ch2極限與連續(xù)ppt課件

1、第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 2.1 2.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 2.2 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 2.3 2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 2.4 2.4 極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 2.5 2.5 極限存在性定理與兩個(gè)重要極限極限存在性定理與兩個(gè)重要極限 2.6 2.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 2.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n:2n:21n.u.u,u,u,unnn21項(xiàng)項(xiàng)稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般其中其中記作記作稱為數(shù)列稱為數(shù)列排列排列無(wú)窮多個(gè)數(shù)按下列順序無(wú)窮多個(gè)數(shù)按下列

2、順序定義定義;,)1( , 1 , 1, 11n :)1(1n ;,n)1(n,34,21, 21n :n)1(n1n :n1;,n1,31,21, 1數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)Nn),n( fun .nn)1(11n時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 . 1n)1(1u,n1nn無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng) 問(wèn)題問(wèn)題: : “無(wú)限接近意味著什么無(wú)限接近意味著什么? ?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它它. . 1unn1n1)1(1n 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察: :,1001給定給定,1001n1 由由,100n時(shí)時(shí)只只要要 ,10011u

3、n 有有,10001給定給定,1000n時(shí)時(shí)只只要要 ,100011un 有有,1000011un 有有,100001給定給定,10000n時(shí)時(shí)只要只要 , 0 給定給定,)1(Nn時(shí)時(shí)只要只要 .1un成立成立有有 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限, ,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. .注意：注意：;AuAu. 1nn的的無(wú)無(wú)限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式 .N. 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) x1u2u1Nu 3u幾何解釋幾何解釋:2Nu 2 A AA.)N(,)A,A(u,Nnn落落在在其其外外個(gè)個(gè)至至多多只只有有只只有有有有限限個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)都都落落在在所所有有的

4、的點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) :N定義定義 其中其中;:每一個(gè)或任給的每一個(gè)或任給的 .:至少有一個(gè)或存在至少有一個(gè)或存在 .Au,Nn, 0N, 0Aulimnnn 恒恒有有時(shí)時(shí)使使例例1 1. 1n)1(nlim1nn 證證明明證證1un 1n)1(n1n n1 , 0 任任給給,1un 要要,n1 只要只要,1n 或或所以所以, ,1N 取取,Nn時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) 1n)1(n1n就有就有. 1n)1(nlim1nn 即即例例2 2.Culim),C(Cunnn 證證明明為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)證證Cun CC ,成立成立 ,0 任任給給所以所以, ,0 ,n對(duì)對(duì)于于一一切切自自然然數(shù)數(shù).Culimnn 說(shuō)明說(shuō)明

5、: :常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù). .例例3 3. 1q, 0qlimnn 其其中中證證明明證證, 0 任任給給,q0unn ,lnqlnn ,qlnlnN 取取,Nn時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) ,0qn 就有就有. 0qlimnn , 0q 若若; 00limqlimnnn 則則, 1q0 若若,qlnlnn 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)的的極極限限二二、 x一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限.1x( 1x1x)x( f時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)）記記作作無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于當(dāng)當(dāng)觀

6、觀察察函函數(shù)數(shù) 1x)x( f xy012.1x1x1x)x( f2時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) 1x1x)x( f2 xy012;A)x( fA)x( f任任意意小小表表示示 .xxxx000的過(guò)程的過(guò)程表示表示 ,x0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn).xx0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)問(wèn)問(wèn)題題: :如如何何刻刻畫畫函函數(shù)數(shù))x( fy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,)x( f無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A. .xxxx00 時(shí)，時(shí)，約定：約定：x0 x 0 x 0 x定定義義 .A)x( f,xx0, 0, 00 恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0

7、 x0 xxyo注意：注意：;x)x(f. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)例例1. 21x1xlim21x 證明證明證證21x1xA)x( f2 0 任給任給, 只只要要取取,xx00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1x ,2)x( f 要要使使 21x1x2就有就有. 21x1xlim21x 單側(cè)極限單側(cè)極限: 0 x, 1x0 x, x1)x( f2設(shè)設(shè)兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分0 x0 x ,xx0從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近;xx0 記作記作,xx0從從右右側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近

