大學物理2-1第六章(振動與波)習題答案

1、習題六6-1 一輕彈簧在60N的拉力下伸長 30cm?，F把質量為4kg物體懸掛在該彈簧的下端， 并使之靜止，再把物體向下拉 10cm,然后釋放并開始計時。求： （1）物體的振動方程；（2）物體在平衡位置上方 5cm時彈簧對物體的拉力；（3）物體從第 一次越過平衡位置時刻起，到它運動到上方5cm處所需要的最短時間。解（1）取平衡位置為坐標原點，豎直向下為正方向,建立坐標系200N/m A 0.1m 30 10 2200 , 47.07rad/s設振動方程為x cos 7.07t故振動方程為x 0.1cos7.07tmx 0.10.1 0.1 cos(2)設此時彈簧對物體作用力為F,則F k x

2、k x0 xmg 40其中x00.2mk 200因而有F 200 0.2 0.0530N(3)設第一次越過平衡位置時刻為t1 ,則0 0.1cos7.07titi0.5 7.07第一次運動到上方 5cm處時刻為t2 ,則0.05 0.1cos7.07t2t22 . 3 7.07故所需最短時間為：t t2 t1 0.074s6-2 一質點在x軸上作諧振動，選取該質點向右運動通過點A時作為計時起點(t = 0),經過2s后質點第一次經過點 B,再經2s后，質點第二經過點 B,若已知該質點在 A B兩點具有相同的速率，且AB=10cm,求:(1)質點的振動方程：(1)質點在A點處的速率。1解由旋轉矢

3、量圖和|va 11vbi可知一T 4s2由于 T 8s,1/8s12/4(1)以AB的中點為坐標原點，x軸指向右方。t =0 時，x5 A cost=2s 時， x 5 Acos(2 ) Asin由以上二式得tan1一 . 一3因為在A點質點的速度大于零，所以4A x/cos 5.2cm所以，運動方程為：x 5.2 10 2 cos( t/4 3 /4) (SI)(2)速度為:dx 5-210 2 t 3、v - sin( 一)dt444t =2sd x vdt5.210 2 . / t 32 ,sin( ) 3.93 10 m/s4446-3 一質量為M的物體在光滑水平面上作諧振動， 振幅

4、為12cm,在距平衡位置 6cm處，速度為 24cm/s,求：(1) 周期T； (2)速度為12cm/s時的位移。解(1)設振動方程為x Acos t cm以 A 12cm、x 6cm、v 24cm s1 代入，得：6 12 cos t2412 sin t禾ij用 sin2 tcos2 t 1 則22624彳- 112124 33T 2 32.72s(2)以 v24cm s 1代入，得:解得:所以1212 sin t16.3 sinsin tcos tx 12 cos t121310.8cm,34.136-4解設振動方程為:x A cos t根據振動曲線可畫出旋轉矢量圖 由圖可得:5 t 2故

5、振動方程為x 10 cos cm1236-5 一質點沿x軸作簡諧振動，其角頻率10rad/s,試分別寫出以下兩種初始狀態(tài)的振動方程；(1)其初始位移x0=cm,初始速度Vo 75.0cm/s； (2)其初始位移x0 = cm, 初速度 v075.0cm/s。解設振動方程為x A cos 10t(1) 由題意得：7.5 Acos75 10Asin解得:4A=故振動方程為:x 10.6cos10t4 cm(2) 同法可得：x 10.6 cos 10t/4 cm6-6 一輕彈簧在60 N的拉力作用下可伸長30cm?，F將一物體懸掛在彈簧的下端并在它上面放一小物體，它們的總質量為4kg待其靜止后再把物體

6、向下拉10cm,然后釋放。問:(1)此小物體是停止在推動物體上面還是離開它(2)如果使放在振動物體上的小物體與振動物體分離，則振幅 A需滿足何 條件二者在何位置開始分離解(1)小物體停止在振動物體上不分離。(2)設在平衡位置彈簧伸長10 ,則kl0 MgnN 60又k200 N ml 0.3故10 Mg 4 9.8 0.196mk 200當小物體與振動物體分離時 kA kl0 Mg ,即A l0,故在平衡位置上方處開始分離。6-7 木板在水平面上作簡諧振動，振幅是12cm,在距平衡位置6cm處，速度是 24 cm/s。 如果一小物塊置于振動木 板上，由于靜摩擦力的作用，小物塊和木板一起運動（振

