大連理工大學矩陣與數(shù)值分析上機作業(yè)

1、共享知識分享快樂大連理工大學矩陣與數(shù)值分析上機作業(yè)課程名稱：矩陣與數(shù)值分析研究生姓名：交作業(yè)日時間：2016年12月20日卑微如螃蟻、堅強似大象1*考慮計算給定向量的范數(shù)：愉入向量r = (ii,輸出|工111, |I應|H|QQ 請編制一個通用程序，并用你編制的程序計算如下向量的范數(shù)：=1<)> KX), 1IKK甚至更丸的泛計算其范數(shù)、你會發(fā)現(xiàn)什么結果？你能否修故你的程序使得計算結栗 相對精確呢？1.1 程序：Clear all;n=input('請輸入向量的長度n :') for i=1: n;v(i)=1/i；end丫仁門 orm(v,1)Y2=n orm(

2、v,2)Y3=no rm(v,i nf)1.2 結果n=10 Y1 =2.9290Y2 =1.2449Y3=1n=100 Y1 =5.1874Y2 =1.2787Y3=1n=1000 Y1 =7.4855Y2 =1.2822Y3=1N=10000 Y1 =9.7876Y2 =1.2825Y3=11.3 分析一范數(shù)逐漸遞增，隨著n的增加，范數(shù)的增加速度減??；二范數(shù)隨著n的增加，逐漸趨于定值，無群范數(shù)都是1.2 .考慮站=f(H)=吟空 其中定義=匕此時川眄是連續(xù)函瓠用此公式計算當工“J曠巴1曠詩時 的函數(shù)值，畫出圖像.另一方面考慮下面算法：d1 + 比if d = 1 thenk1y = lnr

3、f/(d-l)end if用此算法計茸m mo-叫呵時的函數(shù)色 畫出圖像“比較一下發(fā)生了什么？2.1 程序clear all;x(1)=-10a-15;dx=10A-18;L=2*10A3;for i=1:Ly1(i)=log(1+x(i)/x(i);d=1+x(i);if d = 1y2(i)=1 ；elsey2 =log(d)/(d-1);endx(i+1)=x(i)+dx;endx=x(1 :le ngth(x)-1);plot(x,y1,'r')；hold onplot(x,y2);2.2 結果2.3 分析紅色的曲線代表未考慮題中算法時的情況，如果考慮題中的算法則數(shù)值大

4、小始終為 這主要是由于大數(shù)加小數(shù)的原因。3 .首先編剖一個利用秦九匏算法計算一個多項式在給宣點的禹數(shù)值的通用程序”你的程序包括輸入多 頊式的系數(shù)以及給定點，輸出畫數(shù)值.利用你編制的程序計算-4608X2+ 230 牡-512p(j)= Q-2)B =x9_1>>zb + i 汝7 . 672JA + 201fijs-4032d +在丁二2邨域附ii的值.畫出0神廄1.95,20.5上的圖像.3.1 程序clear all ;A=1 -18 144 -672 2016-4032 5376 -4608 2304 -512; x=1.95:0.005:2.05;for i=1:le ng

5、th(x);y1(i)=f(A,x(i);y2(i)=(x(i)-2)7;endfigure(3);plot(x,y1);hold on;plot(x,y2, 'r')；F.m文件fun cti on y=f(A,x)y=A(i)；for i=2:le ngth(A); y=x*y+A(i);end ;3.2 結果第4題4 .編剖計鼻踣定擔陣力分祥和向血分解的通用程序T然焉用你編制的程序完 成下面兩個什算任 齊： 考慮10+ a 01-1 a * C_1 . -1 -1 1宜己取定上月即并計算b = 找焉f f 1你編制的年逸主元和列主元的C&ts消去法岸解該 方程俎，

6、記你計算出的解初L對八從5到30牯計計算孵的精度.對畀從斤到3(1計算其逆腿陣.4.1 程序 clear all ; n=input('請輸入向量的長度 n ： 1) A=2*eye(n)-tril(ones(n,n),0);for i=1:nA(i,n)=1; end n=length(A); L)=A; e=eye(n); for i=1 :n-1 max_data,max_index=max(abs(U(i:n,i); e0=eye(n);max_index=max_index+i-1;U=eO*U; e1=eye(n);for j=i+1 :n e1 (jJ)=-U(j,i)/