8、近 0 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.A)x( f,xxx, 0, 000 恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.A)x( f,xxx, 0, 000 恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).A)0 x( fA)x( flim0 xx0 或或記記作作.A)0 x( fA)x( flim0 xx0 或或記作記作.A)0 x( f)0 x( fA)x( flim:00 xx0 定定理理.xxlim0 x不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證yx11 oxxlimxxlim0 x0 x左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)x( flim0 x不不存存在在例例2 2證證11)(lim0 xxxlimxxlim0

9、 x0 x11lim0 x.x(|x|xxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)）記作記作無(wú)限增大無(wú)限增大當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) 時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)的的極極限限二二、 x它是偶函數(shù)，圖形關(guān)于它是偶函數(shù)，圖形關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱.1;A)x( fA)x( f任任意意小小表表示示 .xXx的的過(guò)過(guò)程程表表示示 . 0 xxsin)x( f ,|x|無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng) 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)問(wèn)題題: :如如何何刻刻畫畫函函數(shù)數(shù))x( fy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中,)x( f無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A. 定義定義X .A)x( f,Xx, 0X, 0 恒恒

10、有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) A)x( flimxxxysin 幾何解釋幾何解釋: X X.2,Ay)x( fy,XxXx的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) Axxysin 例例3. 0 xxsinlimx 證明證明證證xxsin0 xxsin x1, 0 ,1X 取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0 xxsin . 0 xxsinlimx 故故:x情形情形.A)x( f,Xx, 0X, 0 恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)A)x( flimx :x情形情形A)x( flimx .A)x( f,Xx, 0X, 0 恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) A)x( fl

11、im:x定定理理.A)x( flimA)x( flimxx 且且xarctan)x( f 如如2xarctanlimx 2xarctanlimx 不不存存在在xarctanlimx 過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n xxxNNn Xx Xx Xx )x( fun、 A)x( f0 xx 0 xx0 0 xx 0 xx 0 xx00 xx0 過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )x( f A)x( fX Aun.x(|x|xxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)）記作記作無(wú)限增大無(wú)限增大當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) 2.3 2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量四、無(wú)窮大量四、

12、無(wú)窮大量一、無(wú)窮小量的概念一、無(wú)窮小量的概念二、無(wú)窮小量的性質(zhì)二、無(wú)窮小量的性質(zhì)三、無(wú)窮小量的比較三、無(wú)窮小量的比較定義定義: : 極限為零的變量稱為無(wú)窮小量極限為零的變量稱為無(wú)窮小量. .一、無(wú)窮小量的概念一、無(wú)窮小量的概念例如例如, , 0 xlim20 x .0 xx2時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù), 0 x1limx .xx1時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) , 0n)1(limnn .nn)1(n時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 , 0elimxx .xex時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) 注意：注意： （1 1定義中所稱極限，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限的各定義中所稱極

13、限，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限的各種情形；種情形；（4 4零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù). .（2 2無(wú)窮小需指明相應(yīng)的變化過(guò)程。如無(wú)窮小需指明相應(yīng)的變化過(guò)程。如（3 3無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量, ,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; ;,x1,x是是無(wú)無(wú)窮窮小小函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí) .x1,1x不是無(wú)窮小不是無(wú)窮小函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)但但 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證證 必要性必要性,A)x( flim0 xx 設(shè)設(shè),A)x( f)x( 令令，即即則則有有0)x(lim,| )x(|0 xx ).x(A)x( f 充分性充分性),x(A)x( f 設(shè)設(shè),xx)x

