陜西師范大學(xué)量子力學(xué)題庫(kù)2

1、1. 十九世紀(jì)末期，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來(lái)已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段，形成了 三門經(jīng)典學(xué)科。這三門經(jīng)典學(xué)科分別是 ,2. 按經(jīng)典的物質(zhì)概念，物質(zhì)可以分為兩類，一類是，另一類是3. 二十世紀(jì)初，經(jīng)典物理學(xué)遇到了無(wú)法克服的困難。這些困難分別是，及4. 經(jīng)典物理中，對(duì)實(shí)物的運(yùn)動(dòng)采用來(lái)描述，實(shí)物的運(yùn)動(dòng)遵守。5. 經(jīng)典物理中，對(duì)輻射場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)采用來(lái)描述，輻射場(chǎng)的變化遵守06. 在經(jīng)典概念下，實(shí)物的基本特性是和7. 在經(jīng)典概念下，輻射場(chǎng)的基本特性是和8. 在經(jīng)典概念，粒子性是指和.9. 在經(jīng)典概念，波動(dòng)性是指和.10. 在經(jīng)典概念，波動(dòng)性和粒子性 （填是否可以）統(tǒng)一于同一物質(zhì)客體11. 光的波動(dòng)性的理論基礎(chǔ)是.

2、12. 光的波動(dòng)性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)是.13. 光的粒子性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)是，14. 光的粒子性的理論依據(jù)是，.15. 微粒的粒子性是指微觀粒子的，即以及16. 微粒的波動(dòng)性是指.17. 微粒的粒子性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)是.18. 按照愛(ài)因斯坦光子假設(shè)，光子的能量 E和動(dòng)量P與光波的頻率v和波 長(zhǎng)入的關(guān)系為E ，P .19. 按照德布洛依假設(shè)，能量為E、動(dòng)量為P的自由粒子其相應(yīng)的物質(zhì)波的波長(zhǎng)入=，頻率v =.20. 自由粒子的動(dòng)能為E,速度遠(yuǎn)小于光速，則德布羅依波長(zhǎng)入=21. 電子被電勢(shì)差V （伏）加速，則德布羅依波長(zhǎng)入=.22. 按照德布洛依假設(shè)，粒子的能量 E、動(dòng)量P與相應(yīng)的物質(zhì)波的頻率v, 波長(zhǎng)入的關(guān)系是，.2

3、3. 歷史上第一個(gè)肯定光除了波動(dòng)性之外還具有粒子性的科學(xué)家是24. 歷史上第一次用實(shí)驗(yàn)證明實(shí)物具有波動(dòng)性的科學(xué)家是25. 能量為E,動(dòng)量為P的自由粒子的平面波的表達(dá)式是26. 玻爾的氫原子理論包含三條假設(shè)，分別是，27. 索末菲對(duì)玻爾的軌道量子化條件推廣為.28. 玻爾的頻率條件表示為.29. 任何態(tài)函數(shù)用動(dòng)量本征函數(shù)展開(kāi)的表達(dá)式為30. 任何態(tài)函數(shù)在動(dòng)量表象中的表達(dá)式為31. 波函數(shù)是指.32. 按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于33. 微觀粒子的量子狀態(tài)最顯著的特點(diǎn)是.34. 波函數(shù)乘一個(gè)常因子，所描的狀態(tài)（填是否改變）35. 量子力學(xué)第一條基本假設(shè)是36. 波函數(shù)的統(tǒng)

4、計(jì)解釋是37. 物質(zhì)波與經(jīng)典波的重要區(qū)別有兩點(diǎn)，其一是,其二是.38. 波函數(shù)的歸一化條件是.39. 體系的狀態(tài)用 x, y, z,t 則粒子在t時(shí)刻在點(diǎn)（x,y,z ）周圍體元dT內(nèi)出現(xiàn)的幾率是40. 非平方可積的波函數(shù)可以歸一化為，也可以用箱歸一化方法歸一化為41.自由粒子的本征函數(shù)Aeip r若歸一化為S函數(shù)，則A=42.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為1,則A=43.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為S函數(shù)，則其動(dòng)量是.44.自由粒子的本征函數(shù)Aei一 P r若歸一化為一，則動(dòng)量取.，其值45. 量子態(tài)迭加的對(duì)象是，經(jīng)典態(tài)迭加對(duì)象是46. 經(jīng)典態(tài)迭加的結(jié)果是 （填

