概率統(tǒng)計(jì)公式大全

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合 公式Pmn 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(m n)!nm!Cm 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(m n)!(2)加法和乘 法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由 n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mx n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n種方法來(lái)完成，則這件事可由mx n種方法來(lái)完成。(3)一些常見(jiàn) 排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序) 對(duì)立事件(至少有一個(gè)) 順序問(wèn)題(4)隨機(jī)

2、試驗(yàn) 和隨機(jī)事 件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件卜XJ以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)， 但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試 驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、 樣本空間 和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A, B, C,表示事件，它們是的子集。為必

3、然事件，?為/、可能事件。不可能事件(？)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān) 系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，(A發(fā)生必啟事件B發(fā)生)： A B如果同時(shí)有 A B, B A,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B： A=B,A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：A B,或者AR A B=，則表示 A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A

4、與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸?。 -A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對(duì)立事件，記為 A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)AiAi _ _ _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB概率的公 理化定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿 足卜列三個(gè)條件：1° 0WP(A)W1,2 P( Q) =130對(duì)于兩兩互不才目容的事件A, A2,有PA

5、iP(Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型1o1, 2n，12 P( 1) P( 2)P( n) 一。n設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= P( 1)( 2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)mA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A,P(A) -()0其中L為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積) 。L()(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A

6、B)當(dāng) P(AB)=0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=時(shí),P( B )=1- P(B)(條件概率定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且 P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如：P( Q /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A) P(B)P(A/B)更一般地，對(duì)事件 A, Aa,A,若P(A1

7、A2An-1)>0 ,則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An| A1A2 An 1) / o(14)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)P(A)P(B),則稱事件a、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) 0,則有P(B|A)迪 P(A)P(B) P(B) P(A)P(A)若事件A, B相互獨(dú)立，則可得到 入與B, A與B ,入與后也都相互獨(dú) 立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立。與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A, B, C是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P

8、(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。(15)全概率公 式設(shè)事件B1，B2，Bn滿足1。B1,B2, ,Bn相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i 1J,則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P( A | Bn)。(16)貝葉斯公式(用于求 后驗(yàn)概率)設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足1° B1, B2,，Bn兩兩互/、相容,P(Bi)>0, i 1,2,，n,nABi2i1 ，且 P(A)。，則d 、P(Bi)P(A/Bi

9、)P(Bi / A) , i=1 , 2,n。P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i 1 , 2,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bj/A),(i 1,2,， n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了 “由果溯因”的推斷。(17)我們作了門(mén)次試驗(yàn)，且滿足伯努利概 型每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互/、影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn) a發(fā)生的概率，則 a發(fā)生的概率為1 p

10、 q,用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中 A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，c / 1 k k _ k n kPn(k) Cnp qk 0,1,2, ,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨 機(jī)變量的 分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的可能取值為 X(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事 件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=p k, k=1,2,，則稱上式為窗放型隨機(jī)變重X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：X x1,x2, ,xk,P(Xxk) p1, p2, pk,o顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1o(2)連續(xù)型隨 機(jī)變量的 分布密度設(shè)

11、F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有 xF(x)f(x)dx ?則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個(gè)性質(zhì)：1。 f(x) 0,f(x)dx 1乙,乂23 P(x1 X x2)f (x)dx ,x14。若f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F'(x) f(x)。(3)離散與連 續(xù)型隨機(jī) 變量的關(guān) 系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X xk) pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)

12、，則函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F(a) 可以彳#到 X落入?yún)^(qū)間(a, b的概率。分布函數(shù)F (x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8, x的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°0 F(x) 1,x;2 F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，即 xi x2時(shí)，有 F(xi) F(x2)；3 F( ) lim F(x) 0,F( ) lim F(x) 1;xx4 。 F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5° P(X x) F(x) F(x 0)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk ；xk xx對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(

13、x)f(x)dx 。0-1分布即 B(1,p)P(X=1)=p, P(X=0)=q(5)八大分布二項(xiàng)分布即 B(n,p)在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為 p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為 X ,則X可能取值為0,1,2, ,n。_ k k n kP(X k) Pn(k) Cnp q,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布。記為X B(n,p)。當(dāng) n 1 時(shí)，P(X k)pkq1 k, k 0.1,這就是 0-1 分布，所以0-1分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布 即P()設(shè)隨機(jī)變重P(X則稱隨機(jī)£者P()泊松分布置X