7、動頻率不變），當木板運動到最大位移處時，物塊正好開始在木板 上滑動，問物塊與木板之間的靜摩系數是多大解設振動方程為x 12 cos t則：v 12 sin t以 x=6cm v=24cm/s 代入得：6 12 cos t2412 sin t解得r r rad s3最大位移處:F ma mA由題意，知mg mA 2A 2 g 0.06536-8 兩根倔強系數分別為 K和k2的輕彈簧串接后，上端固定，下端與質量為 m的物體相連 結，組成振動系統。當物體被拉離平 衡位置而釋放時，物體是否作諧振動 若作諧振動，其周期是多少若將兩彈 簧并聯，其周期是多少解(1) 串接：物體處平衡位置時，兩彈簧分別伸長

8、X10、X20mg k2X20(1)klXi0k2X20(2)取平衡位置為坐標原點，坐標向下為正，令物體位移為X,兩彈簧再次伸長X1、x2 ,則F mgk2 x20x2由(1)知F k2 x2又k1 x1k2 x2(4)x1x2x(5)由(4) 、(5)得x2k1 xk1k2(6)將(6) 代入(3)得 Fklk2 xk1k2看作一個彈簧F kx所以k1k2kik2因此物體做簡諧振動，角頻率kik2 m k1k2周期m k1k2:kik2(2)并接：物體處于平衡位置時，mg Mx。 k2Xo取平衡位置為坐標原點，向下為正，令物體有位移X則F mg k1x1 k2x2式中Xi、X2分別為兩彈簧伸

9、長X1 X0 XX2 X0 X所以F mg k1 x0 x k2 x0 x將代入得Fk1 k2 x看作一個彈簧F kx所以k k1k2因此該系統的運動是簡諧振動。其角頻率因此周期T 2- 2mki6-9 在豎直平面內半徑為 R的一段光滑 圓弧軌道上放一小物體，使其靜上于軌道的最 低點，如圖所示。若觸動小物體，使其沿圓弧形軌道來回作小幅度運動，試證明：（1）此物體作諧振動；（2）振動周期T 2 jRTgo證明取最低點為平衡位置，物體與O點連線偏離OO 的角為 。（1）物體與O點連線偏離OO 角時，指向平衡位置的力mgRsin很小，故sin ,所以M mgR可見該力矩為指向平衡位置的線形回復力矩，

10、故物體作諧振 動。(2)由于 M JmR2 ddt2d2根據式有d虧gdt2R6-10 如圖所示，半徑為 R的圓環(huán)靜止于刀口點O上,令其在自身平面內作微小的擺動。(1)求其振動的周期；(2)求與其振動周期相等的單擺的長度。解(1)設圓環(huán)偏離角度為Rmgsin所以工 dt2J mR22mR2 dl dt2md2 2mR2Rmgsin Rmgd2dt2g2R0 所作振動為簡諧振動2R2 , g(2)等效單擺周期為T 2,g的擺長為2R。6-11 如圖所示，質量為 m半徑為R的半圓柱，可繞圓柱的軸線 O在重力作4R用下作微振動，已知半圓柱的質心在距軸 rc處，求其振3動周期。解0魏離中垂線角時指向中

11、間的力矩Mmgrcsinmgrc根據轉動定理mgrcJ其中J ImR222代入得 mg-mR2彳 032 dt2即*墨0所以8g3 RT j .38；6-12 測量液體阻尼系數的裝置如圖所示。若在空氣中測得振動頻率為1 ,在液體中測得振動頻率為中物體振動時的阻尼因子。解在空氣中振動方程為d_2x dt2在液體中振動方程d2x dt2dx kx 0dt m（為阻尼系數）對應的振動角頻率即所以6-13 一彈簧振子，當位移是振幅之半時，該振動系統的動能與總能量之比是多少位移為多大時，動能和勢能各占總能量之半解設振幅為A,彈簧倔強系數為k, 當 位 移 是 振 幅 之 半 時EkE總121AkA k