5、可以或不可以）出現(xiàn)各點(diǎn)強(qiáng)度為零的狀態(tài).47. 量子態(tài)迭加的結(jié)果是 （填可以或不可以）出現(xiàn)各點(diǎn)強(qiáng)度為零的狀態(tài)。cn n與48. 在量子態(tài)迭加原理中n , 與n的主要區(qū)別是49. 電子在晶體表面衍射后的狀態(tài)r,t用平面波的迭加表示為50. 在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)用，在確定狀態(tài)中各力學(xué)量是.51. 在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用,在確定狀態(tài)中,粒子的各力學(xué)量是.52. 在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)遵守，但量子力學(xué)中，量子態(tài)的變化遵守.53. 薛定格方程必須滿足的兩個(gè)條件是，54. 粒子在力場(chǎng)U r中運(yùn)動(dòng)，則粒子的薛定格方程為55. 自由粒子的薛定格方程為.56. 粒子在勢(shì)場(chǎng)U （r,t ）中運(yùn)動(dòng)，則薛定格

6、方程為2i T-57.能量算符t和2U r等價(jià)的條件是58. 哈密頓算符的一般形式是.59. 哈密頓算符顯含時(shí)間時(shí)薛定格方程只能寫成60. 哈密頓算符顯不含時(shí)間時(shí)薛定格方程可以寫成填空題答案1. 經(jīng)典力學(xué),經(jīng)典電磁學(xué)（含電動(dòng)力學(xué)），經(jīng)典熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理。2. 實(shí)物、輻射場(chǎng)。3. 黑體輻射，光電效應(yīng)，原子的光譜線系及固體在低溫下的比熱。4. 坐標(biāo)和動(dòng)量、牛頓運(yùn)動(dòng)定律。5. 電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度，麥克斯威爾方程組。6. 內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律的非迭加性。7. 內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律的迭加性。8. 內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律的非迭加性.9. 內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律的迭加性。10

7、. 不可能.11. 光的電磁理論.12. 光的干涉和光的衍射.13. 黑體輻射，光電效應(yīng)，康普頓效應(yīng).14. 普朗克的能量子假設(shè)，愛(ài)因斯坦的光量子假設(shè).15. 原子性或顆粒性，內(nèi)稟性質(zhì)的不可分割性和力學(xué)量的不連續(xù)性。16. 與粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波的迭加性.17. 電子在晶體表面的衍射。hn18. h v，19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.h12.25hnE=h v, P =愛(ài)因斯坦.戴維遜和革末.Ae定態(tài)假設(shè)，頻率條件，軌道量子化條件.pdq nhEnEmr,t c p,t p r dpxdpydpzc p,t31表示描寫微觀粒子的波的函數(shù).波函數(shù)在空間各點(diǎn)

8、的相對(duì)強(qiáng)度.狀態(tài)確定后體系的各種力學(xué)量不一定完全確定.并不改變.微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描寫.波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的幾率成正比。物質(zhì)波不是可測(cè)量的物理量的空間分布隨時(shí)間的變化， 物質(zhì)波具有一個(gè) 常因子的不確定性。x, y, z,t d 1dW x, y,z,t Cx,y,z,t d函數(shù)，1.32 23L 2可以取連續(xù)值p分立值，2 m .»L ,i x,y,z態(tài)函數(shù)，場(chǎng)量即電場(chǎng)強(qiáng)度或磁場(chǎng)強(qiáng)度.可以.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.不可以.48.49.50.51.52.53.54.55.56.57.58.

9、59.60.r,tcP p r,tn波函數(shù)來(lái)描寫不一定唯一確定牛頓運(yùn)動(dòng)方程，薛定格方程。方程是線性的，方程的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)參量。用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描寫唯一確定的222. 2 it 2r,t_H? t體系處于定態(tài).勢(shì)場(chǎng)U不顯含時(shí)間.在 態(tài)的強(qiáng)度中必定有n產(chǎn)生的干涉項(xiàng).庫(kù)n .第一類：簡(jiǎn)要回答問(wèn)題1. 19世紀(jì)末期，物理學(xué)的發(fā)展取得了哪些成就？遇到了哪些困難？2. 試概括闡述經(jīng)典物理關(guān)于物質(zhì)的概念和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的描述。3. 經(jīng)典概念下，實(shí)物具有怎樣的共同性質(zhì)？試述經(jīng)典概念下的粒子性。4經(jīng)典概念下，輻射場(chǎng)具有怎樣的共同性質(zhì)？試述經(jīng)典概念下的波動(dòng)性。5. 經(jīng)典物理關(guān)于物質(zhì)性質(zhì)的描述具有怎樣的特點(diǎn)？6. 怎樣