14、(0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中 | )x(|A)x( f |則則 定理定理 其中其中 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小. ),x(A)x( fA)x( flim0 xx )x(0 xx 此定理對(duì)函數(shù)極限的其它變化過(guò)程仍成立。此定理對(duì)函數(shù)極限的其它變化過(guò)程仍成立。時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng) |xx|0, 0, 00 |A)x( f |時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng) |xx|0, 0, 00 | )x(|。即即A)x( flim0 xx .)(11)(1A) 11(1111lim1111是無(wú)窮小時(shí)，當(dāng)，其中例：nnnunnnnnn以上定理表明：以上定理表明：“f(x)以以A為極限為極限” “f(x)與與A之差之差

15、f(x)-A為無(wú)窮小為無(wú)窮小”該定理在今后的討論證明中常會(huì)該定理在今后的討論證明中常會(huì)用到用到二、無(wú)窮小的性質(zhì)二、無(wú)窮小的性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證證時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使使得得, 0X, 0X, 021 ;2Xx1 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng);2Xx2 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),X,XmaxX21 取取恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Xx 22 )x(0 性質(zhì)性質(zhì)2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮小.恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),xx00 .,xx0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 時(shí)

16、的兩個(gè)無(wú)窮小時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè)0 xx 使使得得, 0, 0, 021 ;xx010 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),min21 取取證證;xx020 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.證證,u為為有有界界函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).Mu, 0M 使使得得則則,xx0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)又又設(shè)設(shè).Mxx0, 0, 00 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),xx00 uuMM , .u,xx0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x1arctanx,x1sinx,0 x,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無(wú)窮小。都是無(wú)窮小。,xxsin,x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 是無(wú)

17、窮小。是無(wú)窮小。性質(zhì)性質(zhì)4 無(wú)窮小除以極限存在且不為零的函數(shù)仍是無(wú)窮小無(wú)窮小除以極限存在且不為零的函數(shù)仍是無(wú)窮小.證證. 0Aulim, 0lim00 xxxx 設(shè)設(shè).2AAu,xx0, 0),2A(202 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)取取對(duì)上述對(duì)上述恒恒有有時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng),xx00 .u,xx0為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)不妨假設(shè)不妨假設(shè)A0.2A,xx0, 0, 0101 恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì).2A3u2A 即即有有,min21 取取 2A2Au三、無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮小的比較x3xlim20 xxx2lim0 x1xxxlim20 x .xx, x2 ,x, x0 x22都是無(wú)窮小都是無(wú)窮

18、小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 極限不同極限不同, ,反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不同快慢程度不同. ., 0 , 2 同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小趨于零的速度各不相同。同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小趨于零的速度各不相同。,0lim)1(高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比，就說(shuō)，就說(shuō)如果如果 定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過(guò)過(guò)程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)設(shè)設(shè)., 0Clim)2(是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與就就說(shuō)說(shuō)如如果果 ;, 1lim記記作作是是等等價(jià)價(jià)的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與則則稱稱如如果果特特殊殊地地， 是是或說(shuō)或說(shuō).低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小比比，0 x3xlim20 x ，2xx2lim0

19、x ;x3x0 x2高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小是比是比時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xx20 x 例如，例如，, 1xxxlim20 x . xxxxxx0 x22 ，即，即是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小與與時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)四、無(wú)窮大量四、無(wú)窮大量定義定義 在自變量的某一變化過(guò)程中，若函數(shù)在自變量的某一變化過(guò)程中，若函數(shù)f(x)的絕對(duì)值的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱無(wú)限增大，則稱f(x)為無(wú)窮大量為無(wú)窮大量,記作記作 )x( f)x( flim或或若在自變量的某一變化過(guò)程中，函數(shù)若在自變量的某一變化過(guò)程中，函數(shù)f(x) (-f(x)無(wú)限增大，無(wú)限增大，則稱則稱f(x)為正為正(負(fù)負(fù))無(wú)窮大量無(wú)

20、窮大量,記作記作 )x( flim)x( flim例如例如 x11lim,xlim,x1lim1x2x0 x注意：注意：（1無(wú)窮大量的定義對(duì)數(shù)列也適用無(wú)窮大量的定義對(duì)數(shù)列也適用;.)x( flim4認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ （3無(wú)窮大量是變量無(wú)窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（2 2無(wú)窮大量需指明相應(yīng)的變化過(guò)程。如無(wú)窮大量需指明相應(yīng)的變化過(guò)程。如,x1,0 x是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí).x1,1x不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大量量函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)但但 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小量無(wú)窮大量的倒

