平方根專題復習(教師版)

1、平方根知識講解（學生版）【學習目標】 1了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根2了解開方與乘方互為逆運算，會用開方運算求某些非負數的平方根，會用計算器求平方 根【要點梳理】 知識點一、平方根和算術平方根的概念1. 算術平方根的定義如果一個正數 x的平方等于 a，即 x2 a ,那么這個正數 x叫做 a的算術平方根（規(guī)定0 的算術平方根還是 0）； a 的算術平方根記作 a ，讀作“ a 的算術平方根”， a 叫做被 開方數 .要點詮釋： 當式子 a 有意義時， a一定表示一個非負數，即 a 0，a0.2. 平方根的定義如果x2 a，那么 x叫做a的平方根 .求一個數 a的平方根的

2、運算， 叫做開平方 .平方與開平方互為逆運算 . a （ a 0）的平方根的符號表達為a（a 0），其中 a 是a的算術平方根 .知識點二、平方根和算術平方根的區(qū)別與聯系1區(qū)別：（1）定義不同；（2）結果不同：a 和 a2聯系：（1）平方根包含算術平方根；（2）被開方數都是非負數；（3）0 的平方根和算術平方根均為 0 要點詮釋：（1）正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的那個叫它的算術平方 根；負數沒有平方根（ 2）正數的兩個平方根互為相反數， 根據它的算術平方根可以立即寫出它的另一個平方根 . 因此，知識點三、平方根的性質aa0a2 |a | 0a0aa0知識點四、平方根小數點位數移

3、動規(guī)律被開方數的小數點向右或者向左移動向左移動 1位. 例如： 62500 250，我們可以利用算術平方根來研究平方根 .a a a 02 位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者625 25， 6.25 2.5， 0.0625 0.25.基礎班 1【典型例析】類型一、平方根和算術平方根的概念A. 5 是 25 的算術平方根 B.l2C. 4 的平方根是 4 D.0是l 的一個平方根的平方根與算術平方根都是 0答案】 C； 解析】 利用平方根和算術平方根的定義判定得出正確選項A. 因為 25 5，所以本說法正確；B. 因為± 1 ± 1，所以 l 是 l 的一個平方根說法

4、正確；C. 因為±4 2 ± 16 ± 4，所以本說法錯誤；D. 因為0 0， 0 0，所以本說法正確；總結升華】 此題主要考查了平方根、 算術平方根的定義， 關鍵是明確運用好定義解決問題變式】判斷下列各題正誤，并將錯誤改正：1）9沒有平方根 （）( 2) 164 （）3）（ 1）2 的平方根是1 (10） （ 4）254是 4 的算術平方根 （25）答案】 ；×； ； ×，提示：（2） 16 4；（4）2是 4 的算術平方根5 252、 填空：（ 1） 4是 的負平方根3）表示4）若3，則 x，若 x2 3，則 x思路點撥】3）1就是 1 的

5、算術平方根81111，此題求的是 1 的算術平方根99答案與解析】 (1)16 ；(2) 1 ;1 (3) 1 (4) 916 4 3總結升華】 要審清楚題意，不要被表面現象迷惑.注意數學語言與數學符號之間的轉化；± 3變式 1】下列說法中正確的有（）：3是 9的平方根 9 的平方根是 34是 8的正的平方根8是 64的負的平方根A1個B2 個C 3 個 D 4 個答案】 B；提示：是正確的 .變式 2】求下列各式的值：1） 3 25 （ 2） 81 363） 0.04 0.254） 0.36 121答案】（1）15；（2）15；（3）0.3 ；（4） 6553、使代數式 x 1 有