10、正確理解光的波粒二象性？7. 怎樣正確理解微觀粒子的波粒二象性？8. 在微觀領(lǐng)域內(nèi)，物質(zhì)是具有二象性的，試述你對(duì)光的粒子性的理解。9. 在微觀領(lǐng)域內(nèi)，物質(zhì)是具有二象性的，試述你對(duì)實(shí)物粒子波動(dòng)性的理解。10. 試比較微觀粒子與經(jīng)典粒子的區(qū)別。1. 十九世紀(jì)未期，物理學(xué)理論既取得了輝煌的成就，又遇到了無(wú)法克服的困難。具體從以下幾個(gè)方面可以看出。方面，當(dāng)時(shí)一般的物理現(xiàn)象都可以從相應(yīng)的理論中得到說(shuō)明：物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)在速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)，準(zhǔn)確地遵守牛頓力學(xué)的規(guī)律，以牛頓運(yùn)動(dòng)三定律為基礎(chǔ)的力學(xué)和聲學(xué)構(gòu)成（光的電磁理論）統(tǒng)一歸結(jié)為麥克斯韋熱現(xiàn)象的基本規(guī)律以及由大量分子 以上，就是十九世紀(jì)未期物理學(xué)發(fā) 對(duì)科學(xué)實(shí)

11、驗(yàn)不斷提出新的要求，促了經(jīng)典力學(xué)；電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律和光的波動(dòng)理論 爾方程組，由電磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)共同構(gòu)成經(jīng)典電磁學(xué)； 構(gòu)成的系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)歸結(jié)為經(jīng)典熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。 展所取得的輝煌成就。另一方面，由生產(chǎn)力的巨大發(fā)展, 使科學(xué)實(shí)驗(yàn)從一個(gè)發(fā)展階段進(jìn)入到另一個(gè)新的發(fā)展階段。就在經(jīng)典物理取得輝煌成就的同 時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)了一些新的物現(xiàn)象： 黑體輻射問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題研究的是輻射與周圍物體處于平衡狀態(tài)時(shí)的能量按波長(zhǎng)（或 頻率）的分布規(guī)律。實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是： 熱平衡時(shí)輻射能量密度按波長(zhǎng)分布的曲線，其形狀 和位置只與黑體的絕對(duì)溫度有關(guān)，而與空腔的形狀及組成的物質(zhì)無(wú)關(guān)。這一結(jié)果用經(jīng)典理論無(wú)法解釋。 光電效應(yīng)。光照

12、射到金屬上時(shí)， 有電子從金屬中逸出。 實(shí)驗(yàn)得出的光電效應(yīng)的有關(guān)規(guī)律同 樣用經(jīng)典理論無(wú)法解釋。 原子的光譜線系。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，原子所發(fā)出的光其光譜為線狀光譜，且光譜分為若干線系。原子光譜這種性質(zhì)和特征，用經(jīng)典物理無(wú)法解釋。 原子的穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型已提出并被學(xué)術(shù)界公認(rèn)。按盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型， 電子在核外繞核運(yùn)轉(zhuǎn)。 但按照經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)， 加速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子必然 產(chǎn)生輻射。這樣電子在繞核運(yùn)動(dòng)時(shí)必然不停地向外輻射能量，從而繞核運(yùn)動(dòng)的半徑r不斷減少，最后墜入原子核子中。因此按經(jīng)典物理學(xué)，原子是一個(gè)不定的粒子，最終都要蛻化為原子核。但事實(shí)上原子是相當(dāng)穩(wěn)定的中性微粒。所以說(shuō)經(jīng)典物理學(xué)不能

13、解釋原子的穩(wěn)定性。 固體在低溫下的比熱。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)物理所給出的固體的定容比熱公式在室 溫附近及較高溫度很符合， 但在低溫時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)值較小， 而且實(shí)驗(yàn)的比熱數(shù)值隨溫度降低得很 快。當(dāng)溫度趨于絕對(duì)零度時(shí)比熱也趨于零。這種現(xiàn)象是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理所無(wú)法解釋的。 除了上述事實(shí)外， 還有康普頓效應(yīng)等其它一些現(xiàn)象也是經(jīng)典物理無(wú)法解釋的。 這些都是經(jīng)典 物理所遇到的困難。這些困難暴露了經(jīng)典物理局限性，為量子力學(xué)的建立提供了實(shí)驗(yàn)依據(jù)。2. 在經(jīng)典物理中 , 關(guān)于物質(zhì)的存在形式其基本觀點(diǎn)是： 自然界的物質(zhì)分為兩類 . 一類是實(shí)物 , 另一類是場(chǎng) , 即輻謝場(chǎng) . 在經(jīng)典物理中這兩類物質(zhì)具有截然不同的性質(zhì),

