可導(dǎo)可導(dǎo), ,且且 , , 求求)(cos)(sin22xfxfy )(xfxddy2cos解解xddy2cosdudy)()1 (ufuf)(cos)(sin22xfxf 把把 整體看作一個(gè)自變量整體看作一個(gè)自變量x2cos)()1 (cos2ufufyxu，則令 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則或或dydxdxdy1定理定理2 如果函數(shù)如果函數(shù) 在某區(qū)間在某區(qū)間 上上單調(diào)、可導(dǎo)且單調(diào)、可導(dǎo)且 , ,則它的反

6、函數(shù)則它的反函數(shù) 在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間 上也單調(diào)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為上也單調(diào)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為)(yx )(xfy 0)( y yIxI)(1y )( xf 即：即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). . 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的的單單調(diào)調(diào)性性可可知知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf. 00yx時(shí)，必有當(dāng)0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例1 設(shè)設(shè) ，則，則 是它的反

7、函數(shù)，是它的反函數(shù)，函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且導(dǎo)，且yxsin xyarcsin yxsin 2,2 yI 0cossin yy因此，在對(duì)應(yīng)區(qū)間因此，在對(duì)應(yīng)區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有 1, 1 xI yyxcos1sin1arcsin 211x 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）類似有：類似有： 211arccosxx 211arctanxx 211cotxxarc 211arcsinxx aaaxyyaln11log axln1 例例2 的反函數(shù)是的反函數(shù)是 ，則，則 yax xyalog 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）chyshyarshx11112x類似有：類似有：112xarchx

8、211xarthx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）x的導(dǎo)數(shù)公式的導(dǎo)數(shù)公式證：證：xexln )ln()(lnln xeexx )( xy1ln xxxxex 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）三、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題 y y y y C 0 x x-1 ex ex ax ax lna lnx 1/x ln|x| 1/x logax 1/xlna sinx cosx xx2sectan xx2csccotxxxtansecsec xxxcotcsccscxxsincos 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）211x211x211x211xxch21xsh21211x112x211xyy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）題、題、511sin22412arcsin,. 8coslntan. 7)1 (. 6. 5. 4)scos(cos(co. 3sinln. 2ln. 1xxxyxxxyxyxxxyeyxyeyaxxyxxx存在設(shè)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）題、設(shè)題、設(shè) 在在 處連續(xù)，