12、-2221 kA75%(2) 位移為x時，動能、勢能各占總能量的一半則有所以1kx221 kA6-14 一彈簧振子，彈簧的倔強系數k 25 N. m ,當物體以初動能和初勢能振動時，(1)求諧振動的振幅；(2)位移是多大時，勢能與動能相等(3)位移是振幅之半時，勢能是多 大解(1) 設振巾昌為A,由機械能守恒定律，得E kA2 2 0.2 0.6 0.8A 1.2 25 12 0.253m(2) 動能、勢能相等時有kx2 2 0.4因止匕x 0.179m(3) 位移為振幅一半時，勢能為E 1kx2 1k(A)2 1E 1 0.8 0.2J p 222446-15 如圖所示，有一水平彈簧振子，彈

13、簧的倔強系數k 24 N/m ,重物的質量為 m= 6 kg ,重物靜止在平衡位置上。設以一水平恒力F= 10 N向左作用于物體(無摩擦)，使之由平衡位置向左運動了m,此時撤去力F。當重物運動到左方最大位置時開始計時，求物體的振動方程。解以平衡位置為坐標原點，向右為正方向建立坐標系設振幅為A,由功能原理可得FS kA2 2因此 A 2FS k 122 10 0.05 24 1 2 0.204mkJ m 12 2 rad/s又因物體運動到左邊最大位移處開始計時，故初相為故得運動方程為x 0.204 cos 2tm6-16兩諧振動的振動方程分別為x1 5 10 2 cos 10t 3 4x2 6

14、10 2 cos10t 4 (SI)試求其合振動的振幅和初相位。解由振動合成公式，得22A A A22AA2 cos( 21 )27.81 102mA1 sin 1 A2 sin 2tan 11A1 cos 1 A2 cos 2結合矢量圖得0.471.48rad6-17 兩個同方向、同頻率的諧振動，其合振動的振幅為20cm ,合振動與第一個諧振動的相位差為/6。若第一個諧振動的振幅為10 .3 cm,求第二個諧振動的振幅及第一、二 兩諧振動的相位差。解由題意可畫出兩簡諧振動合成的矢AA2 A2 2 AlAcos10cm6易證A2 A2 A故第一、二兩振動的相位差為一26-18質量為的質點同時參

15、與兩個互相垂直的振動x 8.0 102 cost 3. 6y 6.0 10 2 cos t 33(S1)求：(1)質點的軌跡方程；(2)質點在任一位置所受的作 用力。解(1)y方向的振動可化為y 6.0 10 2 sin t 36消去三角函數部分可得質點的軌跡方程為0.082(2)由可得同理因此x 8.0 102 cost 36axay20.08cos t 3620.06cos t 33F ma maxi av jx y .2一m0.08cos(t )i930.06cos( 3t /6-19 一平面簡諧波沿 x軸正向傳播，振幅A= 10cm,圓頻率 7 rad/s,當t=時，x= 10cm處質

16、點的位移為零，速度沿負方向，此時x=20cm處質點的位移為，速度沿正方向。已知波長10cm,試寫出該波的波函數。解由已知得 A=,7 rad/s,波沿x軸正向傳播，故可設波函數為：xy 0.1 cos7 (t )mu當 t=1s 時，x=#, y=0m 故0 10 0.1 cos7 7 01u0.1v 0.7 sin 7 0u拓占0.1故有77 2k u2對t = , x=處，有0.20.05 0.1cos77 uv 0.7 sin7 7 02 0u一,0.2故有77 2k u3(2)(1)、(2)兩式k取相同的值的根據是 10cm由、(2)得u 0.84m/s0 一3故所求波函數為xy 0.

17、1cos7 (t -) - (SI)0.8436-20 簡諧波的周期 T二,波長 =10 m,振幅A= m。當t=0時刻，波源振動的位移恰好為正方向的最大值。若坐標原點與波源重合，且波沿Ox軸正向傳播；求：(1)此波的波函數，(2)七T/4時刻，xi/4處質點的位移；t2 T/2時刻，x,/4處質點的振動速度。1 一解(1)由已知條件 ,2,可設波函數為：y Acos2 ( t x) 0.1cos2 (2t x/10)由已知t=0, x=0時，y=故 0.1 0.1 cos 由此得0因而波函數為y 0.1cos4 (t x/20) (SI)(2) t1 T/4, x /4 處：y 0.1cos

