淺談數(shù)理統(tǒng)計中點估計教學的若干問題-2019年教育文檔

1、淺談數(shù)理統(tǒng)計中點估計教學的若干問題一、矩估計1. 矩估計的方法矩估計法是最古老的求估計的方法之一， 它是由英國統(tǒng)計學家 K. Pearson 在 1900 年提出的。設總體 X，其中 1， 2， l未知，則總體 X 的數(shù)字特征也未知，即此時的總體矩 EX，EX2， EXl 統(tǒng)統(tǒng)都是參數(shù)。但注意到樣本觀測值中的 18 已落在 0 ，16 外，這顯然是不合理的。對于這類問題， 用極大似然估計法可以有效解決此類問題。二、極大似然估計1. 極大似然估計的方法首先建立似然函數(shù)L（ ），如果隨機抽樣得到的樣本觀測值為 x1，x2， ，xn，則我們應當這樣來選取未知參數(shù) 的值，使得出現(xiàn)該樣本值可能性最大，即

2、使得似然函數(shù) L（ ）取得最大值，從而求出參數(shù) ，這樣就轉化為求似然函數(shù) L（ ）的極值點，一般來說， 通過求解 =0 來解決。 然而 L（ ）是個連乘積，通常比較復雜，而與 L（ ）在的同一點取得極大值，于是可轉化為 =0 來求解。2. 用極大似然估計方法時的思維定式通常課本和練習中的題以 =0 方式求解居多，于是導致許多學生通常不假思索就先對似然函數(shù)取對數(shù)再求導，但其實不然，有些情況下不取對數(shù)直接對似然函數(shù)球道數(shù)更直接。例如，已知總體 X 的分布律為： P（ X=1）=2， P（X=2） =2（1- ）， P （X=3）=（1- ）2，其中 為未知參數(shù)，已知樣本值 x1=1，x2=2，x3

3、=1，求 得極大似然估計。 這道題的似然函數(shù) L（）=2 5（1- ），顯然直接對L（）求導等于0 很容易運算就可以得到 =5/6.3. 不能通過求導方法獲得極大似然估計值若似然函數(shù)關于有間斷點， 上面通過對似函數(shù)求導獲得極大似然估計值的方法， 對未知參量求偏導已不適用， 要針對具體問題做具體分析。例如：設總體服從均勻分布 U（ a， b）， a 和 b 未知，抽取容量為 n 的樣本 X1，X2， ， Xn 的觀測值分別為 x1，x2， ，xn，求 a 和 b 的極大似然估計值。解：極大似然函數(shù)： L（a，b）= axb， i=1 ， ， n0 其它，由此可知當 a=minxi ，b=maxx

4、i 時， L（a，b）取得最大值，根據(jù)極大然估計定義可得參數(shù)和的極大似然估計值為：=minx=maxx4. 極大似然估計不存在的情況似然函數(shù)的導函數(shù)為零的點只是函數(shù)的駐點， 而駐點未必是函數(shù)的極大值點。 所以似然方程的解未必是極大似然估計，也即極大似然估計不一定存在。因此通過解似然方程的方法求似然估計時，需要驗證似然方程的解是否是似然函數(shù)的極大值點。例如：設總體服從均勻分布 U（ -1 ，+1）， 未知，抽取容量為 n 的樣本 X1，X2， ，Xn 的觀測值分別為 x1，x2， ，xn，求 的極大似然估計值。解：極大似然函數(shù) L（ ）= - 1x +1，i=1 ， n0 其它，區(qū)間 maxxi-1 ，m