14、它們遵守不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 , 實(shí)物的運(yùn)動(dòng)遵守牛頓定律 , 輻射場(chǎng)的變化滿足麥克斯威爾方方程 . 對(duì)這兩種不同的物質(zhì) 經(jīng)典物理采用了兩種截然不同的描述方式。 對(duì)實(shí)物的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)采用坐標(biāo)、 動(dòng)量等力學(xué)量來(lái)描 述, 對(duì)輻謝場(chǎng)的變化狀態(tài)采用場(chǎng)強(qiáng)度（如電場(chǎng)強(qiáng)度, 磁感應(yīng)強(qiáng)度）或輻射的能量密度 , 能流密度等來(lái)描述 .3. 在經(jīng)典概念之下，實(shí)物所具有的共同性質(zhì)總的說(shuō)來(lái)是粒子性，具體來(lái)說(shuō)實(shí)物具有以下共性： 是由實(shí)際的原子、分子等構(gòu)成的 . 具有一定凝聚形態(tài)的物質(zhì)客體 , 如固體、液體、氣體， 等離子體等 . 都屬于實(shí)物的范疇 . 實(shí)物可以具有一定的質(zhì)量、 電荷等內(nèi)稟屬性 （即固有性質(zhì)） . 但這些內(nèi)稟屬性的一個(gè)

15、重要 特點(diǎn)是具有可分割性 . 即一切實(shí)物都可以任意分割開(kāi)來(lái)，對(duì)其中的任何一小部分進(jìn)行獨(dú)立研 究，而且不論其質(zhì)量大小 , 一律按牛頓運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng) , 即使是分割為原子或分子 , 也只能按質(zhì) 點(diǎn)對(duì)待 , 遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律 . 一切實(shí)物都作軌道運(yùn)動(dòng)，與空間確定的軌道相聯(lián)系。 由于牛頓運(yùn)動(dòng)方程對(duì)物體的坐標(biāo)和動(dòng)量不是線性齊次的 , 因此 , 實(shí)物的運(yùn)動(dòng)不滿足迭加性 （在數(shù)學(xué)中 , 只有線性齊次方程的解具有疊加性） .粒子性：物理學(xué)中稱實(shí)物所具有的內(nèi)稟性質(zhì)的可分割性及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的非迭加性為粒子性. 這里粒子性是經(jīng)典概念下的粒子牲，這種粒子性只有實(shí)物這類物質(zhì)才能夠具有。4. 在經(jīng)典概念之下，輻射場(chǎng)所具有的共同

16、性質(zhì)總的說(shuō)來(lái)是波動(dòng)性。具體來(lái)說(shuō)輻射場(chǎng)具有 以下共性：輻射場(chǎng)是具有不可分割屬性 （如能量密度 ,能流密度 , 輻射場(chǎng)強(qiáng)度等都是不可分割的） 的物 質(zhì)客體 . 它并不是由原子，分子等實(shí)物粒子組成，也并不具有一定的凝聚形態(tài)，而是彌漫于 整個(gè)空問(wèn)。如電磁場(chǎng)（電磁波）就是典型的輻射場(chǎng) . 而光又是具有一定頻率范圍的電磁波 , 也是具有代表性的輻射場(chǎng) . 這種不可分割屬性不僅是指場(chǎng)本身不可能分割成各個(gè)部分進(jìn)行研 究、而且是指描述場(chǎng)的各種物理量 ,如場(chǎng)的強(qiáng)度 ,能量密度 , 能流密度等也是無(wú)法分割的 . 任何一個(gè)輻射場(chǎng) ,只能整體地進(jìn)行研究 , 并且無(wú)論強(qiáng)度高低 , 一律按麥克斯威爾方程組進(jìn)行 變化.由于麥

17、克斯威爾方程組對(duì)于電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度是線性齊次的 , 因而輻謝場(chǎng)具有疊加性 .在經(jīng)典物波動(dòng)性：物理學(xué)中稱輻射場(chǎng)所具有的不可分割屬性和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的疊加性為波動(dòng)性 理中波動(dòng)性是輻射場(chǎng)特有的性質(zhì)。5. 在經(jīng)典物理中，輻射場(chǎng)是具有波動(dòng)性的物質(zhì)，實(shí)物則是具有粒子性的物質(zhì)這種波動(dòng)性和 粒子性不可能統(tǒng)一于同一種物質(zhì)客體上反過(guò)來(lái)也可以這樣說(shuō),在經(jīng)典慨念下，任何一種物質(zhì)不可能同時(shí)具有波動(dòng)性和粒子性。6, 光的波粒二象性：光既具有波動(dòng)性，又具有粒子性，因此光具波動(dòng)和粒子雙重性質(zhì)，這 種性質(zhì)稱為光的波粒二象性。因此，所謂光的波粒二象性， 就是指光同時(shí)具有波動(dòng)性和粒子性。光的波動(dòng)性：光的電磁理論闡明，光是某一特定頻率范

