第四節(jié)可用變量代換法求解的一階微分方程

1、第四節(jié)第四節(jié) 可用變量代換法求解的一可用變量代換法求解的一階微分方程階微分方程一、齊次方程一、齊次方程二、可化為齊次型的方程二、可化為齊次型的方程三、伯努利方程三、伯努利方程一、齊次方程一、齊次方程)(ddxyfxy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 令令,xuy 即即代入原方程代入原方程,得得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu .)(ddxuufxu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.定義定義xxuufud)(d 兩邊積分兩邊積分, , 得得 積分后再用積分后再用 代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解. .xy分離變量

2、，分離變量， ,ln)(d1xcuufu 得得,)(ucex 即即 ）（uufuu)(d)( ,代入代入將將xyu ,)(xycex 得通解得通解例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解.0dd)2(22 yxxyxy,)(22xyxyy 方程變形為方程變形為,xyu 令令,22uuuxu ,uxuy 則則代入原方程得代入原方程得分離變量分離變量, ,dd2xxuuu 兩邊積分兩邊積分, ,得得 ,dd111 xxuuu即即,lnln1lncxuu ,)1(cuux 即即故原方程的通解為故原方程的通解為.)(ycxyx 說明說明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方

3、程的解也是原方程的解, 但在但在 求解過程中丟失了求解過程中丟失了. . 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，則則udxduxy ,cosxdxudu sinln |,uxc sinln |.yxcx 微分方程的解為微分方程的解為解解1 1dy1dy1如如：.=.=dxx + ydxx + y解解,uyx 令令, 1dddd xuxy則則代入原式代入原式,11dduxu 分離變量法解得分離變量法解得,)1ln(cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(cyxy 11 yecxy或或另解另解.ddyxyx 方程

4、變形為方程變形為利用變量代換求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2cxxyxy 伯努利伯努利(bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 yxqyxpdxdy)()( )1 , 0( 方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.三、伯努利方程時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 解法解法: : 需

5、經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,1 yz令令，則則dxdyydxdz )1(),()(1xqyxpdxdyy ),()1()()1(xqzxpdxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得 1yz，得，得兩端除以兩端除以 y代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 cdxexqezydxxpdxxp .4dd2的通解的通解求方程求方程yxyxxy ,yz 令令,4dd22xzxxz ,22 cxxz解得解得.224 cxxy即即解解例例1五、小結(jié)五、小結(jié)1、齊次方程、齊次方程).(ddxyfxy 齊次方程的解法齊次方程的解法.xyu 令令2、可

6、化為齊次方程的方程、可化為齊次方程的方程.,kyyhxx 令令), 1 , 0()()(ddryxqyxpxy 1yz令令3、伯努利方程、伯努利方程伯努利方程的解法伯努利方程的解法六、幾點(diǎn)說明六、幾點(diǎn)說明:1、一階微分方程的類型較多、一階微分方程的類型較多 , 不同類型有不同不同類型有不同的解法的解法 , 因此首先要識別方程的類型因此首先要識別方程的類型 , 然后應(yīng)用然后應(yīng)用相應(yīng)的解法相應(yīng)的解法 . 2、有時所給的方程并非標(biāo)準(zhǔn)型、有時所給的方程并非標(biāo)準(zhǔn)型 , 應(yīng)把方程轉(zhuǎn)化應(yīng)把方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再求解為標(biāo)準(zhǔn)形式再求解 .思考題思考題方程方程)(d )()(2022xxyttyttyx 是否為齊次

7、方程是否為齊次方程?解解 方程兩邊同時對方程兩邊同時對 x 求導(dǎo)求導(dǎo):,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齊次方程齊次方程.)ln(dd2的通解的通解求方程求方程yxaxyxy 解解例1.令令,1 yz則方程變形為則方程變形為,lnddxaxzxz 其通解為其通解為 cxexaezxxxx d)ln(dd11將將1 yz . 1)ln(22 xacxy ,)ln(22xacx 代入代入, , 得原方程通解得原方程通解: : .0d)(d)(的通解的通解求微分方程求微分方程例例 yxxygxyxyf,xyu 令令,dddxyyxu 則則, 0dd)(d)(

8、xxyuxugxyuf, 0d)(d)()( uugxxuuguf, 0d)()()(d uugufuugxx.d)()()(|lncuugufuugx 通解為通解為解解一一、 求求下下列列齊齊次次方方程程的的通通解解: : 1 1、0dd)(22 yxyxyx； 2 2、0d)1(2d)21( yyxexeyxyx. . 二二、 求求下下列列齊齊次次方方程程滿滿足足所所給給初初始始條條件件的的特特解解: : 1 1、1, 0d2d)3(022 xyxxyyxy； 2 2、,0d)2(d)2(2222 yxxyyxyxyx 11 xy . . 三三、化化下下列列方方程程為為齊齊次次方方程程, ,并并求求出出通通解解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0d)642(d)352( yyxxyx. . 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題