6、意義的 x 的取值范圍是 【答案】 x 1；【解析】 x 10，解得 x 1.總結升華】 當式子 a 有意義時， a一定表示一個非負數，即a 0， a0.變式】若+（ 3x+y 1）2=0，求 5x+y2 的平方根答案】 解： + （ 3x+y 1）2=0，225x+y 2=5×1+（ 2） 2=9 ，5x+y 2 的平方根為 ± = ±3類型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的 x 值 （1）169x2=144（2）（x 2）236=0【思路點撥】（1）移項后， 根據平方根定義求解； （2）先將（x2）看成一個整體， 移項后， 根據平方根定義求解【答案與解析】

7、解：（1）169x2=144，兩邊同時除以 169，得1442x169開平方，得x=2）（x2）236=0，移項，得 （ x 2）2=36開平方，得 x2=± 6，解得： x=8 或 x= 4總結升華】 本題考查了平方根，根據是一個正數的平方根有兩個類型三、平方根的應用5、要在一塊長方形的土地上做田間試驗，其長是寬的3 倍，面積是 1323 平方米求長和寬各是多少米？解：設寬為 x ，長為 3x ， 由題意得， x ·3x 132323x2 1323x 21x 21（ 舍去 ）答：長為 63 米，寬為 21 米 .【總結升華】 根據面積由平方根的定義求出邊長，注意實際問題中

8、邊長都是正數 .基礎班 2【鞏固練習】一. 選擇題1. 16 的平方根是（ ）A.4 B.4 C. ± 4 D. 256 【答案】 C；【解析】正數的平方根有兩個，它們互為相反數 .2下列各數中沒有平方根的是（）2A 3 2B 0C【答案】 D；【解析】負數沒有平方根 .3. 下列各等式中，正確的是（ ）A= 3 B± =381D 6答案】 A；解析】解：A、=3，故 A 正確；B、3，故 B 錯誤；C、被開方數是非負數，故 C 錯誤；D、=3，故 D 錯誤；故選： A4. 要使代數式 有意義，則 的取值范圍是 （BA【答案】 B；解析】被開方數為非負數CD5. 下列語句不

9、正確的是（A0 的平方根是 0B正數的兩個平方根互為相反數C 22 的平方根是± 2Da是 a2的一個平方根答案】 C；解析】 22 沒有平方根 .6.一個數的算術平方根是 a ，則比這個數大8 數是A a 8B a 4Ca2 8Da2 8答案】 D；解析】一個數的算術平方根是 a ，則這個數是 a2.二. 填空題7計算：（1） 121；（ 2） 256；（3）122；（5） （ 3）2；（6）213 答案】 11； 16； 12；9；3；28. 25 的算術平方根的相反數是答案】 5 ； 0.0001 算術平方根是；0 的平方根是答案】 6 ；0.01 ；0.510. ( 4)2

10、的算術平方根是 ； 81 的算術平方根的相反數是 【答案】 2； 3；【解析】 ( 4)2 4， 81 9，此題就是求 4 的算術平方根和 9的算術平方根的相反數11一個數的平方根是± 2，則這個數的平方是 答案】 16；【解析】一個數的平方根是± 2，則這個數是 4，4 的平方是 16. 12已知， ，則 =【答案】 578.9 ；【解析】解： ， =578.9 故答案為： 578.9 三.解答題13求下列各式中的 x （1） x2 143 1 ；（2） 4x2 1 0；(3)24（x 2）2 25 191x 12xx1= ，x2=22 2 214小麗想在一塊面積為36m

11、2正方形紙片上，沿著邊的方向裁出一塊面積為30m2 的長方形紙片，并且使它的長寬的比為2： 1問：小麗能否用這塊正方形紙片裁出符合要求的長方形紙片，為什么？解：不能，設長方形紙片的長為2xcm，寬為 xcm，則：2x?x=30，2x2=30，x2=15，x= ，則長方形紙片的長為 2cm，因為 2> 6，而正形紙片的邊長為cm=6cm，所以不能裁剪出符合要求的長方形15思考題：估計與35 最接近的整數解： 25<35< 36 25 35 36即 5< 35 < 635 比較接近 36， 35 最接近的整數是 6.提高班 1【典型例析】類型一、平方根和算術平方根的概

