排列組合第一講分類(lèi)加法與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，可有n 類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1 種方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種方法，在第n 類(lèi)辦法中有mn種方法，則完成這件事情，共有N種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情需要經(jīng)過(guò)n 個(gè)步驟，缺一不可，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2 種不同的方法，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N種不同的方法區(qū)別與聯(lián)系分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，聯(lián)系：都涉及的不同方法的種數(shù)。區(qū)別：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與有關(guān)，各種方法，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與有關(guān)，各個(gè)步驟，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成.題型

2、一、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理例 1、 從 3 名女同學(xué)和2 名男同學(xué)中選1 人主持本班的某次主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為（）例 2、在所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)1. 若a，bN ，且 ab5，則在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)（a，b）共有 個(gè)2在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？例 3、 有不同的語(yǔ)文書(shū)9 本，不同的數(shù)學(xué)書(shū)7 本，不同的英語(yǔ)書(shū)5 本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書(shū)2 本，則不同的選法有（）A 21 種 B 315 種 C 143 種 D 153 種例 4、某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2 本， 同樣的集郵冊(cè)3 本， 從中取出4 本贈(zèng)送給4 位朋友，每位朋友一本，則

3、不同的贈(zèng)送方法共有（） A 4 種 B 10 種 C 18 種 D 20 種方法總結(jié)分類(lèi)時(shí)，首先要確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后進(jìn)行分類(lèi)；其次分類(lèi)時(shí)要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同種類(lèi)的兩種方法是不同的方法，只有滿(mǎn)足這些條件，才可以用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理【變式練習(xí)】1 某校開(kāi)設(shè)10 門(mén)課程供學(xué)生選修，其中A， B， C 三門(mén)由于上課時(shí)間相同，至多選一門(mén)學(xué)校規(guī)定，每位同學(xué)選修三門(mén)，則每位同學(xué)不同的選修方案種數(shù)是（）A 120 B 98 C 63 D 562 某電腦用戶(hù)計(jì)劃使用不超過(guò)500 元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60 元、 70 元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買(mǎi)3

4、個(gè)，元件至少買(mǎi)2 個(gè)，則不同的選購(gòu)方法有（）3 如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有 個(gè)4 由 0,1,2,3 這四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有（）A 238 個(gè) B 232 個(gè) C 174 個(gè) D 168 個(gè)例 5、在某種信息傳輸過(guò)程中，用4 個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字也許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0 和 1 ，則與信息0110 至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（ ）A 10.11 C【變式練習(xí)】1 為了應(yīng)對(duì)歐債危機(jī)，沃爾沃汽車(chē)公司決定從10 名辦公室工作人員中裁去4 人， 要求甲、乙二人不能全部裁

5、去，則不同的裁員方案的種數(shù)為2 在一塊并排的10 壟田地中，選擇二壟分別種植A、 B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、 B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有多少種。3 有 4 人各寫(xiě)一張賀卡，放在一起，然后每個(gè)人取一張不是自己寫(xiě)的賀卡，共有多少種不 同取法？題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理例 6、（ 1 ）四名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？（ 2）四名運(yùn)動(dòng)員參加三項(xiàng)比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，不同的報(bào)名方法有多少種？例 7、甲、 乙兩人從4 門(mén)課程中各選修2 門(mén)， 則甲、 乙所選的課程中恰有1 門(mén)相同的選法有 （）A 6 種 B 12 種 C 24 種 D 30 種例

6、 8、 用數(shù)字 2,3 組成四位數(shù)，且數(shù)字 2,3 至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有個(gè) （ 用數(shù)字作答） 方法總結(jié)此類(lèi)問(wèn)題，首先將完成這件事的過(guò)程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事簡(jiǎn)單說(shuō)使用分步計(jì)數(shù)原理【變式練習(xí)】1 從 1， 0， 1， 2 這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f( x) =ax2+bx+c 的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有個(gè) . (用數(shù)字作答)2 從集合 1 ， 2， 3，10中，選出由5 個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5 個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11 ，這樣的子集共有多少個(gè)?例 9、 由數(shù)字

