第六章布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型

1、第六章布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型一、阻礙期權(quán)價值的要緊因素由前面的分析明白決定期權(quán)價值（價格）匕.的因素是到期的 股票市場價格S,“和股票的執(zhí)行價格X。然而到期是未知的，它 的變化還要受價格趨勢和時刻價值等因素的阻礙。1）標的股票價格與股票執(zhí)行價格的阻礙。標的股票市場價格 越高，則買入期權(quán)的價值越高，賣出期權(quán)的價值越低；期權(quán)的執(zhí) 行價越高，則買入的期權(quán)價值越低，賣出期權(quán)的價值越高。2）標的股票價格變化范疇的阻礙。在標的股票價格變動范 疇增大的，盡管正反兩方面的阻礙都會增大，但由于期權(quán)持有者 只享受正向阻礙增大的好處，因此，期權(quán)的價值隨著標的股價變股票的價格由密度函數(shù)/）變?yōu)?（s2）, S>

2、;X的可能性增大， 買入期權(quán)的價值增大，對賣出期權(quán)的價值則相反。3）到期時刻距離的阻礙。距離愈長，股價變動的可能性愈 大。由于期權(quán)持有者只會在標的股價變動中受益，因此，距離期 權(quán)到期的時刻越長，期權(quán)的價值就越高。4）利率的阻礙。利率越高，則到期鼠的現(xiàn)值就越低，使得 買入期權(quán)價值提高，而賣出期權(quán)價值降低。5）現(xiàn)金股利的阻礙。股票期權(quán)受到股票分割或發(fā)放股票股 利的愛護，期權(quán)數(shù)量也適應調(diào)整，而不受阻礙，然而期權(quán)不受現(xiàn) 金股利的愛護，因此當股票的價格因公司發(fā)放現(xiàn)金股利而下降 時，買入期權(quán)的價值下降，賣出期權(quán)的價值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的假設條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權(quán)定價模

3、型，它的假定 條件，除了市場無摩擦（例如無稅、無交易成本、能夠無限制自 由借貸等）以外，還有：1. 股票價格是連續(xù)的隨機變量，因此股票能夠無限分割。2. T時期內(nèi)各時段的預期收益率匕和收益方差。"呆持 不變。3. 在任何時段股票的復利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布，即 在a-右時段內(nèi)有：因為股票的價格能夠用隨機過程6（=1,2,.表示，其中S（t） 表示第t日股票的價格，它是一個隨機變量.則第t日股票的收 益率（年收益率）為R而f = l +而股票的年收益率（單利）R應該是:"心咨2二犯也山 旦旦 與 5(0)S(0)S(l) 5(364)365365365為了簡化運算兩邊同時取自

4、然對數(shù)可得:365R/(1 + R) = Z"(1 +狀)/=i38設r,匕，士，=365為和R，R，艮，R365相對應的連續(xù)復利。則依照單復利之間的關系In(l+R)二r有： 365R1 365-=0(1 + 7?)=e。(1 +會)二7Z乙 1=13838 ,=同理，對任何時刻間隔T都有：,=陽出)£/(工)立5(0)T i=o S(f-1) 一丁£ '由中心極限定理知加(瑞)服從正態(tài)分布。即有:"(器)N(7,/t)式中，/分別為n的數(shù)學期望和方差令y=/(W 則.而 s(r)=s(o)g 進行簡單的變量替換，能夠求出s(T)的數(shù)學期望為：

5、1 9E(S(T) = S(0)exp(/T + -aT)關于股票的二叉樹定價來說，假如從e0時刻到廿T,時刻, 所分的時期數(shù)趨于無限大時，股票的價格也趨于對數(shù)正態(tài)分布。即股票的二叉樹定價和對數(shù)正態(tài)分布定價是一致的。因為二叉樹定價時股票的價格變化的規(guī)律是：S(t)按照概率gS(r-l) - J按照概率1-gH , S(r) , flnw按照概率q因此 , S"l)= nd按照概率 1 -q即E(;="二12，丁服從兩點分布且相互獨立因此1n/4 =力”(*)服從二項分布.當丁一i 二項 3(U)r=3(7 1)分布趨近于正態(tài)分布。即在一定的條件下，股票的二叉樹定價和 對數(shù)正

6、態(tài)分布定價是一致的。B-S定價模型是二叉樹定價模型的 極限式。三、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的直觀明白得作為無現(xiàn)金股利的歐式買權(quán)定價模式是：C = S0N(4)-Xe - "N(2)式中C是買權(quán)價格，S。是期初股票價格，N ( )是累計正態(tài) 分布函數(shù)，d唯,=7,d唯卜卜力& =/tJ=4 _ 3r為了更容易從經(jīng)濟意義上明白得B-S定價模型，我們能夠從 現(xiàn)實直觀的角度來作一些說明：已知 Cr = max(5r -X,0)式中為到期T時買權(quán)的價格，立為到期標的股票市場價格X為期權(quán)協(xié)定的執(zhí)行價格。則有 E(Cr) = Emax( ST -X,0)設到期的概率為P,現(xiàn)在max(Sr