18、4 (1/8 10/80) 0.1mt22, X2,4處，振動速度為V20.4 sin4 (t x/20)0.4 sin 4 (1/4 10/80)1.26m/s6-21平面簡諧波沿 Ox軸正向傳播，其振幅為 A,頻率為，波速為u。設t t時刻的波形曲線如圖所示。求:(3) x=0處質點的振動方程；(2)該波的波函數。解(1)設x=0處該質點的振動方程為：y Acos(2 t )由t t時波形和波速方向知，v 0, x= 0;t t時 2 t；2故2 t 2所以x=0處的振動方程為(2)該波的波函數為：y cos2 (t t x/u)6-22 根據如圖所示的平面簡諧波在t=0時刻的波形圖，試求

19、：(1)該波的 波函數；(2)點P處的振動方程。解由已知，得u 0.08m/s ,Tj u 0.4； 0.08(1)設波函數為y 0.04cos2 (t/5當t =0, x=0時，由圖知x 0, v 0因此一(或2/2(SI)I u O.Gfl.ra/i_ 6 M0.4 m5sx/0.4)/3, lx2y Acos2 (t t) /2 (SI)則波函數為y 0.04cos2 (t/5 x/0.4)/2 (SI)(4) 將 P 點坐標代入上式，得yp 0.04 cos(0.4 t 3 /2) (SI)6-23 已 知 一 簡 諧 平 面 波 的 波 函 數 為y Acos 4t 2x 。 (1)

20、 試求 t =時各波峰位置的坐標表示式，并計算此時離原點最近的一個波峰的位置，該波峰何時通過原點(2)畫出t = s時的波形曲線。解 (1) 波峰位置滿足條件4.2 4 2x 2k所以x k 8.4 k 0, 1, 2,顯然k=8 時， x 0.4，離坐標原點最近，設通過原點時刻為 t ，則4.2 4 20.4 4t 2 0所以t 4s(2) t=時的波形曲線x(m)6-24平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和，波速為u。設t = 0時的波形曲線如圖所示。(1)寫出該波的波函數；(2)求距點O分別為/8和3 /8兩處質點的振動方程；(3)求距點O分別為/8和32兩處質點在t =

21、 0時的振動速度。解(1)由圖知 一，故2波函數y Acos(2)Acos3r時AcossinVi t xsin82 -2sin 一4v1t xsinA sin波在6-25如圖所示為一平面簡諧t=0時刻的波形圖，試畫出點二 ZOm/i竺2s 20P處質點與點Q 處質點的振動曲線，然后寫出相應的振動方程。解u 20m/s,P處振動曲線振動方程yP0.20 COS t 一2(2) Q處的振動曲線振動方程 yQ 0.20cos t6-26 如圖所示為一平面簡諧波在設簡諧波的頻率為 250 Hz,且此時質點P的運動方向向下，求：（1）該波的 波函數；（2）在距點O為100m處質點 的振動方程與振動速度

22、表達式。解（1）250 Hz ,t=0時刻的波形圖。200m ,又因P點運動方向向下，則波向左傳播，設波函數為y A cos 2250tx200t =0, x=0 時 yAcos ,貝（J因Vo 0 ,所以?。ɑ蛴尚D矢量圖知故波函數為y Acos 2x250t x 2004(2) x=100m時,y Acos 2100 250t200，5Acos 500 t 一4500 Asin 2250t2004當 x=100m時,500 Asin500 t6-27 如圖所示，兩列波長均為的相干簡諧波分別通 過圖中的點Oi和。2。通過點Oi的簡諧波在M1M2平面反射后，與通過點。2簡諧波在點P相遇。假定波

23、在 M1M2平面反射時有半波損失，O1和O2兩點的振動方程分別為y10 Acos t 和 y20 Acos t ,且Qm mP 8 , O2P 3 ,求：兩列波分別在點 P引起的振動方程；（2）點P的合振動方程（假定波在傳播過程中無吸收）。解(1)y1P Acost 2 xiAcos tAcos ty2PA cosAcos t(2) y 合yipy2P A cos tA cos t 06-28 如圖所示，兩相干波源Si和S2之間的距離為d=30m,且波沿 Ox軸傳播時不衰減，x1=9m和x2=12m處的兩&點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點。求兩波的波長和兩波源間的最小相位差。Id 一解由題意得2