21、數(shù)為無(wú)窮小量; ;恒不為零恒不為零的無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量的無(wú)窮小量的倒數(shù)為無(wú)窮大量. .即即. 0)x( f1lim)x( flim ，則則若若.)x( f1lim, 0)x( f0)x( flim 則則，且且若若 2.4 2.4 極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則一、極限的性質(zhì)一、極限的性質(zhì)二、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的性質(zhì)一、極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1(唯一性唯一性) 若極限若極限limf(x)存在，則極限值唯一。存在，則極限值唯一。.BA,B)x( flim,A)x( flim00 xxxx 設(shè)設(shè)證證時(shí)，有時(shí)，有當(dāng)當(dāng)則則取取101|xx|0, 0,2AB .2

22、BA)x( f,2AB|A)x( f | 即即有有時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)202|xx|0, 0 .2BA)x( f,2AB|B)x( f | 即即有有 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)取取 |xx|0, 0,min021.2BA)x( f2BA)x( f 且且矛盾。故極限值唯一。矛盾。故極限值唯一。性質(zhì)性質(zhì)2(局部有界性局部有界性) 若極限若極限l i m f(x)存在，則存在，則f(x)在在x0的某空的某空心領(lǐng)域內(nèi)有界。心領(lǐng)域內(nèi)有界。0 xx 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)則則取取 |xx|0, 0, 101|A)x( f | A)x( flim0 xx 設(shè)設(shè)證證. 1A)x( f1A 即即有有.)x( fx0有界有界的空心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)

23、的空心領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)則在則在體會(huì)局部的含義，例如體會(huì)局部的含義，例如f(x)= 1/x在在0.001處局部有界處局部有界性質(zhì)性質(zhì)3(局部保號(hào)性局部保號(hào)性) 若極限若極限l i m f(x)=A,A0(或或A0(或或f(x)0)。0 xx 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)則則取取 |xx|0, 0,2A02A|A)x( f | . 0A)x( flim0 xx 設(shè)設(shè)證證. 02AA)x( f 即即有有同理可證同理可證A1/n2，但是，但是n時(shí)，二者極限相等時(shí)，二者極限相等二、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法則定理定理. 0B,BA)x(g)x( flim)3(;BA)x(g)x( flim)2(;BA)x(g

24、)x( flim)1(,B)x(glim,A)x( flim 其中其中則則設(shè)設(shè)證證.B)x(glim,A)x( flim . 0, 0.B)x(g,A)x( f 其其中中由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得)BA()x(g)x( f . 0.)1( 成立成立)BA()x(g)x( f AB)B)(A( )BA(. 0.)2(成立成立BA)x(g)x( f BABA )B(BAB . 0AB . 0B)B(B2 0)B(BAB .)3(成立成立推論推論1 1).x( flimc)x(cflim,c,)x( flim 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提

25、到極限記號(hào)外面.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2)x(falim)x(falim)x(falim)x(fa)x(fa)x(falim),n, 2 , 1i (a,)x(flimnn2211nn2211ii 則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果推論推論3 3)x(flim)x(flim)x(flim)x(f)x(f )x(flim),n, 2 , 1i ()x(flimn21n21i 則則存在存在如果如果推論推論4 4.)x( flim)x( flim,n,)x( flimnn 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在且且

26、不不為為零零如如果果推論推論5 5例例1 1.5x3x1xlim232x 求求解解)5x3x(lim22x 5limx3limxlim2x2x22x 5limxlim3)xlim(2x2x22x 52322 , 03 5x3x1xlim232x )5x3x(lim1limxlim22x2x32x .37 3123 解解)3x2x(lim21x , 0 商的法則不能用商的法則不能用)1x4(lim1x 又又, 03 1x43x2xlim21x . 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3x2x1x4lim21x 求求.3x2x1x4lim21x 解解例例3 3.3

