三章節(jié)靜磁場(chǎng)Staticmagneticfieldppt課件

1、第三章 靜磁場(chǎng)Static magnetic field 穩(wěn)恒電流激發(fā)靜磁場(chǎng)，在穩(wěn)恒電流的條件下，導(dǎo)體內(nèi)及其周圍空間中，也存在靜電場(chǎng)，此時(shí)的電場(chǎng)與電流的關(guān)系為式中 為電導(dǎo)率。但是，靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)之間并無直接的關(guān)系。 本章所要研究的與靜電問題類似，靜磁問題中最基本的問題是：在給定電流分布或給定外場(chǎng)和介質(zhì)分布的情況下，如何求解空間中的磁場(chǎng)分布。Ejcc3.1 穩(wěn)恒電流分布的必要條件Essential condition of steady current profile 電荷在導(dǎo)體內(nèi)穩(wěn)恒流動(dòng)，導(dǎo)體內(nèi)部將會(huì)不斷地產(chǎn)生焦耳熱，即電磁能將不斷地?fù)p耗。根據(jù)能量守恒方程由于穩(wěn)恒條件要求StwEj0tw且有當(dāng)

2、存在外來電動(dòng)力場(chǎng)時(shí)，那么故故有SEj)(外EEjc2()1cVVcVVjj EdVjEdVj dVj E dV外外21cVVSj E dVj dVS d 外該式的物理意義是： 外來電動(dòng)力場(chǎng)所作的功等于體系內(nèi)焦耳熱損耗和從體系的界面流出去的能量的總和。因而，體系要保持電荷穩(wěn)恒流動(dòng)的必要條件是必須要有外來的電動(dòng)力即外來電動(dòng)勢(shì)）。3.2 穩(wěn)恒電流體系的電場(chǎng)Electric field of steady current system 根據(jù)Maxwells equation,穩(wěn)恒電流 及其電場(chǎng)所滿足的方程為：在導(dǎo)體內(nèi)流有電荷的情況下，我們并不知道其電荷分布 的情況，所以無法從1式求場(chǎng)，只有從2） j(

3、2) 0)(j(1) 0cjEEED外式出發(fā)：即因?yàn)?，所以用標(biāo)勢(shì)，即 ，于是有由此可見，假若 給定，即可由3式求出電勢(shì) 。 在 區(qū)域，（3式變?yōu)橄鄳?yīng)的邊值關(guān)系為：0)(外EEjc)()(外EEccE0E(3) )()(外Ecc外E0外E(4) 0)(c用 表示交界面上的關(guān)系，即（4）、（5式就是分區(qū)均勻的穩(wěn)恒電流體系的電場(chǎng)所滿足的方程和邊值關(guān)系。若整個(gè)體系的邊界條件已知，即可求出電流的電場(chǎng)。0)(0)(112212ccjjnjjn(5) 121122SSScScnn從 動(dòng)身，可求得導(dǎo)體內(nèi)的電荷分布：其中，穩(wěn)恒電流條件要求： 從 可看出，均勻?qū)щ婓w系內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)電荷堆積，只有當(dāng)導(dǎo)體在沿著電荷流動(dòng)

4、方向不均勻 D)()()(ccccjjjjE0 j)(cj時(shí)，才有可能有電荷存在。因而，對(duì)于分塊均勻的導(dǎo)電體，電荷只可能分布在交界面上，即利用 ，得到面電荷密度為所以，如果交界面兩側(cè)各自的介電常數(shù)與電導(dǎo)率之比值相等，則交界面上也不存在面電荷密度。)()(11122212jjnDDnccf0)(12jjnjnccf)(11223.3 矢勢(shì)及其微分方程矢勢(shì)及其微分方程Vector potential and differential equation1、矢勢(shì) 穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的基本方程是由此可看出，磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同。靜電場(chǎng)是無旋的，即引入標(biāo)勢(shì) 來描述。而磁場(chǎng)是有旋的，一般不能引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來描述整個(gè)