14、的分布律為kk) e ,0k!芝量X服從參數(shù)為的k = 0,1泊松分布,2，記為 X ()或3是二項(xiàng)分布的電鄴艮分布(np=入,n一8)o超幾何分布CM?CnM k 0,1,2 ,l P(X k) nN-M, CNl min(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為 H(n,N,M)。幾何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落，一 1上為常數(shù)，即b a，af(x) b a, 0,則稱隨機(jī)變量X在a, 分布函數(shù)為x<F(x)f (x)dx當(dāng) aWxyxzWb

15、 時(shí)，X春x2P(x1X x2)2b在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a, b< x< b其他，b上服從均勻分布，記為XU(a, b) o/ 0,x<a,x a , b aawxwbi 1,x>b。M在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為Xi o a精品資料指數(shù)分布xe e ,x 0,f(x)<n0,x 0,其中0,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為廠(X一1 e ,X 0,F(x) 100 0,x<0。記住積分公式：xne xdx n!0正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為1 Hf(x) -e 2,x，2其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 、

16、的2正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為 X N ( ,)。f(x)具有如下性質(zhì)：1 。 f(x)的圖形是關(guān)于x對(duì)稱的；12 當(dāng)x 時(shí)，f( )為最大值；22V _ M /2若X N( ，)，則X的分布函數(shù)為.。)21xc 2F(x)e 2 dt*2參數(shù)°、1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為X N(0，1),其密度函數(shù)記為(x)/e 222x x)分布函數(shù)為1 x 二(x) n= e 2 dt。皿2(x)是不可積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x) =1-(x) 且 (0) =1/22X如果 XN( ,)，則N(0,1)。P(x1 X x2)。(6) 分位數(shù)下分位表：P(

17、X)=;上分位表：P( X)=。函數(shù)分布離散型已知X的分布列為Xx1, x2, xn,P(X xi) p1, p2, pn,Y g(X)的分布列(yi g(xi)互不相等)如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),P(丫 yi) p1,p2, pn,若用某些g(xi)相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的 pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) <y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布如果二維隨機(jī)向量=(X, Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x,y ),則稱為離散型隨機(jī)向量。設(shè) 二(X,

18、Y)的所有可能取值為(xi»)。/ 1,2,),且事件 =(Xi, yj) 的概率為pj,稱P(X,Y) (xi,yj) pij(i,j 1,2,)為 二(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分(1)聯(lián)合分布離散型(1) pj >0 (i,j=1,2,)；(2) Pj1.對(duì)于二維隨機(jī)向量 (X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)( x , y ),使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D,即D=(X,Y)a<x<b,c<y<d 有P(X,Y) D f(x,y)dxdy,連續(xù)型D則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=(X,

19、 Y)的分布密度或稱為X和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：(1) f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二維隨機(jī) 變量的本質(zhì)(X x,Y y) (X x Y y)(3)聯(lián)合分布 函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)向量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) PX x,Y y稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù) F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x,y) 1;(2)

20、 F (x,y )分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng) x2>x1 時(shí),有 F (x2,y) > F(x 1,y);當(dāng) y2>y1 時(shí),有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,)F( , y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對(duì)于 x1 x2, y1 y2,F(x2, y) F(x2, y1) F(x1，、2)F(x，y1) 0.(4)離散型與 連續(xù)型的 關(guān)系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x,

21、y)dxdy(5)邊緣分布 密度離散型X的邊緣分布為Pi?P(Xxi)Pj(i,j1,2,)；Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i, j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為fX (x)f(x, y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f(x, y)dx.(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PjP(Y yj |X x。；Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PijP(X Xi |Y yj),P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y) f(x,y)； fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)3 fX (x)獨(dú)立性一般型

22、F(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型Pij Pi?P?j后零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：聯(lián)合概率密度函數(shù)可分離交量。正概率密度區(qū)間為矩形。二維正 態(tài)分布221 x 12 (x 1 )(y 2) y 212(12 )11 22f(x，y),r e，212 V1其中1，2, 10, 20,| 1是5個(gè)參數(shù)隨機(jī)變量 的函數(shù)若X1,X2，X叫Xm+1,X4目互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則： h (X1, X2,兒)和g (Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。(9)