24、(12 9) 6 m21G ri) (2k 1)r2 r1 12m2 i (2k 1)2 (12ri)(2k 1)4 (k 0,1,因此（21）min6-29 在均勻媒質中，有兩列余弦波沿Ox軸傳播，波函數 分 別 為y1 Acos2 t x/和y2 2 A cos 2 t x/,試求Ox軸上合振幅最大與合振幅最小的那些點的位置。解合振幅最大點滿足的條件是2 t x 2 t x 2k一,r1 .可得x k k 0,1,2,2合振幅最小點滿足的條件是2tx 2tx2k 12k 14k 0,1,2,6-30 如圖所示，&和&為兩相干波源，相距/4, Si的相位比S2的相位超前 /2,若兩波在SS2

25、連線方向上的強度均為Io,且無吸收。問S1S2連線上在Si外側各點的合成波的強度如何又在S2外側各點的合成波的強度如何S1解以S1為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立坐標系。s外側，s、S2傳出的波函數為y1 Acos 2 t xy2 Acos 2 t x222tx.2txyi、y2振動方向相同，振幅相同，且反相，故合振幅為因此S2夕卜側,Si、S2傳出的波函數為yiA cos 2V2Acos 2合振巾高為2A,又因波強正比于 A2因此I 4I06-31兩波在一根很長的弦線上傳播，其波函數分別為2y1 4.00 10 cos 4x 24t32y24.00 10 cos 4x 24t3求：（1

26、）兩波的頻率、波長和波速； （2）兩波疊加后的波節(jié)位 置；（3）兩波疊加后的波腹位置。解（1）波動方程可寫作標準形式為2Xy1 4.00 10 2 cos2 4t 1.52Xy2 4.00 10 2 cos2 4t 1.5故 4 Hz ,1.5m, u 4 1.5 6 m/s（3）節(jié)點條件滿足xx2 4t 2 4t 2k 12k 11.531x - k k 0,1,2, m42 4 x(3)波腹條件滿足2 k1.53x - k k 0,1,2, m46-32 在彈性媒質中有一沿Ox軸正向傳播的平面波， 其波函數為y 0.01cos 4t x /3 (S1),若在*二處有一媒質分界面，且在分界面

27、處反射波有半波損失，波的強度不衰減。試寫出反射波的波函數。解x 5.00m處的振動方程y 0.01cos 4t 530.01cos 4t 3所以反射波波函數為y 0.01cos 4t 2 5.0 x 30.01 cos 4t6-33一 弦上 的駐 波方程為y 3.00 10 2 cos1.6 x cos550 t (S1)(1)若將此波視為兩列傳播方向相反的波疊加而成，求兩列波的振幅及波速；(2)求相鄰波節(jié)之間的距離，(2)求_3t 3.00 10 3s時，位于x=處質點的振動速度。解(1)因一一一 2 一2 x 2y 3.00 10 cos1.6 x cos550 t 2AcoscostT故

28、A 1.50 10 2 m2 x由于1.6 x 2550 t tT所以1.25m1.621550275s1.25 275 343.8 ms(2)相鄰波節(jié)間的距離1.25x 0.625 m22(3)y2v 3.00 10 2 550 cos1.6 x sin 550 tt故當 t 3.00 10 3s, x 0.625m 時v 3.00 10 2 550 cos 1.60.625 sin 550 3.00 106-34 一列橫波在繩索上傳播，其波函數為y10.05cos2 10.05 x 4 (SI)(1)現有另一列橫波(振幅也是m)與上述已知橫波在繩索上形成駐波。設這一橫波在 x=0處與已知橫波同相位，試寫出該波的波函數。(2)寫出繩索中的駐波方程，求出各波節(jié)的位置坐標表達式，并寫出離原點最近的四個波節(jié)的坐標數值。解(1)設反射波的波函數為:txV2 0.05cos2 (-) (SI)0.05 4因x = 0處與已知波的波函數相位相同，故0因而，波函數為(2)駐波方程波節(jié)處應有：即V2t x0.05cos2 (-)0.05 4y y y2 = 0.1 cos x cos40 t 2x 2k 1 m(k=0,