7、1,2,3,4 ，(1) 可組成多少個(gè)3 位數(shù)；(2) 可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的3 位數(shù)；(3) 可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)例 10、(1)5 名學(xué)生從3 項(xiàng)體育項(xiàng)目中選擇參賽，若每名學(xué)生只能參加一項(xiàng)，則有多少種不同的參賽方法？( 2) 5 名學(xué)生爭(zhēng)奪3 項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能情況種數(shù)有多少？本題給出解決探究 2 解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)一定要明確研究的對(duì)象是什么？怎樣才能完成計(jì)數(shù)， 此類(lèi)問(wèn)題的一種方法：住店法1 十字路口來(lái)往的車(chē)輛，如果不允許回頭，共有種行車(chē)路線(xiàn).B.162 設(shè)集合M3，2，1,0,1,2 ，P(a，b) 是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，a，

8、bM，P可以表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？第二象限內(nèi)的多少個(gè)點(diǎn)？不在直線(xiàn)y x 上的多少個(gè)點(diǎn)？3 (1) 三封信投入到4個(gè)不同的信箱中，共有種投法(2) 動(dòng)物園的一個(gè)大籠子里，有4 只老虎，3 只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，問(wèn)老虎將羊吃光的情況有多少種？4 乘積展開(kāi)后共有多少項(xiàng)？本不同的書(shū)，任選3 本分給 3 位同學(xué)，每人1 本，有多少種不同的分法？考點(diǎn)三：分類(lèi)與分步綜合之簡(jiǎn)單的面的涂色問(wèn)題例 11 、 如圖，用5 種不同的顏色給圖中A、 B、 C、 D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？方法總結(jié)涂色問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是分類(lèi)與分步，一般是整體分步，分步

9、過(guò)程中若出現(xiàn)某一步需分情況說(shuō)明時(shí)還要進(jìn)行分類(lèi)涂色問(wèn)題通常沒(méi)有固定的方法可循，只能按照題目的實(shí)際情況，結(jié)合兩個(gè)基本原理和排列組合的知識(shí)靈活處理例 12 、圖為四棱錐P-ABCD，用四種不同的顏色涂四棱錐的各個(gè)面，每個(gè)面只用一種顏色涂，要求相鄰兩面不同色，有多少種涂法？1 如圖 , 要給地圖A、 B、 C、 D四個(gè)區(qū)域分別涂上3 種不同顏色中的某一種, 允許同一種顏色使用多次, 但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色, 不同的涂色方案有多少種？2如圖，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有 4 種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種 . （以數(shù)字作答）排數(shù)問(wèn)題例 13、

10、用 0,1,2,3,4 這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的：（ 1 ）銀行存折的四位密碼？（2）四位數(shù)？（3）四位奇數(shù)？（4）比2000 大的四位偶數(shù)？五、課后習(xí)題（40 分鐘，共50 分）一、選擇題（ 每小題 5 分，共 25 分 ）1. 如圖，A、 B、 C、 D 為四個(gè)村莊，要修筑三條公路，將這四個(gè)村莊連接起來(lái)，則不同的修筑方案共有（） A 8 種B 12 種 C 16 種D 20 種2. 如圖，用6 種不同的顏色把圖中A、 B、 C、 D四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（） A 400 種B 460 種C 480 種D 496 種3. 甲、 乙、 丙 3 位

11、志愿者安排在周一至周五的5 天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加并要求甲安排在另外兩位前面不同的安排方法共有（） A 20 種 B 30 種 C 40 種 D 60 種4. 高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠(chǎng)可自由選擇，甲工廠(chǎng)必須有班級(jí)要去，則不同的分配方案有（） A 16 種 B 18 種 C 37 種 D 48 種5. 4 位同學(xué)從甲、乙、 丙 3 門(mén)課程中選修1 門(mén)， 則恰有 2 人選修課程甲的不同選法有（） A 12 種 B 24 種 C 30 種 D 36 種二、填空題（ 每小題 5 分，共 10 分 ）6. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則報(bào)名方法的種數(shù)為 五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍（ 冠軍不并列） ，獲得冠軍的可能性有種7. 如圖所示