7、U(i,i); endU=e1*U;Pi=eO;%把變換矩陣存到P中Li=e1; e=e1 *e0*e; end for k=1 :n-2 Ldotk=Lk;for i=k+1:n-1Ldotk=Pi*Ldotk*Pi;end end Ldotn-1=Ln-1; LL=eye(n); PP=eye(n); for i=1:n-1PP=Pi*PP;LL=Ldoti*LL; endb=ones(n,2); b=e*b; % 解方程 x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/U(n,n); for i=n-1 :-1:1endX=UA-1*eA-1*eye( n);AN=X'%計算逆矩

8、陣result2 n-4,1=AN;result1 n-4,1=x;fprintf( '%d:n',n)fprintf( 1%d',AN);4.2結果n=51.0625-0.875-0.75-0.5-0.06250.06251.125-0.75-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1250.251.5-0.0625-0.0625-0.125-0.25-0.50.0625n=101.0625-0.875-0.75-0.5-0.06251.0625-0.875-0.75-0.50.06251.125-0.75-0.5-0.

9、06250.06251.125-0.75-0.50.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1251.25-0.50.0625-0.06250.125-0.1250.25-0.251.5-0.5-0.06250.06250.0625-0.06250.125-0.1250.25-0.251.5-0.51.06250.0625-0.8751.125-0.75-0.75-0.5-0.5-0.0625-0.06251.06250.0625-0.8751.125-0.75-0.75-0.5-0.50.06250.1251.25-0.5-0.06250.06250.1251.25-

10、0.50.0625-0.06250.125-0.1250.25-0.251.5-0.5-0.06250.06250.0625-0.06250.125-0.1250.25-0.251.5-0.5-0.0625-0.0625-0.0625-0.06250.0625-0.0625-0.0625-0.0625-0.06250.0625同樣的方法可以算出n=20,n=30時的結果,這里就不羅列了。第5題5.編制計算對稱正定陣的C加伽切分解的通用衽序，并用你編制的程序計昇，二優(yōu)其中川二 (呵)W即巴呵二士護可以曲你自己取豈對”從10到劉臉證程序的可綁性.5.1 程序clear all ;n=input(&

11、#39;請輸入向量的長度n ： 10至20')for i=1:nfor j=1 :na(ij)=1/(i+j-1)；endendfor j=1:nsum=0;for k=1 :j-1sum = sum + l(j,k)A2;endl(jj)=sqrt(a(jj)-sum);for i=j+1 :nsum=0;for k=1 :j-1sum =sum + l(i,k)*l(j,k);endl(ij)=(a(ij)-sum)/l(j,j)；endendb=ones(n,1);y=zeros(n,1);y(n)=b(n)/l(n,n);for i=n-1 >1:1y(i)=(b(i)-

12、l(i,:)*y)/l(i,i); end l=l'x=zeros(n,1);x(n)=y(n)/l(n,n);for i=n-1 >1:1x(i)=(y(i)-l(i,：)*x)/l(i,i);endfprintf('%dt' ,x);fprintf('n');5.2結果n=10n=11n=12n=13n=14n=15n=16n=17n=18n=19n=20-746517.83111493.4-11884558478355909497329749519377549445748685378885969341571897102094396994971

13、03068823.85.6.5.9.7.80.669820595.-35465847163411090-77484610-80547115-82914903-72327488-62111481-60010758-1.76915E-1.68795E089.95111920907690037946+ 11+11-15874441987554340-549934613.06265E+3.18327E+3.23484E+2.86169E+2.48062E+2.55037E+7.40163E+6.93865E+9775921212121212121212152439746-1.17236E7.93546

14、E+-5.20373E-5.40791 E-5.42806E-4.8713E+-4.26882E-4.65382E-1.3123E+-1.21156E43+1111+13+13+ 1313+13+1314+14-76184620 7.35352E+-6.11155E4.7524E+14.93812E+4.89563E+4.46792E+3.97243E+4.57473E+1.22E+151.11E+1504811+12414141414142.18036E+ -2.70378E 2.80302E+-2.94E+15 -6.68E+15 1.72E+151.63E+16 1.04E+16-2.6

15、2E+15 -2.72E+15 -2.66E+15 -2.48E+15 -2.25E+15 -2.72E+15 -6.64E+15 -5.98E+15-1.99261E 7.40507E+-1.83339E3.40E+16 3.53E+16 3.34E+16 3.52E+16 3.56E+16 4.28E+16 4.06E+16 3.77E+16+1112-3.52275E1.3792E+1-3.55E+16 -3.68E+16 -3.47E+16 -3.89E+16 -4.12E+16 -4.38E+16 -4.89E+15 -1.01 E+1630+127.135