12、念1、已知 2a 1的平方根是± 3， 3a+b9的立方根是 2，c是 的整數部分，求 a+b+c 的平方根【思路點撥】 首先根據平方根與立方根的概念可得2a 1 與 3a+b9 的值，進而可得 a、b的值；接著估計 的大小，可得 c 的值；進而可得 a+b+c，根據平方根的求法可得答案 【答案與解析】解：根據題意，可得 2a 1=9， 3a+b9=8；故 a=5， b=2；又2< < 3，c=2，a+b+c=5+2+2=9，9的平方根為± 3【總結升華】 此題主要考查了平方根、 立方根、 算術平方根的定義及無理數的估算能力， 還 要掌握實數的基本運算技能，靈活

13、應用舉一反三：【變式】已知 2a1與 a 2是m的兩個不同的平方根，求 m的值 . 【答案】 2a1與 a 2是m的平方根，所以 2a1與 a 2互為相反數 . 解：當 2 a 1( a2)0時， a1，22所以 m 2a 1 2 2 ( 1) 123 2 92、x 為何值時，下列各式有意義？(1) x2 ； (2) x 4； (3) x 1 1 x； (4) x 1 x3【答案與解析】解：(1) 因為 x2 0，所以當 x取任何值時， x2都有意義(2) 由題意可知： x 4 0 ，所以 x 4 時， x 4 有意義x10(3) 由題意可知： 解得： 1 x 1 所以 1 x 1 時 x 1

14、 1 x 有意 1x0義x 1 0(4) 由題意可知： ，解得 x 1且 x 3 x30x3所以當 x 1且 x 3時， x 1有意義總結升華】 (1) 當被開方數不是數字，而是一個含字母的代數式時，一定要討論，只有當0 時，式被開方數是非負數時，式子才有意義 (2) 當分母中含有字母時，只有當分母不為 子才有意義舉一反三：【變式】已知4 3a12 2 2 3a 2，求a11 的算術平方根b2) x 1 2 289答案】解：根據題意，得3a3a0,則a0.21，所以 b 2，313b22，111 1 的算術平方根為ab1a 1b2 類型二、平方根的運算、求下列各式的值(1) 252 24242

15、(2)2011 0.3631 900 5思路點撥】 (1)首先要弄清楚每個符號表示的意義答案與解析】2)注意運算順序 .解： (1) 252 24232 42 49 25 735；(2) 201 1 0.36 1 9004 3 513 0.61 30592 0.2 61.7【總結升華】 (1) 混合運算的運算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級運算按先 后順序進行 (2) 初學可以根據平方根、算術平方根的意義和表示方法來解，熟練后直接根 據 a2 a(a 0) 來解類型三、利用平方根解方程、求下列各式中的 x.( 1) x2361 0;(2) x 1 2 289 ；(3) 9 3x 2

16、2 64 0【答案與解析】解：( 1) x2361 02 x361x361192 x 1 289 x1± 17 x 16 或 x 18.3) 9 3x2 64 0 3x 264 3x 2149元二次方程， x 2 或x9總結升華】 本題的實質是3）小題中運用了整體思想分散了難度開平方法是解元二次方程的最基本方法. （ 2）舉一反三：變式】求下列等式中的 x ：1）若 x21.21，則 x 2) x2169 ，則 x 3）若 x299,則x44）若 x222 ，則 x 答案】（1）±1.1 ；（2）± 13；（ 3）3；24)±2.類型四、平方根的綜合應用