27、x2x1xlim221x 求求.,1x分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí).1x后后再再求求極極限限因因子子先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)窮窮小小 )1x)(3x()1x)(1x(lim3x2x1xlim1x221x 3x1xlim1x .21 例例4 4.2xx22xlim2x 求求解解 x22x2xx22xx22xlim2x 原式原式 x22x2xx22xlim2x x22x1lim2x x2lim2xlim12x2x 41 例例5 5.1x4x75x3x2lim2323x 求求解解.,x分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) .,x3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮

28、窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用33x2323xx1x47x5x32lim1x4x75x3x2lim .72 .4323230 x4x7x3x2xlim要看清自變量變化趨勢(shì)要看清自變量變化趨勢(shì)例例6 6.6xx41xx2lim2324x 求求解解0 x1x42x6x1x4lim1xx26xx4lim4242x2423x 6xx41xx2lim2324x小結(jié)小結(jié): :為非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和和當(dāng)當(dāng)nm, 0b, 0a00 ,mn,mn, 0,mn,babxbxbaxaxalim00n1n1n0m1m1m0 x當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)21102n1005nnlim323n注意推廣到數(shù)列情形注意推廣

29、到數(shù)列情形例例7 7).nnn2n1(lim222n 求求解解是是無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí),n 2n222nnn21lim)nnn2n1(lim 2nn)1n(n21lim )n11(21limn .21 先變形再求極限先變形再求極限.極限為極限為0對(duì)嗎對(duì)嗎?.)(lim)(lim)()()(lim)(lim).()()()(0000000aufxfxxuxuxaufxfyxuufyuuxxxxuu則有，且，若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)與設(shè)替換定理復(fù)合函數(shù)的極限，變量定理：1limsinlim1sin2uxuxux例如：.)(lim)(lim)(lim)0()(lim)()(lim)(bxg

30、xgaxfxfbxgaaxf則有，設(shè)冪指函數(shù)的極限推論：baabxfxgxfxgxfxgxfxgaeeeeeexfbxglnln)(lnlim)(lim)(ln)(lim)(ln)()(ln)(limlim)(lim)(證明：21sin23)13(limnnn例如：)cos(sin21lim32xxxxxx例：)1 () 1 () 1 (0oOo正確解答：原極限0)cos(sinlim21lim32xxxxxxx錯(cuò)誤！錯(cuò)誤！2.5 2.5 極限存在性定理與兩個(gè)重要極限極限存在性定理與兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.

31、夾逼定理夾逼定理準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nny,x及及nz滿滿足足下下列列條條件件: : , azlim, aylim)2()3 , 2 , 1n(zxy)1(nnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axlimnn . . 證證, az, aynn使使得得, 0N, 0N, 021 ,ayNnn1 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),N,NmaxN21 取取恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn ,ayan 即即,azNnn2 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng),azan 上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立,azxyannn ,axn成立成立即即 . axlimnn 如如果果當(dāng)當(dāng))x(Ux00 ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí)

32、, ,有有 ,A)x(hlim,A)x(glim)2(),x(h)x( f)x(g)1()x(xx)x(xx00 那那末末)x( flim)x(xx0 存存在在, , 且且等等于于A. . 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限。上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限。例例1 1).nn12n11n1(lim222n 求求解解,1nnnn11n1nnn2222 n111limnnnlimn2n 又又, 1 2n2nn111lim1nnlim , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)nn12n11n1(lim222n x1x2x3x1nx nx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件

33、如果數(shù)列如果數(shù)列nx,xxxx1nn21 單調(diào)增加單調(diào)增加,xxxx1nn21 單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:A M), 2 , 1n(M|x|n 有界數(shù)列有界數(shù)列原則原則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. . 例例2 2.)n(333xn的極限存在的極限存在重根式重根式證明數(shù)列證明數(shù)列 證證,xxn1n 顯然顯然 ;xn是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的, 33x1 又又, 3xk 假定假定k1kx3x 33 , 3 ;xn是有界的是有界的.xlimnn存存在在 ,x3xn1n ,x3xn21n ),x3(limxlimnn21nn ,A3A2 2131A,2131A 解