18、圍的電磁波，具有波的一切性質(zhì)，遵守波的迭加性。因此光的電磁學(xué)說(shuō)是光的波動(dòng)性的理論依據(jù)。光的干涉，衍射等現(xiàn)象從實(shí)驗(yàn)上證明了光的波動(dòng)性。光的粒子性：普朗克的能量子假設(shè)和愛(ài)因斯坦的光量子假設(shè)從理論上揭示了光的粒子性（微粒性），黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)等從實(shí)驗(yàn)上證明了光的粒子性。光在與物質(zhì)相互作用過(guò)程中能量和動(dòng)量的交換表現(xiàn)不連續(xù)性或顆粒性，出因此光除了波動(dòng)性以外，又具有了粒子性。光的波粒二象性： 光同時(shí)具有波動(dòng)性和粒子性， 光的這兩種性質(zhì)統(tǒng)一于光子這一物質(zhì)客體， 通過(guò)愛(ài)因斯坦關(guān)系式聯(lián)系起來(lái)。左邊的能量E和動(dòng)量P表示出光的粒子性的一面。 右邊的頻率和波長(zhǎng)表現(xiàn)出光的波動(dòng)性的一面。E h，p h n

19、hnkc必須說(shuō)明的是：光具有波粒二象性是量子力學(xué)同經(jīng)典物理學(xué)的重要區(qū)別，因?yàn)樵诮?jīng)典物理中, 光只有波動(dòng)性，不會(huì)有粒子性。7微觀粒子波粒二象性是指微觀粒子同時(shí)具有波動(dòng)性和粒子性。這種波動(dòng)性和粒子性，既不同于經(jīng)典波的性質(zhì)，又不同于經(jīng)典粒子的性質(zhì)。微觀粒子的粒子性是指微觀粒子的原子性或顆粒性。具體可以作如下理解：微觀粒子總是以具有確定的質(zhì)量，電荷等內(nèi)稟屬性的物質(zhì)客體在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)，但這種內(nèi)稟屬性在一定條件下以一種不可再分割的（注意經(jīng)典粒子的內(nèi)稟屬性是可分割的）顆粒形式表現(xiàn)出來(lái)。如質(zhì)子、 電子，它們各自都有確切的質(zhì)量、電荷。但它們的質(zhì)量、電荷卻不能再分割，其量值是固定 不變的。若再分割，則不是原來(lái)的質(zhì)子

20、、電子了。且微觀粒子的運(yùn)動(dòng)并不遵守牛頓定律，并不與“有確切的運(yùn)動(dòng)軌道”的經(jīng)典概念有什么必然聯(lián)系。微觀粒子的波動(dòng)性是指微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表現(xiàn)為波動(dòng)性中最本質(zhì)的東西波的迭加性。與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波，并不代表某種實(shí)際物理量的波動(dòng)，而只是描述粒子在空間出現(xiàn)的幾率分布的幾率波。所以微觀粒子的波動(dòng)性即是“幾率波”的迭加性。這種波動(dòng)性并不與實(shí)際可測(cè)量的真實(shí)波動(dòng)有任何必然聯(lián)系。微觀粒子的波動(dòng)性與粒子性的聯(lián)系同光的波動(dòng)性與粒子性的關(guān)系一致。具有確定的能量E和動(dòng)量P的粒子其相應(yīng)的物質(zhì)波的頻率和波長(zhǎng)是上兩式左邊是微觀粒子的能量和動(dòng)量，它們代表微觀粒子的粒子性；右邊是粒子的相應(yīng)物質(zhì)波的波長(zhǎng)和頻率。兩種性質(zhì)通過(guò)德布

21、羅意關(guān)系式聯(lián)系起來(lái)。微觀粒子波動(dòng)性的認(rèn)識(shí)過(guò)程是首先由德布羅意在1924年提出物質(zhì)波假設(shè)，即實(shí)物客體也應(yīng)該具有波動(dòng)性。后于1927年由戴維遜和革末用電子衍射實(shí)驗(yàn)所證明。以后陸續(xù)有原子衍射，中子衍射等，證明了實(shí)物粒子的波動(dòng)性。從此，微觀粒子的波粒二象性就被完全確定下來(lái)了。8.光的波動(dòng)性有大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)如干涉，衍射和光的電磁理論的支持，是早被人們所認(rèn)識(shí)到的。但是直至十九世紀(jì)末， 人們發(fā)現(xiàn)的黑體輻射， 光電效應(yīng)等現(xiàn)象卻揭示出把光看作 波動(dòng)的局限性。這就提示我們，光除了波動(dòng)性的一面外， 還應(yīng)該具有粒子性的一面。人們對(duì) 光的粒子性是通過(guò)對(duì)黑體輻射，光電效應(yīng)等現(xiàn)象的研究中逐步地認(rèn)識(shí)和掌握的。光的粒子性，其主