17、5、已知 a 、b是實數，且 2a 6|b2| 0，解關于 x 的方程 （a 2）x b2答案與解析】解： a 、b是實數，2a6|b 2| 0，2a 60，|b2| 0， 2a60，b20a3，b2把a3，b2 代入(a2)x b2 a1，得x 24， x 6【總結升華】 本題是非負數的性質與方程的知識相結合的一道題，應先求出 a 、b的值，再 解方程此類題主要是考查完全平方式、 算術平方根、絕對值三者的非負性，只需令每項分 別等于零即可舉一反三：【變式】若x2 1 y 1 0，求 x2021 x 2022的值答案】解：由 x2 1 y 1 0，得 x2 1 0，y 1 0，即 x 1， y

18、 1當 x1， y1 時， x2021 x2022 12021 - 1 2022 2當 x1， y 1時， x2021 x2022 -1 2021 -1 2022 06、小麗想用一塊面積為 400 cm2 的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為 300 cm 2 的長方形紙片，使它長寬之比為 3 : 2 ，請你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求 的長方形紙片 .【答案與解析】解：設長方形紙片的長為 3x （ x>0） cm ，則寬為 2x cm ，依題意得3x 2x 300.6x2 300.2x 50 . x>0， x 50 . 長方形紙片的長為 3 50 cm . 50>

19、 49, 50 7. 3 50 21, 即長方形紙片的長大于 20cm.由正方形紙片的面積為 400 cm2, 可知其邊長為 20cm , 長方形的紙片長大于正方形紙片的邊長 .答: 小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片 . 【總結升華】本題需根據平方根的定義計算出長方形的長和寬， 再判斷能否用邊長為 20cm 的正方形紙片裁出長方形紙片 .【變式】某小區(qū)為了促進全民健身活動的開展，決定在一塊面積約為1000m2 的正方形空地上建一個籃球場，已知籃球場的面積為420m2，其中長是寬的 倍，籃球場的四周必須留出 1m寬的空地，請你通過計算說明能否按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場？ 【答案】2

20、8解：設籃球場的寬為 xm，那么長為xm，15由題意知 ，2所以 x2=225，因為 x 為正數，所以 x=15，又因為=900< 1000，所以按規(guī)定在這塊空地上建一個籃球場提高班 2【鞏固練習】一. 選擇題1下列說法中正確的有（）只有正數才有平方根 2是 4 的平方根 16 的平方根是 4 a 2 的算術平方根是a （ 6）2 的平方根是6 9 3A1個B 2 個答案】 A；【解析】只有是正確的2若 m 40 4，則估計的值所在的范圍是（A1< m<2B. 2答案】 B；< m < 3C. 3< m < 4 D. 4 < m < 5解析

21、】 6 40 7 ，所以2< 40 4<3 .3. 試題下列說法中正確的是（ ）A.4 是 8 的算術平方根 B.16 的平方根是 4 C. 6 是 6 的平方根 D. a沒有平方根 【答案】 C；【解析】 A.4是 16的算術平方根，故選項 A錯誤； B.16的平方根是± 4，故選項 B 錯誤； C. 6 是 6的一個平方根，故選項 C正確； D.當 a0時， a也有平 方根，故選項 D 錯誤4. 能使 x 3的平方根有意義的x值是（） A.x>0B.x>3C.x 0D.x 3【答案】 D；【解析】要使 x 3 的平方根有意義， x 3 0，即 x 35.

22、若 =a，則 a的值為（） A 1 B1 C0或 1 D±1【答案】 C；【解析】解：=a，a0當 a=0 時， =a；當 0<a<1 時， >a；當 a=1 時， =a； 當 a>時， < a；綜上可知，若=a，則 a 的值為 0 或1故選 C20206. 若 x， y 為實數，且|x 1| y 1 0，則x的值是（ ）yA.0B.1C. 1D.2020【答案】B；2020【解析】 x 10，y10，解得 x 1；y1 x1.y二. 填空題7. 若 10404 102，則 1.0404 .【答案】 1.02 ； 【解析】被開方數向左移動四位，算術平方根的值向左移動兩位 .8.如果一個正方形的面積等于兩個邊長分別是3cm和 5cm 的正方形的面積的和， 則這個正方形的邊長為 .【答案】