高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求

1、高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求課題：選修1-1第二章 第一節(jié) 橢圓的定義及方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì).設(shè)計(jì)者：王艷坤思想方法：運(yùn)用類比方法研究橢圓圖形和方程， 用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行教學(xué)，用 數(shù)形結(jié)合方法研究橢圓的性質(zhì).教學(xué)目標(biāo)：1 .通過本節(jié)課課前及課堂上復(fù)習(xí)圓的定義和研究方法的類比研究過程，使 學(xué)生探索、理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法 .2 .能夠完成由實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象過程，復(fù)習(xí)和鞏固求曲線軌跡方程的基本 方法.3 .能夠理解數(shù)形結(jié)合的基本思想，理解橢圓軌跡和方程之間的關(guān)系，進(jìn)一 步提高學(xué)生解析能力.教學(xué)重點(diǎn)：1 .橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.2 .數(shù)形結(jié)合

2、的基本思想，理解解析法，橢圓曲線和方程之間的相互關(guān)系.教學(xué)難點(diǎn)：1 .數(shù)形結(jié)合的基本思想2 .建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)直觀情境，運(yùn)用好類比思想以及數(shù)學(xué)結(jié)合思想教學(xué)方式：體驗(yàn)式探索.教學(xué)手段：實(shí)驗(yàn)，多媒體演示.學(xué)生特點(diǎn)：本節(jié)課的教學(xué)對象為普通高中文科學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很弱教學(xué)過程1 .創(chuàng)設(shè)情境實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)小重物系在繩子的一端，然后握住繩子的另一端，把 重物旋轉(zhuǎn)起來，觀察重物運(yùn)行到軌跡.學(xué)生完成：討論結(jié)果、進(jìn)行總結(jié).在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成到軌跡是一個(gè)圓在空間內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡是一個(gè)球2 .復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想圓是平面幾何圖形，在歐式幾何中已有系統(tǒng)的研究， 人們在已知定點(diǎn)（即圓 心），定

3、長（即半徑）條件下，研究了周長和半徑的關(guān)系由此得到了圓周率，還 有面積、體積和其它的許多性質(zhì)。想一想，在圓的軌跡形成的過程中，滿足什么 樣的條件才能形成圓？學(xué)生回答：到圓心距離等于半徑.復(fù)習(xí)總結(jié)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡 .老師在黑板上按照條件做出圓的軌跡來， 接下來，讓同學(xué)把剛才的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移 到練習(xí)本上，在練習(xí)本地畫出由條件“到定點(diǎn)的距離等與定長的點(diǎn)” 限制下的圖 形一一圓，讓學(xué)生慢慢地體會概念的由來，對概念有更深刻印象 .怎樣更加精確研究這個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢？因?yàn)樾枰_的原因，就需要數(shù)據(jù)的支持， 怎么樣用數(shù)來表示圖形呢？這個(gè)轉(zhuǎn)化可是數(shù)學(xué)史上一個(gè)非常重要的思想一一數(shù) 學(xué)結(jié)合思想.在直角坐

4、標(biāo)系下，把動(dòng)點(diǎn)P引入二元數(shù)x, y來限定表述P （x, y）,顯然我們可以用x, y二元數(shù)來分析這個(gè)圖形上的每一個(gè)點(diǎn).這樣我們就需要建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系后，任意的動(dòng)點(diǎn)P就有了坐標(biāo)（x, y）,動(dòng) 點(diǎn)不論在任何位置都可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來.從上面一系列的分 析來看，在直角坐標(biāo)系下，圖形要經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化變成用兩個(gè)變 數(shù)x, y表示的式子（即方程）；反過來方程的數(shù)量關(guān)系，完全可以 反映圖形的一切性質(zhì)上，這就是數(shù)與形的結(jié)合，又稱為數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學(xué)思想.把圓的定義滿足的幾何條件OP轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，得Jx2 y2 r ,化簡得圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：22 r2o:22代數(shù)轉(zhuǎn)化.xyr122代

5、數(shù)轉(zhuǎn)化.xyr圓心在原點(diǎn)的圓 形數(shù)轉(zhuǎn)化|OP圓心在原點(diǎn)的圓 數(shù)形轉(zhuǎn)化 OP當(dāng)把圓圖形不變圓心平移至 C （a, b）時(shí)，我們可以用兩種方法來求圓的方 程，一種是：把幾何條件|PC直譯成代數(shù)方程式x a）2 （y b）2 r ,化簡方程 得（）2+（）2=2；另一種方法是：由方程22 r2按向量（a, b）進(jìn)行平移，2 2 r 2數(shù)形轉(zhuǎn)化2 2 r 2平移轉(zhuǎn)化同樣可以得到圓的方程（）2+ （） 2= r2.（一題多解是轉(zhuǎn)化的載體）()2+ () 2 = r2()2+ () 2 = r2卜面我們要就利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來研究其它曲線的性質(zhì)，這一節(jié)課我們類比圓的研究方法來研究橢圓的方程和性質(zhì).（數(shù)

