高等數(shù)學課件：7-9常系數(shù)線性非齊次

1、 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程,0 qyypy通解結構通解結構, yYy 研究類型研究類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 問題問題：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法. .二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程形如：)(xf 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）設想非齊方程特解為設想非齊方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不不是是特特征征方方程程的的根根，若若 )1(

2、, 02 qp ),()(xQxQm 可可設設是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設可設;)(xmexQy ;)(xmexxQy 一、一、 型型)()(xPexfmx 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設設綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設設 是是重重根根是是單單根根不不是是根根2,10k注意注意 上述結論可推廣到上述結論可推廣到 n n 階常系數(shù)非齊階常系數(shù)非齊次線性微分方程（次線性微分方程（k k 是重根次數(shù)）是

3、重根次數(shù)）. .)(2xmexQxy 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例1 1 寫出下列微分方程的待定特解的形式寫出下列微分方程的待定特解的形式. . xeyyy396)1( （二重）32,1rxeAxy32*特解形式為32)2(2 xyyir2,1CBxAxy2*特解形式為 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）xexyyy228644 解解 設設 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設設 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22,1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （二重根）（二重根）*2y *1*yy CBxA

4、x 2.22xeDx 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應齊次方程通解對應齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是單單根根，2 ,)(2xeBAxxy 設設代入方程代入方程, , 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于于是是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例2 2 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）.12422)3()4(的的通通解解求求方方程程 xxyy例例3 3解解特征方程特征方程, 0234 rr特征根特征根，三三重重），2(0

5、43,2, 1 rr是是三三重重根根，0 ),(23CBxAxxy 設設代入方程代入方程, , 得得61,241,301CBA 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）又對應齊次方程通解又對應齊次方程通解因此原方程通解為因此原方程通解為. )61241301(23242321xxxeCxCxCCyxxeCxCxCCy242321 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）型型二、二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 歐拉歐拉( (EulerEuler) )公式公式xixexisincosxixexisincosieexeexxixixixi2sin2cos 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）sincos)(x

6、PxPexfnlx 22ieePeePexixinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)()()()(xixiexPexP 由由Euler公式公式）)(xP)(xPl 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）*1y*1y*1y)(xfqyypy )(xfqyypy *11*yy 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）ximkeQxy)(*1*ximximxkeQeQexy,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是是單單根根不不是是根根 iik,)()(xiexPqy

7、ypy 設設ximkeQxy)(*1xiexPqyyy)()( 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例寫出下列微分方程的待定特解的形式寫出下列微分方程的待定特解的形式. . xeyyyxcos96)1(2 不不是是特特征征根根ii 2 )sincos(2*xBxAeyx 特特解解形形式式為為xxyysin)2( )(單單根根是是特特征征根根ii )sin)(cos)(*xDCxxBAxxy 特特解解形形式式為為 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY ,是單根ii),sincos(*xBxAxy故代入原方程代入原

8、方程 , , 得得0, 2BA所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2*xxy原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxCxCy 例例4 4 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解 對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY ,2 不是特征方程的根ii2sin)(2cos)(*xDCxxBAxy設代入原方程代入原方程, ,得得940031，DCBA例例5 5所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31*xxxy原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 高等數(shù)學（上）高

9、等數(shù)學（上）.12cos的的通通解解求求方方程程 xxyy解解 對應齊方通解對應齊方通解,sincos21xCxCY 例例5 5,2sin942cos31*1xxxy 原方程通解為原方程通解為. 12sin942cos31sincos21 xxxxCxCy對應非齊方程對應非齊方程 特解特解xxyy2cos 對應非齊方程對應非齊方程 特解特解1 yy, 1*2 y 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例6 602222 xkdtdxndtxd特征方程特征方程0222knrr222,1knnr:)(222, 1nkinr 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）,sin ptHF 若受到鉛直干擾力若受到鉛直干擾力pthxkdtdxndtxdsin2222 有阻尼強迫振動方程有阻尼強迫振動方程)sincos(21tCtCexnt)sin(2221teCCnt.arctan21CC其中)sin(tAx 高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）三、小結)()() 1 (xPexfmx);(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( (待定系數(shù)法待定系數(shù)法) ) 是是重重根根是是單單根根不不是是根根2,10k,10