23、二維 正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為 221x 12 (x i)(y2) y 21 2(12)11 22f(x, y) =re,2 12M2其中1，2, 10，20,11 1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, 口服從二維正態(tài)分布，記為(X, Y)N ( 1，2, 12, 2,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分 布，X-N( 1, 12),yn( 2, 2).但是，若XN( 1, 12),YN( 2, 2), (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)關(guān)于隨機(jī) 變量的函 數(shù)的分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：FZ(z) P(Z z) P(X Y z)對(duì)于連續(xù)型，f

24、z(z) = f (x, z x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12, 122)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。_2_ 22Ci i ,Ci iZ=max,min(X1,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x) F/(x),則 Z=max, min(X 1,X2,必)的分布 函數(shù)為：Fmax (x)Fx1(x) Fx2 (x)Fxn(x)Fmin (x) 1 1Fxi(x)1 Fx2(x)1 F%(x)2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi, X 2, X n相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n 2 WXii 1的

25、分布密度為1n 1 u-u2 e 2 u 0,f(u) 22 n 2Qu 0.我們稱隨機(jī)變量 W艮從自由度為n的2分布，記為 M 2(n), 其中nn in2 _ xx2 e dx.20所謂自由度是指獨(dú)立止態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)Yi2(n)則k r、，2，、ZYi (ni n2nk).i 1t分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X N(0,1),Y 2(n),可以證明函數(shù)T號(hào)VY/ n的概率密度為n 1n 12t2 丁f(t)21 t(t)./nn、n一2我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布，記為T(mén)t(n)。L (n) t (n)F

26、分布設(shè)X 2(njY 2伯2),且X與丫獨(dú)立，可以證明l X /%F 的概率密度函數(shù)為Y/n2n1 n2nini n22ni 2 3 ni2八f(v)y 1y，y 0f(y)n1n2n2n2220,y 0我們稱隨機(jī)變量F服從A個(gè)自由度為 ni,第二個(gè)自由度為 n2的F分布，記為 Ff(n i, n 2).L ，、iFi (ni,n2)F (n2, ni)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望(期望就是平均值)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分 布律為 P( X xk ) = pk, k=i,2,n ,nE(X)XkPkk i(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密 度為f(x),E(X) xf

27、 (x)dx(要求絕對(duì)收斂)(1)一 維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征一維隨機(jī)變量的函數(shù)的期 望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y) g(x)f (x)dx力差D(X尸EX-E(X): 標(biāo)準(zhǔn)差(X) D(Xx),_2D(X)Xk E(X) pkk2D(X) x E(X)2 f (x)dx矩對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k 階原點(diǎn)矩，記為Vk,即V k=E(Xk)=XikPi ,k=1,2,.對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 與E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k ,即kk E(X E(X).=(Xi E(X)kPi ,k=1,2,.對(duì)

28、于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的 k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點(diǎn) 矩，記為Vk,即kkvk=E(X)=x f (x)dx,k=1,2,對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與 E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階中心矩，記為k ,即k E(X E(X)k .k=(x E(X) f(x)dx,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E (X)=小 方差D(X) =/,則對(duì)于任 意正數(shù)£ ,后卜列切比雪夫不等式2P(X |)切比雪夫不等式給出了在 未知X的分布的情況下，對(duì)概率P(X)的一種估計(jì)，它在理論上啟重要忌義。(2) 期望 的性 質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)nn(

29、3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E( GXi)CiE(Xi)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0 ; E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a2D(X); E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X± Y尸D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無(wú)

30、條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無(wú)條件成立。(4) 常見(jiàn) 分布 的期 望和 力差期望力差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二項(xiàng)分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G(p)1 p1 p2 p超幾何分布H (n,M , N)nMNnMM N n1NN N 1均勻分布U(a,b)a b2(b a)212指數(shù)分布e()112止態(tài)分布N ( , 2)22分布n2nt分布0n / c、 (n>2)n 2期望nE(X)XiPi?i 1nE(Y)yjP?jj iE(X)xfX(x)dxE(Y)yfY (y)dy二維隨機(jī)變量的函數(shù) 的期望EG(X,Y) =EG(