22、要的實(shí)驗(yàn)證據(jù)有三：黑體輻射，光電效應(yīng)，康普頓效應(yīng).在這實(shí)驗(yàn)中所表現(xiàn)出的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，用經(jīng)典理論無(wú)法解釋。為了解釋黑體輻射的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，普朗克提出了能量子假說(shuō)：黑體以hv為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為v的輻射，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)地發(fā)射和吸收輻射能 量。能量單位hv稱為能量子，h是普朗克常數(shù)?；谶@一假定，普朗克推得了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果 符合很好的黑體輻射公式。黑體輻射問(wèn)題的成功解釋說(shuō)明電磁輻射（光）的能量是量子化的,是不連續(xù)的。這就是光的粒子性的一種表現(xiàn)。因此，黑體輻射是光的粒子性的實(shí)驗(yàn)證據(jù)之一，而普朗克的量子假設(shè)就成為光的粒子性的理論基礎(chǔ)之一。為了解釋光電效應(yīng)現(xiàn)象， 愛(ài)因斯坦提出了如下

23、的光量子假設(shè)：電磁輻射不僅在被發(fā)射和吸收時(shí)以能量為hv的微粒形出現(xiàn)，而且以這種形式以速度C在空間運(yùn)動(dòng)。這種能量為hv的微粒稱為光量子，簡(jiǎn)稱光子。按照愛(ài)因斯坦假設(shè)，光是由光子組成，發(fā)射和吸收的是光子，在空間傳播的也是光子。因此光是粒子，是具有粒子性的。這樣，愛(ài)因斯坦就成為第一個(gè)完全肯定光除了具有波動(dòng)性之外還具有粒子性的科學(xué)家。 光子學(xué)說(shuō)成為光的粒子性的主要理論依 據(jù)，光電效應(yīng)成為光的粒子性的重要實(shí)驗(yàn)證據(jù)。康普頓以愛(ài)因斯坦的光子理論為依據(jù)，成功解釋了康普頓效應(yīng)，既證明了光子的存在，也證明了光是具有粒子性的客體。光子是光的波動(dòng)性和粒子性的統(tǒng)一體。光子的能量和動(dòng)量是：E h9微觀粒子的波動(dòng)性 ：是指微

24、觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表現(xiàn)為波動(dòng)性中最本質(zhì)的東西波的迭加性。而與微觀粒子相聯(lián)系的物質(zhì)波， 并不代表某種實(shí)際物理量的波動(dòng)， 而只是描述粒子 在空間出現(xiàn)的幾率分布的幾率波。所以微觀粒子的波動(dòng)性即是“幾率波”的迭加性。這種波動(dòng)性并不與實(shí)際可測(cè)量的真實(shí)波動(dòng)有任何必然聯(lián)系。微觀粒子的波動(dòng)性與粒子性的聯(lián)系：同光的波動(dòng)性與粒子性的關(guān)系一樣，具有確定的能量E和動(dòng)量P的粒子其相應(yīng)的物質(zhì)波的頻率和波長(zhǎng)是hn上兩式左邊是微觀粒子的能量和動(dòng)量，它們代表微觀粒子的粒子性；右邊是粒子的相應(yīng)物質(zhì)波的波長(zhǎng)和頻率，是描述微觀粒子波動(dòng)性的。兩種性質(zhì)通過(guò)德布羅意關(guān)系式聯(lián)系起來(lái)。微觀粒子波動(dòng)性的認(rèn)識(shí)過(guò)程是首先由德布羅意在1924年提出物質(zhì)

25、波假設(shè)，即實(shí)物客體也應(yīng)該具有波動(dòng)性。后于1927年由戴維遜和革末用電子衍射實(shí)驗(yàn)所證明。此后，陸續(xù)有中子衍射，原子衍射等，證明了實(shí)物粒子的波動(dòng)性。從此，微觀粒子的波動(dòng)性就被完全確定下來(lái)了。10.首先從概念上予以區(qū)分：經(jīng)典粒子：是指具有經(jīng)典概念下的粒子性，可以抽象成質(zhì)點(diǎn)的實(shí)物客體。即經(jīng)典粒子可以具有確定的質(zhì)量、電荷等內(nèi)稟性質(zhì)，但這些性質(zhì)都具有可分割性；其運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在空間必然存在確定的軌道?；蛘呖梢院?jiǎn)單地說(shuō)：經(jīng)典粒子等價(jià)于實(shí)物，但其線度以可 以抽象為質(zhì)點(diǎn)為條件。經(jīng)典粒子都作軌道運(yùn)動(dòng)。微觀粒子：是指具有波粒二象性的物質(zhì)客體。如分子、原子、質(zhì)子、中子、電子等，線度在 原子尺度以下的實(shí)物客