34、解得得( (舍去舍去) ).2131xlimnn AC二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限(1)1xxsinlim0 x )2x0(, xAOB,O 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,ACxtan,ABx,BDxsin 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 xxxSSSOACOABOABtan2121sin21即：扇形, xtanxxsin , 1xxsinxcos 即即.0 x2也成立也成立上式對(duì)于上式對(duì)于 ,2x0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xcos10 2xsin22 2)2x(2 ,2x2 0)xcos1(lim0

35、xsinlim0 x0 x , 1xcoslim0 x , 11lim0 x 又又. 1xxsinlim0 x |x|sinx0有)2x(0準(zhǔn)備用夾逼定理注：注：xsinx，(x0)例例3 3.xxtanlim0 x求求解解xxcosxsinlim0 x 原式原式例例4 4.x5sinx2sinlim0 x求求解解x5x2x5x5sinx2x2sinlim0 x 原原式式.52 1xcos1xxsinlim0 x 注：注：xtanx，(x0)例例5 5.xxcos1lim20 x 求求解解220 xx2xsin2lim 原原式式220 x)2x(2xsinlim21 20 x)2x2xsin(

36、lim21 .21 注：注：1-cosxx2/2，(x0)2xxcos1 , xxtan, xxsin0 x2 時(shí)，時(shí)，則則，若在變化過(guò)程中，若在變化過(guò)程中，,lim,0 limlimlimlimlimlim例例6 6.x3sinxxsinxtanlim20 x 求求解解xcos1x3sinx)xcos1(xsinlim20 x 原原式式x3sinx)xcos1(xsinlim20 x 2xxcos1 , x3x3sin, xxsin0 x2 時(shí)，時(shí)， 323x3x3sinx,2xxcos1xsin 61x32xlim330 x 原原式式! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !0sinl

37、im20不適用于加減乘除，等價(jià)量替換求極限用于原極限xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1sin1lim1sin1lim1sinlim1sinlimsinlimsinlimsinlimsinlim0000100 不存在010 不存在(2)(2)e)x11(limxx nn)n11(x 設(shè)設(shè) 2n1! 2)1n(nn1! 1n1).n1n1()n21)(n11(!n1)n11(! 2111 nn1!n)1nn()1n(n ).1nn1()2n21)(1n11()!1n(1)1n1n1()2n21)(1n11(!n1)1n11(! 2111x1n 類似地類似地,xxn1n 顯

38、然顯然 ;xn是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的!n1! 2111xn 1n212111 1n213 , 3 ;xn是有界的是有界的.xlimnn存存在在 e)n11(limnn 記為記為)71828. 2e ( ,1x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 1xxx 有有,)x11()x11()x11()1x11()1x11(1xxxxx )x11(lim)x11(lim)x11(limxxx1xx 而而, e 1x1xxxx)1x11(lim)1x11(lim)1x11(lim , e . e)x11(limxx 準(zhǔn)備用夾逼定理準(zhǔn)備用夾逼定理, xt 令令ttxx)t11(lim)x11(lim tt)1t11(lim )1

39、t11()1t11(lim1tt . e e)x11(limxx ,x1t 令令ttx10 x)t11(lim)x1(lim . e e)x1(limx10 x e)x1(1limxxe)x1(limx10 x e)n1(1limnn型都是1例例7 7.)x11(limxx 求求解解1xx)x11(lim 1xx)x11(lim 原原式式.e1 例例8 8.)x2x3(limx2x 求求解解422xx)2x11()2x11(lim 原原式式.e2 2.2xx21limx2x.2xx21.xx2xxe)x21(1lim)x21(1lim)x2x3(limx)(2另解用乘除湊解用乘除湊解題更簡(jiǎn)單題