6、學(xué)思想的教學(xué)，由實(shí)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)形式，定性研究）3 .新課類比學(xué)習(xí)橢圓定義在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候，我們首先學(xué)習(xí)的是橢圓的方程和幾何性質(zhì)， 那么我 們類比圓的定義和性質(zhì)來研究，首先來做一個(gè)實(shí)驗(yàn) .實(shí)驗(yàn)過程由老師與學(xué)生的共同參與活動(dòng)： 在上面實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué) 生開放思想，大膽把條件進(jìn)行變換，如果把一個(gè)定點(diǎn)分離成兩個(gè)定點(diǎn)， 會變成怎 樣一種情形？問題就變成“到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等與定長的點(diǎn)的軌跡”是什 么？讓學(xué)生自己也動(dòng)手來做一做實(shí)驗(yàn)， 找一找動(dòng)點(diǎn)的位置，說一說動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 什么圖形.經(jīng)過探索這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，得到初步的印象，有了一定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果， 再由老師和學(xué)生共同梳理不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果下的結(jié)論，

7、然后老師再把實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移到黑 板上，和同學(xué)們共同完成對動(dòng)點(diǎn)軌跡的探尋。 根據(jù)條件由兩個(gè)定點(diǎn)和定長的線段 共同限制下畫出橢圓的圖形，再由這些實(shí)驗(yàn)帶來的信息，共同協(xié) 商確定橢圓的定義.板演畫圖過程：首先出示一條確定長度的短繩，充分展示是短 純的長度是確定的，也稱之為定長.在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)，注意到定點(diǎn)的取法有三種，我們分三種情況進(jìn)行討論，第一種情況，純長大于兩個(gè)定點(diǎn) 之間的距離；第二種情況，純長等于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第三種情況，純長小 于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.第一種情況，兩個(gè)定點(diǎn)的距離小于繩子的長度，把繩的 兩個(gè)端點(diǎn)分別放在兩個(gè)定點(diǎn)上，拉直在繩子改變形狀，繩子的長度不會該變，使 點(diǎn)在移動(dòng)的過程中始終保

8、持到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和不變，下p面我們在黑板所在的平面內(nèi)找動(dòng)點(diǎn)的位置以及運(yùn)動(dòng)形成的Fi軌跡.哪個(gè)同學(xué)對這個(gè)問題很感興趣？愿意幫助老師找到 滿足條件的點(diǎn)呢？好！讓學(xué)生們進(jìn)行探討，然后請?jiān)敢獗?現(xiàn)的同學(xué)到黑板前面來，找出這些動(dòng)點(diǎn)，用這些動(dòng)點(diǎn)連接成一條曲線，觀察這個(gè) 圖形，我們創(chuàng)造的這個(gè)圖形為橢圓.接下來第二種情況，再取純長等于兩個(gè)定點(diǎn) 之間的距離，找?guī)讉€(gè)學(xué)生到黑板上畫這樣的動(dòng)點(diǎn)，使動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等 于純長，經(jīng)過試驗(yàn)、尋點(diǎn)、思考后學(xué)生認(rèn)為這些動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成了一條以兩個(gè)定點(diǎn)為端 點(diǎn)的一條線段，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為線段端點(diǎn)的一條線段 .第三種情況，純 長小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離時(shí)，找不到滿足條件的點(diǎn)，畫

9、不出圖形 .在這三種情 形中，有兩種情形動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圖形，其中一個(gè)是橢圓，另一個(gè)是線段，第三種 情況不表示任何圖形.在這些感性的認(rèn)識基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行歸納、總結(jié)，得出準(zhǔn) 確可靠的結(jié)論，給出橢圓的嚴(yán)密定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fi, F2的距離的和等于常數(shù)（大于 F1F2 ）的點(diǎn)的軌跡（或 集合）叫做橢圓。Fi, F2叫做橢圓的焦點(diǎn)；|FiF叫做橢圓的焦距.接下來我們在焦點(diǎn)不變的情況下，把定長變大或變小，再由 同學(xué)親自動(dòng)手畫一些其他的橢圓，以加深對橢圓的感性認(rèn)識。學(xué) 生實(shí)際操作的過程熱情很高，氣氛非常好，聽講時(shí)，精力非常集中，緊緊盯著黑板，這說明教學(xué)效果很好.有了畫圖形的實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué) 生認(rèn)真回味