16、65E+-5.87483E2.35E+16 2.44E+16 2.37E+16 2.73E+16 2.94E+16 2.40E+16 -1.64E+16 -5.28E+1511+131.08203E+-8.98E+15 -9.29E+15 -1.03E+16 -9.10E+15 -7.78E+15 -4.50E+15 -1.23E+16 -1.58E+16131.50E+15 1.55E+15 3.06E+152.17168E+ -7.94676E5.08E+15 7.29E+15-1.45E+15 3.84E+16 3.85E+1612+141.58892E+-2.50E+15 -2.19E

17、+15 -8.57E+15 -2.64E+16 -2.01 E+16144.80384E+ -3.1296E+1.48E+16 -8.62E+16-7.98E+1614142.304E+14 -9.01 E+15 1.40E+171.19E+171.99E+15 -8.07E+16 -6.35E+161.70E+16 1.09E+167.5453E+111+1213-3.70513E 6.12295E+ -8.11E+13 9.24E+159.59E+15 9.27E+15 8.90E+15 8.30E+15 1.04E+16 2.17E+16 1.94E+16+W 123.69292E+ -

18、8.64269E 1.51789E+-2.17E+16 -2.25E+16 -2.14E+16 -2.14E+16 -2.07E+16 -2.60E+16 -4.18E+16 -3.74E+1611+12146. . 1）編制程序應做/力其作用是對愉人的向量丁，輸出單位向量和使f2波力7二iaihh（2）編制Householder變換陣H = / - 2uuT 口心乘以力即“的雷寧次,注意*你的程序并不加戎的計昇 出/.考慮矩陣(1-1A- -2_7101 °23432C7T2凸 727 而 26.1 程序clearall ;A= 1234;-13 sqrt(2) sqrt(3);-

19、22 exp(1) pi;-sqrt(10)2-37;0275/2;U=f61(A(:,2);HA=f62(U,A);f.m文件fun cti on U=f61(x) e1=eye(le ngth(x)51);U=x-sig n(x(1 )*sqrt(dot(x,x)*e1;U=U./sqrt(dot(U,U);fun cti on HA=f62(U,A) HA=A-2*U*U*A;6.2結果-2.26491106454.7358408697.6958675462.2649110644.44E-16-0.321627306-1.9638167380.1766073764.44E-161.561

20、0545830.677680956-0.9856702844.44E-16-4.1572272464.5360883032.1766073764.44E-165.8427727540.036088303了,用/ac仍/代求解下面的方程組，輸出迭代每一步的課差I血一T,|:5xi* X14- 2X2 + 八3 一12 Jx,3=2一肚+ 4x2+ 15J: J= 107.1程序clear all ;max=1000;x(1,： )=1 2 3;for i=1 :maxx(i+1,1)=(-2+x(i,2)+3*x(i,3)/5;x(i+1,2)=(1+x(i,1)-4*x(i,3)/2;x(i+

21、1,3)=(10+3*x(i,1)-4*x(i,2)/15;err(i)=sqrt(dot(x(i+1 ,:)-x(i,:),x(i+1,:)-x(i,:);if (err(i) < 10A-6) break ;endendfigure ；plot(err);clear err;x(1,：)=1 2 3;for i=1 :maxx(i+1,1)=(-2+x(i,2)+3*x(i,3)/5;x(i+1,2)=(1 +x(i+1,1 )-4*x(i,3)/2;x(i+1,3)=(10+3*x(i+1,1)-4*x(i+1,2)/15;err(i)=sqrt(dot(x(i+1 ,:)-x(i

22、,:),x(i+1 ,:)-x(i,:);if (err(i)<10A-6) break ;endend hold on plot(err, Y);7.2結果誤差越來越小。第8題&取不同的初值用Netonit代以及弦裁法求方程T3-F2八+ 10x- 100 = 0的實根，列 表或者畫圖說明收斂 速度.8.1程序clear all ;max=100;X =1；for i=1 :maxx(i+1 )=x(i)-(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-100)/(3*x(iF2+4*x(i)+10);if (abs(x(i+1)-x(i)<10A-6)break ;e

23、ndendfigure(8)plot(x);clear x;x(1)=0;x(2)=1;for i=2:maxx(i+1 )=x(i)-(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-100)/(x(i)A3+2*x(i)A2+10*x(i)-(x (i-1)A3+2*x(i-1)A2+10*x(i-1)*(x(i)-x(i-1);if (abs(x(i+1)-x(i)<10A-6)break endendhold onplot(x, 'r');8.2 結果8.3 分析由計算結果可知，弦截法的收斂速度比牛頓法的收斂速度快。第9題9 用二分法求方程嚴cos x + 2 =