40、更簡(jiǎn)單 例例9 設(shè)一筆本金設(shè)一筆本金A0存入銀行存入銀行,年復(fù)利率為年復(fù)利率為r,在下列情況下在下列情況下,分別分別計(jì)算計(jì)算t年后的本利和：年后的本利和： a)一年結(jié)算一次；一年結(jié)算一次； b)一年分一年分n期計(jì)息期計(jì)息,每期利率按每期利率按r/n 計(jì)算；計(jì)算； c)銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息,此種計(jì)息方式稱為連續(xù)復(fù)利此種計(jì)息方式稱為連續(xù)復(fù)利. 解解 a) 一年結(jié)算一次時(shí)一年結(jié)算一次時(shí),一年后的本利和為一年后的本利和為A1=A0+ A0r=A0(1+r),第二年后的本利和為第二年后的本利和為A2= A1(1+r)= A0(1+r)2,依此遞推關(guān)系依此遞推關(guān)系, t年后

41、的年后的本利和為本利和為At= A0(1+r)t. 類似于連續(xù)復(fù)利問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型類似于連續(xù)復(fù)利問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,在研究人口增長(zhǎng)、林木生長(zhǎng)、在研究人口增長(zhǎng)、林木生長(zhǎng)、設(shè)備折舊等問(wèn)題時(shí)都會(huì)遇到設(shè)備折舊等問(wèn)題時(shí)都會(huì)遇到,具有重要的實(shí)際意義具有重要的實(shí)際意義. b) 一年結(jié)算一年結(jié)算n次次, t年共結(jié)算年共結(jié)算nt次次, 每期利率為每期利率為 ,則則t年后的本利年后的本利和為和為 t= A0(1+ )nt.nrAnr c)計(jì)算連續(xù)復(fù)利時(shí)計(jì)算連續(xù)復(fù)利時(shí), t年后的本利和年后的本利和 t 為為b)中結(jié)果中結(jié)果 t在在 時(shí)時(shí)的極限的極限AA nnt0ntnt)nr1(AlimAlimA rt0rtrnn0eA

42、)nr1(limA 2.6 2.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、變量的改變量一、變量的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的概念三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、變量的改變量一、變量的改變量.uuu).(uuuuuuuu01010110 記記作作或或增增量量的的改改變變量量變變量量稱稱為為之之差差與與初初值值終終值值，變變到到終終值值從從初初值值變變量量.)x( f)x( f)xx( f)x( f)x( fy000的的改改變變量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地， .xx,xxx),x(Ux,)x(U)x(

43、f0000的改變量的改變量在點(diǎn)在點(diǎn)稱為自變量稱為自變量?jī)?nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 20202000002xxx2x)xx()x( f)xx( fy,xxxx,x)x( f1 函數(shù)的改變量為函數(shù)的改變量為時(shí)時(shí)變化到變化到從從當(dāng)自變量當(dāng)自變量設(shè)設(shè)例例時(shí)時(shí)變變化化到到，即即自自變變量量從從當(dāng)當(dāng)2 . 222 . 0 x, 2x0 84. 02 . 02 . 022y2 時(shí)時(shí)變化到變化到，即自變量從，即自變量從當(dāng)當(dāng)8 . 122 . 0 x, 2x0 76. 0)2 . 0()2 . 0(22y2 二、連續(xù)函數(shù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的概念 定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義的某

44、領(lǐng)域內(nèi)有定義, ,如果當(dāng)自變量如果當(dāng)自變量的改變量的改變量 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)的改變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)的改變量 也趨向于零也趨向于零, ,即即 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)處連續(xù), ,稱稱 為為 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .x y ylim0 x 0)x( f)xx( f lim000 x )x( f0 x0 x)x( f0 x)x( fxy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 例例2 2.),(xsiny內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 證證),(x0 任取任取00 xsin)xxsin(y )2xxcos(2xsin