26、體。它們也可以象經(jīng)典粒子一樣具有確定的質(zhì)量，電荷等內(nèi)稟屬性。但它們的這些內(nèi)稟屬性在一定條件下具有不可分割性。這就是微觀粒子的“粒子性”，顯然它不同于經(jīng)典粒子性。另外，微觀粒子除了粒子性外，還具有波動(dòng)性，它與一定的物質(zhì)波相聯(lián)系，遵這物質(zhì)波的迭加性。 因此，微觀粒子與經(jīng)典粒子的主要區(qū)別是微觀粒子具有波粒二 象性，而經(jīng)典粒子只具有經(jīng)典概念下的粒子性。當(dāng)然微觀粒子的粒子性既不同于經(jīng)典的粒子性，微觀粒子的波動(dòng)性也不同于經(jīng)典的波動(dòng)性。再?gòu)臓顟B(tài)描述方式上區(qū)別： 經(jīng)典粒子的狀態(tài)用坐標(biāo)， 動(dòng)量等力學(xué)量來(lái)描述，在確定的狀態(tài)下， 體系的各種力學(xué)量都有確定值。 但微觀粒子由于具有波粒二象性， 它的狀態(tài)要用波函數(shù)來(lái)描

27、寫。而且在給定的狀態(tài)下，粒子的各種力學(xué)性質(zhì)一般并不是惟一確定。庫(kù)n .第二類：證明題41. 證明在定態(tài)下iEtr ,t r e幾率流密度矢量與時(shí)間無(wú)關(guān)。丄42. 證明在定態(tài)下，一維線諧振子在 x>0的區(qū)域的幾率等于2 .43. 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U (-x) =U (x).證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。44. 證明：厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)。45. 證明：動(dòng)量算符是厄米算符。46. 證明：當(dāng)氫原子處于基態(tài)時(shí)，電子與核的距離為r a°處幾率最大。47. 證明：如果兩算符有構(gòu)成完全系的本征函數(shù)系，則兩算符對(duì)易。48. 證明：如果兩算符對(duì)易，則兩算符有構(gòu)成完

28、全系的本征函數(shù)完全系。49. 證明對(duì)易關(guān)系I?2，G? F?F?,G? 冃&戸5°.利用對(duì)易關(guān)系 ？，' F?F?，G? F?，G?F?，證明角動(dòng)量算符，與?x,?y,?z均對(duì)易。證明題答案41.證:J幾率流密度矢量r,tiEte注意到算符丄Et與時(shí)間無(wú)關(guān),顯然J不含時(shí)間，故有則有dJdt42證：線諧振子的定態(tài)波函數(shù)為W則在全空間出現(xiàn)的總幾率為考慮到nN；e丄Et e丄Et丄Etr e 證畢。1Nne?x2HnX n X dX 11 2X22X NneHn X是實(shí)函數(shù),nXnX dXWx43.證:維勢(shì)場(chǎng)U則定態(tài)薛定格方程為:H x 竺 U X dx上式兩邊作反演，以-

29、X代替x則有,dx2由于哈密頓反演不變d2dx2所以方程變d2d? UN：e則哈密頓為2 2x Hnx dxx dxx dxd2dx2d2dx2與比較知，x ， x 都是體系的薛定格方程的定態(tài)波函數(shù)，對(duì)應(yīng)于同一 定態(tài)能量。按波函數(shù)的性質(zhì)它們相差一個(gè)常數(shù)將代入代右邊 得H?x E x將兩邊作反演得H? x E x將代入代右邊得2121當(dāng) 1時(shí)，有XX. 波函數(shù)具有奇宇稱。當(dāng) 1 時(shí)，有X X. 波函數(shù)具有偶宇稱。證畢。44. 證： 設(shè) F? 為厄米算符，是對(duì)應(yīng)于本征值入的本征函數(shù)，則有F?按厄米算符的定義，有F? dF?d其中是任意函數(shù)，取=，則有F d1?d利用則有dd變形為d0所以，有0即本