31、X,Y) =(5)二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征G(Xi,yj)pjG(x,y)f (x, y)dxdy、.、.廣. 力左_2D(X)XiE(X) Pi?2D(Y)Xj E(Y)2p?jD(X)x E(X)2fx(x)dxD(Y)y E(Y)2fY(y)dy協(xié)力差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩ii為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為 xy或cov(X,Y),即xy ii E(X E(X)(Y E(Y). = E(XY)- E(X)E(Y)與記號(hào)XY相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D (X)與D (Y)也可分別記為 XX與YY 0協(xié)方差矩陣對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果D (X) >0, D(Y)&

32、gt;0 ,則稱XYXYD(X). D(Y)為X與Y的相關(guān)系數(shù)，XY有時(shí)可簡(jiǎn)記為，且| |01當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：P(X aY b) 1定全相關(guān)正相關(guān)，當(dāng) 1時(shí)(a 0),兀王伯大負(fù)相關(guān)，當(dāng) i時(shí)g 0),而當(dāng) 0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).XX XYYX YY對(duì)于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為h； k+l階混合中心矩記 為：Uki E(X E(X)、(Y E(Y),(6) 協(xié)方

33、差的 性質(zhì)(i ) cov (X, Y) = cov(Y, X);(ii) cov(aX, bY) = abcov(X, Y);(iii) cov(X 1+X2, Y) = cov(X 1, Y)+cov(X 2, Y);(iv) cov(X, Y) = E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立 和不 相關(guān)(i )若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則 xy 0；反之不成立。(ii)若(X,Y)-N ( 1, 2則X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量Xi, X 相互獨(dú)立，均具有有限方差，即 D(X) <C(i=1,2,)，則對(duì)于任意e > 0,有1n 1 nli

34、m P Xi - E(Xi)1.n n i 1 n i 1特殊情形：若X, %,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)二仙，則上式成為1 nlim P - Xi1.nn設(shè)仙是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)e ,有(1)大數(shù)定律X伯 努 利 大 數(shù) 止 律lim Pn1.伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n很大時(shí)，事件A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即lim P p 0. nn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛設(shè)X, X ，X,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，欽且E (X)二仙，則對(duì)于任意的正數(shù)e有大1 n數(shù)lim P 1 Xi1.止

35、nn i 1律設(shè)隨機(jī)變量 X, X,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk),D(Xk)2 0(k 1,2,)，則隨機(jī)變量(2)林中心極限定理德2伯X N(,)格n一列維止理Xk、/k 1nx,有的分布函數(shù)Yn一、nFn(X)對(duì)任意的實(shí)數(shù)nXk n(t2.1 xlim Fn x nlim P k 1 nnx(x) 一 e 2 dt.此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理棣 莫 弗一拉 普 拉 斯 止 理設(shè)隨機(jī)變量Xn服從B(n, p)(0<p<1),則Xn的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,有nXi np1x1lim Fn x lim P 二x(x)e 2 dt

36、.nnJnp(1 p)萬(wàn)(3)二項(xiàng)定理若當(dāng)N時(shí),Mp(n,k變)，則Nkn kCM CN Mi k、n kz Kl、Cn p (1 p)(N)-CN超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理右當(dāng)n時(shí),np0 ,則kC：pk(1 p)nk e(n).k!其中k=0, 1, 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指 標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一 個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品X1,X2, ,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)

37、稱為樣本容量，一般用n表示。 在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與 總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī) 樣本。在泛指次抽取的結(jié)果時(shí)，Xi,X2, ,Xn表示 n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后， xi,x2, ,xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之 為樣本的兩重性。樣本函數(shù) 和統(tǒng)力里設(shè)Xi,X2, ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱（Xi,X2, ,Xn）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不含任何未知參數(shù)，則稱（Xi,X2, ,Xn）為一個(gè)統(tǒng)同。（1） 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 的基本概 念常見(jiàn)統(tǒng)計(jì) 量及其性 質(zhì)1 n 樣本均值x 2 Xi.n i 1樣本方差 1 n_S2