5、空間的磁場(chǎng)，但由于磁場(chǎng)是無源的，可以引入一個(gè)矢量來描述它。jHB0即若那么 稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。 根據(jù) ，可得到由此可看到矢勢(shì) 的物理意義是： 矢勢(shì) 沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。必須注意：只要 的環(huán)量才有物理意義，而在每點(diǎn)ABB0A0SB dS()LSSB dSA dSA dlAAA上的 值沒有直接的物理意義。 矢勢(shì) 可確定磁場(chǎng) ，但由 并不能唯一地確定 ，這是因?yàn)閷?duì)任意函數(shù) 。即 和 對(duì)應(yīng)于同一個(gè) ， 的這種任意性是由于 的環(huán)量才有物理意義的決定的。2、矢勢(shì)微分方程 由于 ，引入 ，在均勻線性介質(zhì)內(nèi)有 ，將這些代入到 中，即)(xAAABBAA)(ABAAAAB0

6、 BjHHB假設(shè) 滿足庫侖規(guī)范條件 ，得矢勢(shì) 的微分方程jAAABBBBH2)(1)(1111A0 AA)0(2AjA或者直角分量：這是大家熟知的Pissons equation. 由此可見，矢勢(shì) 和標(biāo)勢(shì) 在靜場(chǎng)時(shí)滿足同一形式的方程，對(duì)此靜電勢(shì)的解?？傻玫绞噶康奶亟猓?,2,3)(i 2iijAA01( )( )4VxxdVr( )( )4Vj xA xdVr由此即得作變換 ，即得這就是畢奧薩伐爾定律。 當(dāng)全空間中電流 給定時(shí)，即可計(jì)算磁場(chǎng) ，對(duì)31()( )4( )4VVBAj x dVrj xrdVr lIddjLrrlIdB34Bj于電流和磁場(chǎng)互相制約的問題，則必須解微分方程的邊值問題。

7、3、矢勢(shì)邊值關(guān)系 在兩介質(zhì)分界面上，磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為對(duì)應(yīng)矢勢(shì) 的邊值關(guān)系為(2) )(1) 0)(1212fHHnBBnA(4) )11(3) 0)(112212fAAnAAn其實(shí)，邊值關(guān)系3式也可以用簡(jiǎn)單的形式代替，即在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算 對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分。當(dāng)回路短邊長(zhǎng)度趨于零時(shí)好像 時(shí)）。另一方面，由于回路面積趨于零，有因此使得由于 只要ALIl dHLttlAAl dA)(120LSA dlB dS0)(12lAAtt0l另外，若取 ，仿照第一章關(guān)于法向分量邊值關(guān)系的推導(dǎo)，可得（5）、（6兩式合算，得到即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì) 是連續(xù)的。4、靜磁場(chǎng)的能量 磁場(chǎng)的總能量為(5)

8、 12ttAA (6) )0( 12AAAnn0 A(7) 12SSAAA12VWB HdV在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì) 和電流 表示總能量，即即有：jAjAHAHAHAHAHB)()()()(1()211()2212SWA HA j dVA HdSA jdVA jdV 這里不能把 看作為能量密度。因?yàn)槟芰糠植加诖艌?chǎng)中，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。另外，能量式中的 是由電流 激發(fā)的。 如果考慮兩個(gè)獨(dú)立電流系之間的相互作用能，則設(shè)電流系 建立矢勢(shì)為 ，另一電流系 建立矢勢(shì)為 ， 分布于 ， 分布于 ，若電流分布為磁場(chǎng)總能量為jAjA21eAejjAej22Vx 11Vx j).( )()()(212

9、1VVVxxjxjxjee總12VWjA dV總總總由此可見，上式右邊第一、二項(xiàng)是電流系 各自的自能，其相互作用能為 12121() ()211221()2oreeVeeVVeeVjjAA dVjA dVj AdVjAj A dVejj ,121()2orieeVWjAj A dV因?yàn)槠渲校核?12121211221()()4()()4VeeVj xA xdVrj xA xdVrrxxxx1122122111212212()()4()()4eeVVVeeVVVj xjAdVj xdV dVrj xj A dVj xdV dVr 該兩式相等，因此電流 在外場(chǎng) 中的相互作用能量為5、舉例討論用