24、 0在區(qū)間0, 4TT上的所有根.9.1 程序clear all;f(0,4*pi);f.m文件fun cti on = f( l,r)if (r-l<10A-6)fprintf( '%g,',(r-l)/2+l);returnendif f9(l)*f9(r) < 0if f9(l+r)/2+l)*f9(l)< 0f(l,(l+r)/2+l)；endif f9(l+r)/2+l)*f9(r)< 0 f(l+r)/2+l,r);endendif f9(l)*f9(r) > 0f(l,d+r)/2+l);f(l+r)/2+lj)；end9.2 結果X

25、=4.71239、8.24668 > 17.6715 > 14.1372第10題ID.考慮函=sinfira?),彳 0,1,用等距節(jié)點作丁)的帕值.畫出插值多埼式以及人可的圖像， 觀察收線性.10.1程序clear all ;n=3; %節(jié)點個數(shù)Xj=0:1/n:1;y=si n( pi*Xj);for i=1: n+1f(i,D=y(i);endfor j=2: n+1for i=1: n-j+2;dx=(j-1)/n);endendfor i=1: n+1a(i)=f(1J)；endx=0:0.001:1;for i=1:1/0.001+1;y1(i)=si n(pi*x(i

26、);y2(i)=f10(a,Xj,x(i);endfigure(10);plot(x,y1, 'r');hold on; plot(x,y2J);10.2結果10.3分析有圖像可知插值函數(shù)的值已經很接近原函數(shù)的值了。第11題11 *對函數(shù)7E丘55,取不同的節(jié)點數(shù)趾觀Runge現(xiàn)象，用等距節(jié)點作lagra “少：桶值t11.1 程序clear all;n=input('請輸入n ： ') % n代表節(jié)點Xj=-5:1/n:5;Yj=1./(1.+Xj.A2);x=-5:0.01:5;for i=1:10/0.01+1;y1(i)=1/(1+x(i)A2);y2(

27、i)=f(Yj,XjJx(i);endfigure(11);plot(x,y1,'r')；hold on;plot(x,y2 11 )；f.m文件fun cti on y=f(Yj,Xj,x) y=o；for i=1 :le ngth(Yj)1=1；for j=1 :length(Xj) if i=j con ti nue endl=l*(x-Xj(j)/(Xj(i)-Xj(j); endy=y+Yj(i)*l;end11.2 結果從左往右n依次取1、2、3、411.3 分析隨著n的不斷增加，插值越來越接近真實值。第12題血令£5=£缸COS (7TX )，

28、考慮積分尸/ (忑)血.區(qū)閭分為50t 1。八200, 500, 1000等，分 別用更合樣形以及贊合引執(zhí)西皿赧分公式計算積分值*將散值積分的結呆與精確值比較，列表說明誤差的收斂性.12.1程序clear all;n=input('請輸入 n ： ') %n=50 100 200 500 1000 x=0:2*pi/n:2*pi;for i=1: n+1X=x(i);Y(i)=exp(3*X)*cos(pi*X);endY(1)=1； for i=1: nX=(x(i)+x(i+1)/2;Y2(i)=exp(3*X)*cos(pi*X);endT=(x( n+1 )-x(1 )

29、/(2* n)*(Y(1)+2*sum(Y(2: n) )+Y( n+1);S=(x( n+1 )-x(1 )/(6* n)*(Y(1 )+4*sum(Y2)+2*sum(Y(2: n)+Y( n+1);13.2結果50100T3.512534119493697e+073.520489119998542e+07S3.523140786833490e+073.523241623782247e+0720050010003.522553497836321e+073.523136936592422e+073.523220478232005e+073.523247916807637e+073.52324

30、8325445201e+073.523248335509114e+07第13題13,分別用2點，3點以及5點的伽喚型枳分公式計算如下定枳分:jr/ 2 sin x(2) / dr4 iJo 工13.1程序clear all;G2=f(1/sqrt(3)+f(-1/sqrt(3);G3=0.555555556*f(-0.7745966692)+0.555555556*f(+0.7745966692)+0.888888 88889*f(0);G5=0.2369268851 *f(-0.9061798459)+0.2369268851 *f(+0.9061798459)+.0.4786286705*f(-0.5384693101 )+0.4786286705*f(+0.5384693101)+. 0.568