38、-(Xi X)2.n 1 i 1 1n_ c樣本標(biāo)準(zhǔn)左S J (xi x).n n 1 i 1樣本k階原點(diǎn)矩1 nMk 一 xk,k 1,2,. n i 1樣本k階中心矩 1 n-M k 一函 x)k,k 2,3,. n i 12E(X), D(X ,n_22_2n 12E(S ), E(S* ),no 1 n 0其中S* (Xi X),為二階中心矩。 n i 1(2) 正態(tài)思體 下的四大 分布止態(tài)分布設(shè)x1,x2,xn為來(lái)自正態(tài)思體 N(,)的一個(gè)樣本，M樣本函數(shù)def xu N(0,1)./7nt分布設(shè)x1,x2, ,xn為來(lái)自正態(tài)思體 N(,)的一個(gè)樣本，M樣本函數(shù)def xL L-t(

39、n 1), s/v n其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2分布設(shè)Xi,X2,Xn為來(lái)自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)一一 2def (n 1)S2.w-2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè)Xi,X2, ,Xn為來(lái)自止態(tài)總體N( , 12)的一個(gè)樣本，而一 一 2 .y1，y2, ,yn為來(lái)自止態(tài)總體 n( , 2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)def S2/12F-一2F(n1 1,n2 1), S2 / 2其中cnn1-cc1n2一S2 -(Xi X)2,S22 -(yi y)2;R 1 i 1h 1 i 1F(n1 1, n2 1)表示 A

40、自由度為n1 1,第二自由度為n2 1的F分布。(3)正態(tài)總體 下分布的 性質(zhì). 一 2 X與S2獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)倩計(jì)矩倩計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m ,則其分布函數(shù)可以表成F(x； 1, 2, m).它的 k 階原點(diǎn)矩 Vk E(Xk)(k 1,2,m)中也包含了未知參數(shù)1, 2, m，即Vk Vk( 1, 2, m)。又設(shè)Xi, X2 , ,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的 k階原點(diǎn)矩為1 nXik (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有1 nV1( 1, 2, m) Xi ,n

41、i 1,、1n 2V2( 1, 2, , m) 一Xi ,n i 11 nVm ( 1, 2, , m )Xi .n i 1由上面的 m個(gè)方程中，解出的 m個(gè)未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù)(1, 2, m)的矩估計(jì)量。若 為 的矩估計(jì)，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則9(?)為9()的矩估計(jì)。極大似然 的當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為 f(X； 1,2, , m),其中1 , 2, , m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi ,X2 , , Xn為總體的一個(gè)樣本，稱nL( 1 , 2, , m)f (Xi； 1 , 2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為

42、PX X P(X； 1 , 2, m),則稱nL( X1, X2 , ,Xn； 1, 2 , , m)p(Xi ； 1, 2 , , m)i 1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, m)在 1, 2, m 處取到最大值，則稱1, 2, m分別為1, 2, m的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估同。ln Lno ；12 m0,1 1,2, mii i若 為 的極大似然估計(jì)，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的 極大似然估計(jì)。(2)無(wú)偏性設(shè)(X1,X2, ，Xn)為未知參數(shù)的估計(jì)量。右E ()=,則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。E (X) =E (X), E (S2

43、) =D (X)估計(jì)量 的 評(píng)選 標(biāo)準(zhǔn)功效性設(shè) 11 (X1, X,2 , , Xn )的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。若和22(X1 , X,2 , ,Xn)是未知參數(shù)D( 1) D( 2),則稱1比2后效。一B性設(shè)n是 的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(| n |) 0,則稱n為的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若為的無(wú)偏估計(jì)，且D( ?)0(n工則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng) 總體的一致估計(jì)量。(3)區(qū)間 估計(jì)置信區(qū)間 和 置信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本 X1,x,2 , ,xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 1i(xi,x,2, ,Xn)與22(xi,x,2, , xn ) ( 12 ) ，使得區(qū)間 1, 2 以1(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即P i2 1，那么稱區(qū)間1，2為 的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單止態(tài)總 體的期望 和方差的 區(qū)間估計(jì)設(shè)x1，x,2, ,xn為總體XN(,)的一個(gè)樣本，在置信度為1下，我們來(lái)確定 和2的置信區(qū)間1, 2。具體步驟如下：(i )選擇樣本函數(shù)；(ii )由置信度1