10、計(jì)算 例1無窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I，求空間的矢勢(shì) 和磁場(chǎng) 。Solution : 取導(dǎo)線沿z軸，設(shè)p點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R，電流元Idz到p點(diǎn)距離為eAjieVWj A dVBAAozdzRPI22zR 因此得到積分結(jié)果是無窮大發(fā)散的）。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除發(fā)散，若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)值為零，那么)ln(442222RzzIzRIdzAz222202202220222011111111ln4limln4lim)()(MRMRMRMRIRzzRzzIpApAMMMMzz每項(xiàng)相乘后，再二次項(xiàng)展開得亦即故0022022202222020ln2ln2ln44141ln4limRRIRRIRRIMRRRMR

11、RRIMzeRRIpApA00ln2)()(zeRRIpA0ln2)(0取 的旋度，得到A 212)ln(ln2ln2ln2ln2ln200000RzzRzzzzzeeRIeeRIeRRIeRRIeRRIeRRIeRRIAB0 2eRI 結(jié)果與電磁學(xué)求解一致。例例2半徑為半徑為a的導(dǎo)線園環(huán)載電流為的導(dǎo)線園環(huán)載電流為I，求空間的矢勢(shì)和，求空間的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁感應(yīng)強(qiáng)度。Solution: 首先求解矢勢(shì)首先求解矢勢(shì)A00( )44Vj xAdVrIdlrzyxP(r,)RraolId(a,o)由于問題具有軸對(duì)稱性，可以把觀察點(diǎn)選在xz平面上，這樣的好處是=0，故 只與r，有關(guān)。其中即得222

12、2cos (, ) xyraRRaR adlidljdl dal daldal dalyyxxcos sinsin cos2022020220cos2cos4cos2sin4RaaRdaIARaaRdaIAyx又 園電流環(huán)在xy平面上，故 ，于是得到因此得到：2)0,2( cossin)cos(sinsincoscoscos其中202122202021220cos2sin4cossin2sin4azadaIRaaRdaIAxRzRsin,222作變換：令202122202021222020212220cos2cos40cos2)1(4cos2cos4azadaIAazaaIazaadIy2 ,

13、 )(21則這樣于是有dd21sin2)2cos()2cos(cos220212222202212222202221222220) 1sin2(2) 1sin2() 1sin2(2) 1sin2(2) 1sin2(2) 1sin2(24azadazadIaazadIaAy令 ，則有考慮一般情況，這里的y方向?qū)嶋H上就是 方向，因2021222202021222220)sin4)() 1sin2() 1sin2(2) 1sin2(azadIaazadIa1222)(4zaak202122212220)sin1 ()() 1sin2(kzadIaAye此上式可改為：20212222021222210

14、20212222221220202122221220)sin1 () 12( )sin1 (2)(2)sin1 () 12(2sin2)(1)sin1 () 1sin2()(1kdkdkkaIadkkkzaIakdzaIaA令這里(k) , (k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為202122202122)sin1 ()()sin1 ()(dkkkdk)()(21 ()()() 12()(2)(2221022210kkkakIkkkkaIkA討論： 對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)，由于Ra，且有)()()()(12)(10)()()()(222222212202222221220kzaz

15、akzaIABBkzazakzazIzABzcossincos當(dāng)Ra情況下，上式分母展開為：于是得到2021220)cossin2(cos4RaRadIaA21222122212221222122)cossin2211 ()( )cossin21 ()( )cossin2(RaaRRaRaRaRaRaRa若Ra，且sin)(42sin4121sin)(14cossin28)(cos4cossin2211)(cos42322020232202202202021220202221220RaRIaRaRIadRaaRIadRaIadRaaRRaIaA于是磁感應(yīng)強(qiáng)度為sin4sin14sin14202