30、征值為實(shí)數(shù)。證畢45.證：對(duì)動(dòng)量算符的一個(gè)分量P，有P?x dx i一 dxxii dx P dxx證畢46.證:電子在半徑r到葉dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率是Wni r dr R： r r2dr所以電子在距核的距離為2r處的幾率密度是WnlrRnl2 r r132丄Rio r2e ao對(duì)基態(tài)ao132rWg r4r 2eao則幾率密度為ao134 2re2r2rao2aoo r e o2上式求導(dǎo)得Wo raoao3 2r1 瓦彳18 e r 1 ra°a。令W1O ro,得1O2ao4W1O max經(jīng)判定知r-O時(shí)幾率密度有極小值零，r - a。時(shí)有極大值.a°e47.證：

31、 設(shè)F?，C?有共同本征函數(shù)系n構(gòu)成完全系，則有F?n，n分別是F?，C?的本征值。所從，有設(shè) 為任意波函數(shù)，由于 n組成完全系，我們可以將 按n展開(kāi), an nn于是有F?G? G?F? nan F?G? G?F? n 0n因?yàn)?是任意波函數(shù)，所以F?G? G?F? 0即定理得證。48. 證：設(shè)n對(duì)易，F(xiàn)?的本征函數(shù)系n構(gòu)成完全系。F，G對(duì)易，二有F?G? G?F? ；?nG?F?nG?F?G?nG?n是F?的本征函數(shù)n相應(yīng)的本征值F?G?比, 知，G n，n都是F的本征函數(shù)，且屬于同一本征值n 。按照波函數(shù)的性質(zhì) G? n, n只相差一個(gè)常因子，設(shè)該因子為 n ，則有G? nnn正是算符G

32、的本征方程，n正好是（G的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值正好是n由此知 n 是 F?,G? 的共同本征函數(shù)。定理得證。49. 證：F?2,G?F?2G? G?F?2 F?F?G? G?F?F?F?F?G? F?G?F? F?G?F? G?F?F?F? F?G? G?F? F?G? G?F? F?F? F?, G?F?, G? F?證畢。50. 證： 以 L?x 為例，有L?2 , L?xL?2xL?2yL2z , L?xy z xL?2y , L?xyxL?2z , L?xL?y L?y , L?xL?y , L?x L?yL?zL?z , L?xL?z , L?x L?zi L?y L?zi L?z

33、L?y i L?zL?yi L?y L?z庫(kù)n .第三類：綜合計(jì)算題71. 粒子處于n=2的定態(tài)，試求粒子在無(wú)限深勢(shì)阱中幾率密度最大的的位置.72. 諧振子相鄰兩能級(jí)之差E 1eV，求出振動(dòng)頻率3及釋放光子的波長(zhǎng)入.73. 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。1 丄 P Et74.驗(yàn)證：各向同性的球面波r,t Ae滿足自由粒子的薛定格方程.r75.求球面波1- P r Etr,t A e的幾率密度和幾率流密度r76. 一維諧振子處于力場(chǎng)U x77. 一維諧振子處在基態(tài) X78. 氫原子處于基態(tài)r,1 2 2 2x2 Cx式中c為常數(shù)，求定態(tài)能級(jí)和波函數(shù)。212t求勢(shì)能的平均值2x2。7

34、9.設(shè)t=0時(shí)，體系的狀態(tài)為ra0求動(dòng)能的平均值。X A sin2kx -coskx，求體系的平均動(dòng)量和平均動(dòng)280.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為a，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)x Ax a x描寫，A為歸一化常數(shù)，求能量的幾率分布和能量平均值。71.解：當(dāng)n=2時(shí)，幾率密度二一$血 一= sin 一a a<T a=sin COS =0dr a a a所以有值。x=±二時(shí)，吧 有極大值。且極大值為1 . 3 7W sm .另外，從W;=-可直a接觀察出X=±二時(shí)，“；有極大值.72.解：根據(jù)E 1.6 10 39 J34 J s1.0510又因?yàn)楣庾硬ㄩL(zhǎng)c c2n代入數(shù)據(jù)可得入=12.37 X 一 丿 米=1237073.解：一維諧振子的第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)是1N1e 22x2H1 x，其中H122 x,N所以,1N1e 22x2H11xe22x2則諧振子處于第一激發(fā)態(tài)時(shí)的幾密度為2x2對(duì)幾率密度求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于零,2x2 2xe 2x2,經(jīng)判定知:時(shí),W有極小值,乃=±空,w有極大值,2d；74.解：直接代入方程運(yùn)算，自由粒子的薛定格方程是2 r,t 12rr sinsin1 12；2r sin由于波函數(shù)與r的項(xiàng)。r,t2A1e'PrrEt12r r-Ae' r rEt由于-