10、剛才畫圖的過程，從感性上體會橢圓、從理性上領(lǐng)悟橢圓的定義以及 定長的變化對圖形形狀的影響，學(xué)生會從我們實(shí)驗(yàn)的條件變更當(dāng)中得出新結(jié)論， 總結(jié)出：當(dāng)定點(diǎn)距離不變時(shí)，定長越長時(shí)，圖形越接近于圓形，橢圓越鼓；定長 越短時(shí)，圖形越接近于一條直線，橢圓越扁平。條件再度變更：在定長不變，改 變兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的情況下再來畫一組橢圓，體會條件變化對圖 形的影響.黑板上這樣一個(gè)幾何圖形，是一條曲線圍成的封閉圖形，是 我們不太熟悉的橢圓，在我們生活當(dāng)中是比較常見的，當(dāng)我們拿手電筒去照射垂直于光線的一個(gè)平面的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)光斑所形成的是一個(gè)圓， 當(dāng)我們把平面變動(dòng)或者是把手電筒移動(dòng)使光線與平面呈一定角度時(shí)，所形成到光斑

11、就是一個(gè)橢圓；在自然界一些天體的運(yùn)行軌跡也是橢圓。 由此可見，對橢圓的 研究是源于人們對自然界的探索.4 .運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求橢圓的方程接下來我們要精確地研究橢圓的性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生來思考怎樣來研究這樣一 個(gè)新的圖形的性質(zhì)：我們?nèi)绻_地得到它的各種性質(zhì)，當(dāng)然是離不開數(shù)的精 確描述.聯(lián)想大體的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，再聯(lián)想到科學(xué)家的對天體研究以及軌道預(yù) 測和精確定位，這些都離不開一種精確的計(jì)算方法，這就是對“數(shù)”的計(jì)算，而 我們得到的橢圓圖形，圖形和數(shù)是否有聯(lián)系呢？當(dāng)然有， 類比圓的研究方法，建 立直角坐標(biāo)系，用數(shù)與形結(jié)合思想的最好范例一一解析法來研究幾何圖形，也就是把動(dòng)點(diǎn)用數(shù)來表示，滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為

12、方程表示 .好，這樣我們就把數(shù)和 形又一次地聯(lián)系起來.通過上面到方法我們知道，首先要建立直角坐標(biāo)系，在建 立直角坐標(biāo)系時(shí)，我們按照使數(shù)據(jù)盡量小，使方程盡量簡單的原則，把兩個(gè)坐標(biāo) 軸分別建立在橢圓到對稱軸上.設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)之間距離是 2c,定長為2a,然后， 設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x, y),把P (x, v)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(, 0), F2 (c, 0)的距離和等于定長2a的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，使圖形與方程之間建立聯(lián) 系，我們就可以從方程的形式上，來研究得到橢圓的一些相應(yīng)的性質(zhì).推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方程：(以下方程推導(dǎo)過程由學(xué)生完成)建系：以F1和F2所在直線為x軸，線段F1 F2的中點(diǎn)為

13、原點(diǎn)建立直角坐 標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)：設(shè)M (x, v)是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè) F1F2 =2c,則F1 (, 0), F2 (c, 0)；列式：由 PF1 PF2 2a得x c2 y2 < x c 2 y2 2a；化簡：移項(xiàng)平方后得x c2y2x c2y24a24aVx c2y2,整理得，a2 cx a/ x c2 y2 ,兩邊平方后整理得，a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2由橢圓的定義知，2a>2c,即a>c, a2> c2令a2 c2 b2,其中b>0,代入上式，2 22 22. 2彳rb x a y a b ,22兩邊同時(shí)除以a2b2 ,得：與 與1 (a&

14、gt;b>0)a2 b222從上述推導(dǎo)過程可知，這個(gè)橢圓是所有以方程 與 當(dāng)1 (a>b>0)的解a2 b2為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的.這就是說，如果 M (x0, y0)是橢圓上的點(diǎn)，那么(x0,22y0) 一定是這個(gè)方程的解；反過來，如果(x0, y0)是方程 與-yy 1 (a>b a b>0)的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這個(gè)橢圓上，這樣，我們就說方程22。、1 (a> b>0)是這個(gè)橢圓的方程.a b這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它的坐標(biāo)軸為對稱軸，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，焦點(diǎn)是 F1 (-c, 0)、F2 (c, 0),其中 b2= a2 -c

15、2.根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式(兩 點(diǎn)距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾角公式等)進(jìn)行整理、化簡 .即把這種關(guān)系 翻譯”成含的等式就得到曲線的軌跡方程了 .5.練習(xí)：動(dòng)點(diǎn)P ()到兩定點(diǎn)A ( 3, 0)和B (3, 0)的距離的比等于2即四 2 ,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？|PB|解：PA 、：(x 3)2 y2,|PB| v'(x 3)2 y2,2|PA|/曰(x 3)2 y22222代入七 2 得= 2 (x 3) y 4(x 3) 4y ,|PB|,(x 3)2 y2化簡彳# (x 5) 2 2 16,軌跡是以(5, 0)為圓心，4為半徑的圓.6.小結(jié):這節(jié)課我們利用了重要的數(shù)學(xué)思想方法一一數(shù)學(xué)結(jié)合，研究了橢圓的定義及 其標(biāo)準(zhǔn)方程，主要學(xué)習(xí)了這幾個(gè)方面的問題：（ 1）橢圓的定義；（ 2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)；（ 3）通過這一節(jié)