16、0220RmRISRIaAeARARReRARAReAARABrrr)(1 )(sin11 )(sinsin1可見，對(duì)于一個(gè)園電流環(huán)，在遠(yuǎn)處所激發(fā)的磁場(chǎng)，相當(dāng)于一個(gè)磁矩為 的磁偶極子激發(fā)的場(chǎng)。3503030)(344sin4cos2RmRRRmeRmeRmrm3.4 磁標(biāo)勢(shì)磁標(biāo)勢(shì)Magnetic scalar potential 本節(jié)所研究的問題是避開矢量 求磁感應(yīng)強(qiáng)度 的不便理由。類比于靜電場(chǎng)，引入磁標(biāo)勢(shì) 。然后討論 所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問題的唯一性定理。1、磁標(biāo)勢(shì)引入的條件 （1所考慮的空間區(qū)域沒有傳導(dǎo)電流 根據(jù)靜磁場(chǎng)的Maxwells equation:ABmm若考慮傳導(dǎo)電流為

17、零的空間，則一定有于是可以引入標(biāo)勢(shì) ，從而有這與靜電學(xué)中 完全類似，故 稱為磁標(biāo)勢(shì)，因此引入磁標(biāo)勢(shì)的第一個(gè)條件是空間無傳導(dǎo)電流。 （2空間應(yīng)為單連通區(qū)域 根據(jù)積分式子 ，我們將可看到，對(duì)于jHB00HmmHEmLIl dH一個(gè)任意的積分閉合路徑，如果I=0，有可能定義磁標(biāo)勢(shì)，這時(shí) ，引入磁標(biāo)勢(shì) 是保守場(chǎng)的勢(shì)，但是 只說明該區(qū)域內(nèi)沒有渦旋場(chǎng)的源。許多情況下，區(qū)域內(nèi)雖然沒有電流分布，但磁場(chǎng)仍然是渦旋的，它就不是保守場(chǎng)，故不能引入磁標(biāo)勢(shì)，這一點(diǎn)由一無限長(zhǎng)載流導(dǎo)線周圍的空間的場(chǎng)可以看出，即導(dǎo)線外界空間I=0，滿足 ，但磁場(chǎng)是渦旋的。 然而，真實(shí)的情況是由Ampere環(huán)路定律所表達(dá)的。0H0HmI0H

18、沿閉合曲線積分一周是否為零取決于路徑的選擇，若考慮一個(gè)環(huán)形電流附近的空間電流環(huán)除外中的磁場(chǎng)，顯然，這個(gè)區(qū)域由于不存在傳導(dǎo)電流而認(rèn)為可以用 來描述。設(shè)該空間磁場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)為 ，且 ，將磁場(chǎng)強(qiáng)度 沿一閉合曲線L積分，而此積分曲線是穿過電流環(huán)的，因而積分回路包圍電流，故另一方面mHHmHLSIsdjl dH終起mmLmLmdsdl dH )(m于是有因?yàn)?是沿閉合曲線積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)的標(biāo)勢(shì)，是空間同一點(diǎn)的值，應(yīng)該是單值函數(shù)。而現(xiàn)在表明 不是單值的，它與積分回路的選取有關(guān)。因而，僅有“無傳導(dǎo)電流這一條件還不夠，必須要求 為單值的。 為此，引入以電流環(huán)為邊界的任意曲面，并規(guī)定積分路徑不允許穿過此曲面。任何閉

19、合積分路徑都不穿過曲面，這樣， 就是一個(gè)單值的。從曲面的一側(cè)穿過曲面到另一側(cè)，磁標(biāo)勢(shì) 不是連續(xù)的。存在著大小為I的躍變，由此可見，若電流是環(huán)形分布的，只能Imm終起終起和mmmmmm在挖去環(huán)形電流所圍成的曲面之后剩下的空間才能可用磁標(biāo)勢(shì)。也就是使復(fù)連通區(qū)域成為單連通區(qū)域，所以通常把第二個(gè)條件稱為單連通區(qū)域條件。 如一個(gè)線圈，如果挖去線圈所圍著的一個(gè)殼形區(qū)域S，則在剩下的空間中任一閉合回路都不鏈環(huán)著電流。因此在除去這個(gè)殼形區(qū)域之后, 在此空間中就可引入 又如電磁鐵，兩磁極間隙處的磁場(chǎng)，可引入 ；對(duì)于永久磁鐵，只有分子電流，無傳導(dǎo)電流，在其全空間含其體內(nèi)都可引入 。 mISmm2、磁標(biāo)勢(shì) 的方程