7、X,O) = SrX則有E(Ct) = PE(St|5r > X)-X+(1 -P)X0= PxE(StSt>X)-X考慮到期初的期權(quán)合理定價等于成Cr)的現(xiàn)值而有C = e-n E(CQ=Pxe11 xE(StSt >X)-X (1)式中C:期初期權(quán)合理價格，r：無風險連續(xù)復利率，t到期時刻 長度 那個地點關鍵的問題，要找出P和E(SrST > X)的表達式。等價q yv x1) 由于P(S7>X) = P收益率>(”>) = 1 一月 子Yu二 AW=1-21這是由于正態(tài)分布的對稱性其中工服從對數(shù)正態(tài)分布一看服從對數(shù)正態(tài)分布(S。為常數(shù))ln(X)

8、服從正態(tài)分布。收益率平均為小, , = +二或S。2而且麗/是以年為基礎運算的，但期權(quán)通常不超一年。T為 分數(shù),應用代替麗內(nèi)即（一今7為新正態(tài)分布的期望值。b行為新分布的標準差。002)由于 EStSt >X = STf(ST)dST X其中76r）為對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)其中U為In+的均值，是In+的方差令In =S中注意到：S 一- f ese 后。Inx(S")2(S-“廠| X q.(S-w)2A，/dS = -=L- fe -kds = s/A 算后寸N)只同時，e2,22 =s。/qzT2ln(-) + (r + )r式中 d =尸,d, =d -CTy/ta-y/

9、t將以上運算結(jié)果代入（1）式，得C = N1d、) x e-,7 x Snen 7V 0)-X NS= SoN(4) XN(2)這便是有名的Black-Scholes期權(quán)定價公式。舉例：已知股票期初市價S。=50 ,協(xié)議執(zhí)行價x=45,距到期日時刻廿3個月=0.25年無風險利率 r=10%, cr2=0. 16, cr=0A則有:=0.7520嶺)+ (r + 令 ln(|) + (0.1 + 竽)x 0.25(y4t0.4x V0.25d2 = & -= 0.7520 - 0.4 x V025 = 0.5520查正態(tài)分布表:N(J1)=N(0. 7520)=0. 7740N(J2)=

10、N(0. 552)=0. 7095C = 5OxO.774O-45e,x0-25 x0.7095 = 7.56一樣地，期權(quán)交易市場上買入的價格即由B-S公式定價，假 如實際市場價格比運算的價值低，說明期權(quán)的價格被低估，存在 套利機會，能夠買入期權(quán)。四、B-S期權(quán)定價模型微分方程推導的差不多思路隨機方程（某變量以某種不確定的方式隨時刻變化）> 馬爾可夫過程（隨機過程變量的以后推測值只與該變量的當前值 有關，而與該變量的過去值無關時，該隨機過程稱為馬爾可夫過 程）>差不多維納過程（在，內(nèi)變量Z的變化滿足：業(yè)嚇£,其中，滿足標準正態(tài)分布N（0, 1）的一個隨機值。且 兩個不同的

11、4,AZ的值相互獨立）>一樣維納過程（變量 X防足：dx = cult + bdz = adt + byfKts ）如圖:伊騰過程(S遵循ITO過程,即有dS = (S,f)流+ b(S,f)c/Z變量G是S、t的函數(shù)，G=F(S, t),則G也是ITO過程，同時有:dG dG = (a +OS6G 1 d2Gvdt 2 OS2? dGb2)dt +bdZOS>股票價格的IT0過程(股價S的變動可用瞬時期望漂 移率為：”5,瞬時方差率為b2s2的ITO過程,B|J(JS = uSdt+aSdz »其中當股價的方差率恒為0時，貝IJ有dS = S，得5 = 5。,說明當方差率為0時，股價得單位時刻為的連續(xù)復利方式增長。五、關于對數(shù)正態(tài)分布我們差不多明白專門多獨立同分布的隨機變量之和趨于正 態(tài)分布。那么許多獨立同分布隨機變量的連乘積便服從于對數(shù)正 態(tài)分布，即n對數(shù)正態(tài)分布=lim n Xjn->oo i = 因為令y = lnx則y = lnx = lnf>,=NlnXj這是n個隨機變數(shù)之和，依照中心極 f=l/=1限定理，y趨于正態(tài)分布，如圖：設s° = ioo,每年增長10%則有對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)1Q0i110i12|1 200Xx = s°(i +