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文檔簡介
1、期中數(shù)學(xué)試卷題號一一總分得分一、填空題(本大題共14小題,共42.0分)1 .直線?2 v3?- 1 = 0的傾斜角為 .?2 .若扇形的弧長為2?,圓心角為4?則此扇形的半徑是 m.3 .正方體??-?中,異面直線??邠口??所成角的余弦值是 .4 .兩平行直線2?+ ?= 0與4?+ 2?- 1 = 0之間的距離為 .15 .過點(1,4)且在兩坐標軸上的截距互為倒數(shù)的直線方程為 .6 .若將邊長為2cm的正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,則所得圓柱的側(cè)面積為?. ?.一 一,一一7 .已知三個不同的點 ??(0,0), ?(?), ?(8,5)在同一條直線上,則 ?是8 . 將函數(shù)?
2、?(?= ?2* 上的所有點向左平移己個單位長度,得到函數(shù) ??(?那圖象,則??(0)的值為. ?9 . 在?,角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c, ?= 1 , ?=不 當?M3積等于v3時,??=.10 .已知? ?是兩個不同的平面,l, m是兩條不同的直線,有如下四個命題: 若??L ? ?£ ?則??/? 若??L ? ?! ?則??/? 若??/? ?L ?則?,? 若??/? ?! ?則??L ?其中真命題為 (填所有真命題的序號).11 .點(5,2)到直線(??- 1)?+(2?- 1)?= ?- 5的距離的最大值為 .12 .如圖,在邊長為2的正方
3、體中,M為樓AB的中點,則二面角?- ? ?勺正切 值是.13 .在正三樓柱?????中,?? 2, ?= 3,點D為側(cè)棱??h的一個動點, 當?? ?最小時,三棱錐 ??- ?體積為.14 .已知關(guān)于 x 的方程???c0s2?+ 1 - ?= 0(? C?庇區(qū)間0,3?比共有?(?艮?) 個互不相同的實數(shù)根?,?,??,當?+ ?+ ?+ ?聚得最小值時,實數(shù) a 的取值集合為.二、解答題(本大題共 6小題,共72.0分)15.如圖,在斜三棱柱?????中,??= ?D, E分別是AB, ?勺中點. 求證:??/任面???;(2)若??£?求證:??L?C.第3頁,共15頁a,
4、b, c,且滿足(?+?-)(?16.已知在?內(nèi)角A, B, ?兩對的邊分別為?)= (?-? ?)?求A的值;(2)若?= v2+ v3, ?-,求 a 的值.17.已知函數(shù)?(?= -2v3sin2?+ 2? ?e ?),且?(0)= 3.? ?(1)求a的值,并求??(?在-4,4上的值域;(2)若??(?)0,?止有且只有一個零點,?> 0,求?御取值范圍.18.如圖,平面??平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為4的正方形,/?90°, M是CD的中點.(1)在圖中作出并指明平面 PAM和平面PBC的交線I;(2)求證:???(3)當??= 2時,求PC與平面ABCD所
5、成角的正切值.19.國家邊防安全條例規(guī)定:當外輪與我國海岸線的距離小于或等于 d海里時,就會被 警告.如圖,設(shè)A, B是海岸線上距離s海里的兩個觀察站,滿足 ?=6? 一艘外 輪在 P 點滿足 / ? / ?,?摘足什么關(guān)系時,就該向外輪發(fā)出警告令其退出我國海域?2?.(2)當??+ ?= 2?時,間?處于什么范圍內(nèi)可以避免使外輪進入被警告區(qū)域?320.已知直線 ? ? ?+?= 0, ?: ?+ ? ?(?+ 1) = 0, ?: (?+ 1)?- ?+ (?+ 1) = 0,記?n?= ? ?2?n?= ? ?n?= ?當?= 2時,求原點關(guān)于直線??的對稱點坐標;(2)在?,求BC邊上中