20、在能引入磁標(biāo)勢(shì)的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)滿足：在磁介質(zhì)中， 的關(guān)系是不論是鐵磁質(zhì)還是非鐵磁質(zhì)）：因?yàn)?，代入上式，則得m00HBHB和)(0MHB0 BMH與電介質(zhì)中極化電荷密度的表達(dá)式 類比，可以假想磁荷密度為于是，得到與電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程類似的形式將 代入上式，即得到PpMm000HHmmHMmmm002從 和 的邊值關(guān)系可以求得 在交界面上的關(guān)系：由 ，得到由 ，及 可得對(duì)于非鐵磁質(zhì)來說， ，故得到 BHm0)(12HHnSmSm21)(0MHB0)(12BBn)(1212MMnnnSmSmHBSmSmnn1122由此可見，交界面上的關(guān)系和靜電介質(zhì)完全類似。因而，引入磁荷和磁標(biāo)勢(shì)的好處在于可以借用

21、靜電學(xué)中的方法。3、靜磁問題的唯一性定理 當(dāng)所考慮的區(qū)域是單連通的，其中沒有傳導(dǎo)電流分布時(shí)，可引入磁標(biāo)勢(shì) ，通過和靜電學(xué)問題的唯一性定理同樣的推導(dǎo)，可得出靜磁問題的唯一性定理： 如果可均勻分區(qū)的區(qū)域V中沒有傳導(dǎo)電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內(nèi)磁場(chǎng)唯一地確定：mH a)磁標(biāo)勢(shì)之值 b)磁場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量 c) 磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量4、磁標(biāo)勢(shì)的應(yīng)用舉例例1 證明的磁性物質(zhì)表面為等磁勢(shì)面。 Solution: 角標(biāo)1代表磁性 物質(zhì)、角標(biāo)2為真空.Sm.SmSnnH.StH012由磁場(chǎng)邊界條件：以及可得到法向和切向分量為兩式相除，得0)( , 0)(1212HHnBBn111202 ,

22、HBHBttnnHHHH12120 , 01102211202ntntntntHHHHHHHH因而，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直切向分量與法向分量之比0)，因而表面為等磁勢(shì)面。例2求磁化矢量為 的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場(chǎng)。Solution: 鐵球內(nèi)外為兩均勻區(qū)域，在鐵球外沒有磁荷分布 ( )，在鐵球內(nèi)由于均勻磁化 , 而 =0，因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內(nèi)、外磁勢(shì)都滿足Laplaces equation.0M0外m0Mm內(nèi))( 0)( 0022012rRRrmm球半徑0M由于軸對(duì)稱性，極軸沿 方向，上式解的形式為：球外磁標(biāo)勢(shì)必隨距離r增大而減小，即球內(nèi)磁標(biāo)勢(shì)當(dāng)r=0時(shí)必為有限，即故有

23、：0Mnnnnnnmnnnnnnmprdrcprbra)(cos)()(cos)()1(2)1(10 , 01nrma即0 , 02nrmd從而得到有限值nnnnmnnnnmrRprcRrprb)( )(cos)( )(cos020)1(1鐵球表面邊界條件為、 當(dāng)r=R0時(shí)：設(shè)球外為真空，那么00000000212101221 RrmRrmRrRrRrmRrmRrrRrrHHMnnnBB或者或者由邊界條件得：cos)(coscos)(cos) 1(001000200202)2(010101MprncMrMHBprbnrHBnnnnmrrrnnnnmrrnnnnnnnnnnnnnnnnPRcPR

24、bPMPRncPRbn)(cos)(cos)(cos)(cos)(cos) 1(0000)1(101)2(比較 的系數(shù)： 當(dāng)n=1時(shí)，有所以 當(dāng) 時(shí)，有)(cosnP01201013012RcRbMcRb30010131 , 31RMbMc0nnbc1n從而得到鐵球內(nèi)、外的磁場(chǎng)強(qiáng)度為rMrMrrMRrRMrRMmm002303023002300131cos3133coscos31ermermerRMerRMrMRererHrrrm33330033003030114sin4cos23sin3cos23cos)1(其中： 。由此可見鐵球外的磁場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)磁偶極子所激發(fā)的場(chǎng)。把 取在 方向上，即有3

