不同坐標系之間的變換

1、§10.6不同坐標系之間的變換10. 6. 1歐勒角與旋轉(zhuǎn)矩陣對于二維直角坐標，如圖所示，有:COS0-smOsin&COS& 兒（10-8）在三維空間直角坐標系中，具有相同原點的兩坐標系間的變換一般需要在三個坐標平面上，通過三次旋轉(zhuǎn)才能完成。如圖所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)次序為: 繞OZ旋轉(zhuǎn)角，OX,OY旋 轉(zhuǎn)至OXOY 繞O丹旋轉(zhuǎn)匂角OX °, OZ旋 轉(zhuǎn)至 ox2,oz° 繞OX2旋轉(zhuǎn)£x角，OY°,OZ°旋 轉(zhuǎn)至OYjOZ055芒z為三維空間直角坐標變換的三個旋轉(zhuǎn)角，也稱歐勒角，與它相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為:100/?3x）二

2、0COS6sin0 -sinxCOS6COSgy 0 singy7?2 （切）=010sin 20COSgyz（10-10）（10-11）cosz sin 8Z 07?3(£z)= sinzCOSz令 R（）= Rx ）尺2 （勺）3 （*Z ）則有：%丫2=R (sx )R2 (勺)R3 (sz )=/?0Z-Z-代入:COS® COS£zR = -cosf v sin£z +sinv sinr cos£zsinsin e7 + cos£v sin sY coszcos® sin 巳cos£x cos£

3、z + sin £x sin sY sin s7-sin£x cos£z +cos£% sin£$ sin s7(10-12)(10-13)(10-14)-sin£rsinx cos%,COS£V cos®一般5疋丫疋z為微小轉(zhuǎn)角,可取:COS6 = COSEy = COSZ = 1 sin£*x sin£*x二 £，sin匂二匂，sin = 8a sin sY = sin £x sin 邑=sin 匂 sin 乞=0于是可化簡SYR°Sx£x1(10-1

4、6)上式稱微分旋轉(zhuǎn)矩陣。10. 6. 2不同空間直角坐標之間的變換當兩個空間直角坐標系的坐標換算既有旋轉(zhuǎn) 又有平移時，則存在三個平移參數(shù)和三個旋轉(zhuǎn)參 數(shù)，再顧及兩個坐標系尺度不盡一致，從而還有一 個尺度變化參數(shù)，共計有七個參數(shù)。相應(yīng)的坐標變換公式為:°巧丫2=(1 + m)+£z°£y£x£yax0"£x+AK00乙AZ。(10-17)上式為兩個不同空間直角坐標之間的轉(zhuǎn)換模型，其中含有7個轉(zhuǎn)換參數(shù)， 為了求得7個轉(zhuǎn)換參數(shù)，至少需要3個公共點，當多于3個公共點時，可 按最小二乘法求得個參數(shù)的最或是值。10. 6. 3

5、不同坐標系的變換對于不同坐標系的換算，除包含三個平移參數(shù)、三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個 尺度變化參數(shù)外，還包括兩個地球橢球元素變化參數(shù)，以下推導(dǎo)不同坐標 系的換算公式。由(7-30)式(N + H)cosBcosLY(N + /)cosBsinLZN(l 護)+ /7飛血3取全微分得式中axdL葩-aLaz-aL- 一dXdYdZ(10-19)一(N + H)cosBsin 厶一 (M +H)sinBcos LcosBcosL(N + H)sinBcos 厶(M +H)sinBsinLcosBcosL0(M + H)cosBsinBX 一 Qy 一 Qz 一 aax喬竺加az喬一 -AcosBcosL

6、a一cosBsin L(l-e2)sinfia(10-20)cosBcosLsin2 B-a"cosBsin Lsin2 B -a"sin B(1 + cos2 B-e sin2 B) -a(10-21)上式兩端乘以廠并加以整理得:clLdX-J-AdadB=廠'clYdadHdZ(10-22)式中dXX2XdY=乙dZZ2ZdLl2厶dB§dHH顧及(10-21)式及sin LcosL0(N + /)cosB sin BcosL(N + H)cosB sin Bsin LcosBM+H cosBcosLM+H cosBsin LM+H sin B(10-

7、22)式可寫為:(1LdB =dH(10-23)sin L(N + H)cosB 卩sin BcosL “一pM+HcosBcosLcosL(N + H)cosB 卩sin Bsin L “pM+HcosBsin LcosBPM+H sin BAX0紜AZ。/gBcos L-sin LN(r sin BcosBsin LfgBsin LcosLNe sin BcosBcosL-100£x£Z0e2 smBcosBpffM+H7V(l-e2sin2B) + HN ,(T sin BcosB/ (M+H)a(l e2sin2B) a0M(2-g2sin2B)(M+H)(l_a)sin BcosB/ZdadaM-a(l-e2sin2B)sin2B(10-24