45、20 , 1)2xxcos(0 ,x2xsin2y 故故. 0y,0 x 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(xxsiny0都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 .),(xcosy內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)同同理理， 定義定義2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))x( f在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某領(lǐng)域內(nèi)有定義的某領(lǐng)域內(nèi)有定義, ,如果函數(shù)如果函數(shù))x( f在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處滿足處滿足 )x( f)x( flim0 xx0 則稱函數(shù)則稱函數(shù))x( f在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù). . ,xx0 x, xxx00 時(shí)時(shí)，令令 ),x( f)x( f)x( f)xx( fy000 0)x( f)x( f limylim0 x

46、x0 x0 )x( f)x( flim0 xx0 例例3 3.0 x, 0 x, 0, 0 x,x1sinx)x( f處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) 證證, 0 x1sinxlim0 x , 0)0( f 又又.0 x)x( f處連續(xù)處連續(xù)在在則函數(shù)則函數(shù) ),0( f)x( flim0 x ;x)x( f)x( f)x( flim),x( f)0 x( f,x, a()x( f00 xx0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱即即且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù) .x)x( fx)x( f00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù).x)x( f)x

47、( f)x( flim),x( f)0 x( f,)b,x)x( f00 xx0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱即即且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù) 例例4 4.0 x, 0 x, 2x, 0 x, 2x)x( f處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) 解解)2x(lim)x( flim0 x0 x 2 )2x(lim)x( flim0 x0 x 2 .0 x)x( f處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) 不存在。不存在。)x( flim0 x 如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù), ,則稱函則稱函數(shù)在在開區(qū)間數(shù)在在開區(qū)間(a,b)(a,

48、b)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .b, a)x( f,bx,ax,)b, a(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)處處并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .:x)x( f0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù);x)x( f)1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn);)x( flim)2(0 xx存在存在).x( f)x( flim)3(0 xx0 .)x( fx,0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足

49、如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn).)x( fx),0 x( f)0 x( f,x)x( f0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但右右極極限限都都存存在在處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果 . .處處的的左左、右右極極限限都都存存在在x x在在點(diǎn)點(diǎn)是是函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)且且函函數(shù)數(shù)若若x x0 00 0.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)除此以外的間斷點(diǎn)稱為除此以外的間斷點(diǎn)稱為.)f(xx0的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱.)x( fxx)x( f),x( fA)x( flim,x)x( f000 xx00的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)處

50、無(wú)定義則稱點(diǎn)處無(wú)定義則稱點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 躍間斷點(diǎn)。躍間斷點(diǎn)。又分為可去間斷點(diǎn)和跳又分為可去間斷點(diǎn)和跳第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn).非無(wú)窮型第二類間斷點(diǎn)非無(wú)窮型第二類間斷點(diǎn)又分為無(wú)窮型間斷點(diǎn)和又分為無(wú)窮型間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).xx)x( f00窮型間斷點(diǎn)窮型間斷點(diǎn)為無(wú)為無(wú)，則稱，則稱一個(gè)為一個(gè)為處的左右極限中至少有處的左右極限中至少有在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果 .間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)點(diǎn)稱為非無(wú)窮型第二類點(diǎn)稱為非無(wú)窮型第二類除此以外的第二類間斷除此以外的第二類間斷 , 1x, x11x, 1x0, 1,x2)x( foxy112xy 1xy2 . .為為函函數(shù)數(shù)的

51、的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1x 注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .例例4中，中，x=0示跳躍間斷點(diǎn)。示跳躍間斷點(diǎn)。., 0 x, x, 0 x,x1)x( f oxy, 0)00( f ,)00( f .1x間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類類無(wú)無(wú)窮窮型型 x1sin)x( f xy1sin .0 x點(diǎn)點(diǎn)為第二類非無(wú)窮型間斷為第二類非無(wú)窮型間斷 .斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間.x)0)x(g()x(g)x( f),x(g)x( f),x(g)x( f,x)x(g),x( f000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù) 例如例如,),(xcos, xsin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 .xcsc, xsec, xcot, xtan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算).x(lim f)u( f)x( flim,u)x(lim,u)u( f000 xx0 xx0 xx0 則有則有若若連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)