25、0034RMMVmkMeeMHrm002231)sin(cos31k0M0002022020232)()(31MMHMHBMH進(jìn)一步討論可見： 線總是閉合的， 線且不然， 線是從右半球面上的正磁荷發(fā)出，終止于左半球面的負(fù)磁荷上。在鐵球內(nèi)， 與 反向。說明磁鐵內(nèi)部的 與 是有很大差異的。 線是閉合的 線由正磁荷發(fā)出到負(fù)磁荷止BHHBHBHBH3.5 磁多極矩磁多極矩Magnetic multipole moment 本節(jié)研究空間局部范圍內(nèi)的電流分布所激發(fā)的磁場(chǎng)在遠(yuǎn)處的展開式。與電多極矩electric multipole moment) 對(duì)應(yīng)。引入磁多極矩概念，并討論這種電流分布在外磁場(chǎng)中的能量

26、問題。1、矢勢(shì) 的多極展開 給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場(chǎng)矢勢(shì)為A0( )( )4Vj xA xdVr如果電流分布集中在一個(gè)小區(qū)域V中，而場(chǎng)點(diǎn) 又距離該區(qū)域比較遠(yuǎn)，這時(shí)可仿照靜電情況的電多極矩展開的方法，把矢勢(shì) 作多極展開，即把 在區(qū)域內(nèi)的某一點(diǎn)展開成 的冪級(jí)數(shù)。若展開點(diǎn)取在坐標(biāo)的原點(diǎn)，那么x00(0)(1)(2)( )( )41111( ):42!( )( )( )VVj xA xdVrj xxx xdVRRRAxAxAx r1)(xAx展開式的第一項(xiàng)：展開式的第一項(xiàng)：即即表示沒有與自由電荷對(duì)應(yīng)的自由磁荷存在。表示沒有與自由電荷對(duì)應(yīng)的自由磁荷存在。(0)00001( )( )41( )444

27、0VVLLAxj xdVRj xdsdlRIIdldlRR 0)()0( xA因?yàn)?1)0001( )( )41( )41( )4ViiViiVAxj x xdVRj x xdVRj x x dVR xxjxxjxxjxxxxjxxxjxxxjxxjxxjxxjxxjxxjiiiiiiiiiii)()( )()()()()()(21)()(21)(展開式的第二項(xiàng)：展開式的第二項(xiàng)：這里用到了穩(wěn)恒電流條件所以0)(xj(1)00001( )( )411( )( )4211 ( )( )421( )8iiViiiViiiViiVAxj x x dVRj x xj x xdVRj x xj x xdV

28、Rj x x xdVR 000001 ( )( )81( )81 ( )( )81( )( )811( )( )8iiiViiSiiiViiiViiiij x xj x xdVRj x x xdSRj x xj x xdVRj x xj x xdVRj x xx j xRR 011( )( )8ViiVdVj x xx j xdVRR 0其中故得到式中：稱此為磁矩。RxjxRxjxxxj)()()(1)00311( )( )424VAxxj x dVRmRR 1( )2Vmxj x dV 表示把整個(gè)電流系的磁矩集中在原點(diǎn)時(shí)，一個(gè)磁矩對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所激發(fā)的矢勢(shì)。作為一級(jí)近似結(jié)果。展開式的第三項(xiàng)：將會(huì)是更

29、高級(jí)的磁矩激發(fā)的矢量勢(shì)。因?yàn)楸容^復(fù)雜，一般不去討論。 綜上所述：小區(qū)域電流分布所激發(fā)的磁場(chǎng)，其矢勢(shì)可看作一系列在原點(diǎn)的磁多極子對(duì)場(chǎng)點(diǎn)激發(fā)的矢勢(shì)的迭加。(2)011( )( ):42!VAxj xx xdVR )()1(xA2、磁偶極矩的場(chǎng)和磁標(biāo)勢(shì) 根據(jù) ，即有由此可見AB) 1 ()0()2() 1 ()0(BBAAAAB3303030)1()1()0()0()()(4)(440RRmmRRRRmRRmABAB因?yàn)橛懻摰氖菂^(qū)域V外的場(chǎng)，在 處，有故得到由此可見在電流分布以外的空間中0R01123RRRR)( )(4)(43030)1(為常矢mRRmRRmB)1()1(0)1(1mBH故得3、小

30、區(qū)域內(nèi)電流分布在外磁場(chǎng)中的能量 設(shè)外場(chǎng) 的矢勢(shì)為 ，電流 分布在外磁場(chǎng)中的能量為：33)1(441RRmRRmmeAeB)(xj( )( )ieVWj xA x dV對(duì)于環(huán)形小電流，則有當(dāng)電流環(huán)線度很小， 變化不大時(shí)，取原點(diǎn)在線圈所在區(qū)域適當(dāng)位置上，把 在原點(diǎn)附近展開：SeSeLeveisdBIsdAIl dAIl dsdxAxjW)()()(eBeB )0()0()(eeeBxBxB所以，得到可見(1)(2)(0)(0)ieeSiiWiBxBdSWW(1)(0)(0)(0)(0)ieSeSeeWIBdSIBdSIBSm B4、磁矩在外磁場(chǎng)中受力和力矩 體積V內(nèi)的電流受外磁場(chǎng)的作用力為而從而得

31、到( )( )eVFj xB x dV )0()0()(eeeBxBxB( )(0)(0)eevFj xBxBdV第二項(xiàng)：(1)( )(0)(0)( )(0)(0) 00eVeVeLeFj xBdVBj x dVbIdlB (2)()(0)()(0)()(0)eVeVeVFj xxBdVj xxBdVj xxBdV 第一項(xiàng)：第一項(xiàng)： (0) ( )(0)( )1(0)( )( )21(0)( )( )21(0)( )2iiiiieiVeiVeiiVeiiVeiVBj x x dVBj x x dVBj x xj x xdVBj x xj x xdVBj x x xdV 1(0)( )( )21

32、(0)( )21(0)( )( )21(0)( )( )21(2iiiieiiVeiSeiiVeiiVBj x xj x xdVBj x x xdVBj x xj x xdVBj x xj x xdVj )(0)( )(0)iiieieVx x Bx j x BdV0故1( )(0)( ( )(0)21( )(0)2(0)iiieieVeVej xx Bx j xBdVxj xdBmB )0()0()()0()0()0()()0()()0(eeeeeeeBmBmmBmBBmBmBmF同理，考慮一個(gè)小區(qū)域內(nèi)的電流在外磁場(chǎng)中受到的力矩為：展開式的第一項(xiàng)：()()()(0)(0)eVeeVLxj x

33、BxdVxj xBxBdV(1)2()(0)()(0)()(0)1()(0)(0)()2eVeeVeeVVLxj xBdVj xxBxj xBdVj xxBdBxj xdV 21( )(0)(0)( )2( )(0)( )(0)(0)( )1(0)( )( )21 (0)( )( )2iiiieevSevieveiveiiveiij xx BdVBx j xdSj xx BdVj x x BdVBj x x dVBj x xj x xdVBj x xj x x vdV0故得到1(0)( )21( )(0)(0)( )21( )(0)2(0)ieiveeVeVeBj x x xdVj xx BxBj xdVxj xdBmB )0(eBmL3.6 阿哈羅諾夫阿哈羅諾夫玻姆效應(yīng)玻姆效應(yīng)Aharonov-Bohm effects 在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，場(chǎng)的基本物理量是電場(chǎng)強(qiáng)度 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，勢(shì) 和 是為了數(shù)學(xué)上的方便而引入的輔助量， 和 不是唯一確定的。為對(duì)應(yīng)一個(gè)磁場(chǎng),可以有無窮多的矢勢(shì) ，所以在經(jīng)典