6、線長的最小值; 求?積的取值范圍.第 4 頁,共 15 頁答案和解析?1 .【答案】6【解析】解:由題意可得:將? v3?- 1 = 0可化為??=三? ?,可得直線的斜率??=段所以?= ? 6 ?故答案為:- 6由題意可得直線的方程可化簡為:??= /?,進而得到直線的斜率 ??=再根據(jù)直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系得到答案.本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系,解決此類問題的方法一般是首先將直線的方程化為斜截式方程, 得到直線的斜率,進而根據(jù)直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系 得到答案.2 .【答案】2【解析】【分析】本題考查弧長的計算,解題的關(guān)鍵是明確弧長的計算公式.根據(jù)扇形弧長的計算公
7、式可以求得扇形的半徑,從而可以解答本題.【解答】解:設(shè)扇形的弧長為1,圓心角大小為?(?律徑為r,一??則? ???即:2= ?叫 解得,??=2.故答案為:2.凡連接?,: ??i?/?i,7?i兩異面直線?質(zhì)口 ??而成角,設(shè)正方體???????的棱長為 a,則?=煲?? ???= v(蒞?2+ ?=西?v3.cos/??二滓二3.即異面直線??和口??1所成角的余弦值是故答案為:3由題意畫出圖形,求解三角形可得異面直線??F口??所成角的余弦值.本題考查異面直線所成角的求法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.4 .【答案】101【解析】 解:由 4?+ 2?- 1 = 0得2?+ ?
8、 2= 0,由兩平行直線的距離公式可得 &°_=底.v4+10故答案為:史10將兩平行直線的X與y的系數(shù)化為相同,再用平行直線的距離公式可得.本題考查了兩條平行直線的距離,屬基礎(chǔ)題.5 .【答案】??+ 4?- 2=01【解析】解:根據(jù)題意,設(shè)直線在x軸上的截距為a,則其在y軸上的截距為(?才0),則直線的方程為?+?= 1,即?+ ? 1 , 一?又由直線經(jīng)過點(1,4),則有?+ ?= 1 ,解可得??= 2, ?則直線的萬程為2+ 2?= 1 ,即??+ 4?- 2=0;故答案為:??+ 4?- 2=0.1根據(jù)題意,設(shè)直線在 X軸上的截距為a,則其在y軸上的截距為,即可
9、得直線的方程為?+= 1,即?+ ? 1,將點的坐標代入直線方程,計算可得a的值,即可得答案.本題考查直線的截距式方程,關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程,屬于基礎(chǔ)題.6 .【答案】8?【解析】 解:將邊長為2cm的正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,所得圓柱的底面圓半徑為 ??= 2?母線長為? 2?則圓柱的側(cè)面積為 ?a二2?2?x 2 X2 = 8?(?.故答案為:8?根據(jù)題意知圓柱的底面圓半徑r和母線長I,再計算圓柱的側(cè)面積.本題考查了圓柱的側(cè)面積計算問題,是基礎(chǔ)題.77 .【答案】25?【解析】解:根據(jù)題意,二個不同的點 ?(0,0), ?(?), ?(8,5)在同一條直線上,則?= ?&quo
10、t;?即白?變!°_,變形可得?-0?_ 4 C0S2 = 5?第15頁,共15頁則????2?碗?- 1 = 1, 225,故答案為:725?根據(jù)題意,由三點共線可得?= ?即5匕=變之,變形可得“<-=4,由二倍角 8-0?-0C0s 25公式分析可得答案.本題考查三點共線的問題,涉及直線的斜率計算,屬于基礎(chǔ)題.8 .【答案】;【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)的平移變換和三角函數(shù)求值問題,屬基礎(chǔ)題.將?(?方移后得到" =1訝("一/ ,然后求出??(0)即可. nJ【解答】 ?解:將函數(shù)??(?= ?2?a上的所有點向左平移 召個單位長度得,?(?=
11、 cos2(?+ 6) = cos(2?+J?(0)= cos?= 1, COS 32,一,1故答案為:2.9 .【答案】S3【解析】解:.由題意,可得:1一 1A/3一2?3? IP - X1 x?x= v3, .?= 4,c c c?.由余弦定理,得 ?=?+?- 2?=? +16-4=13, 3.?=.故答案為:工.,1由2?鈍?可求??= 4,由余弦定理可求 b的值.該題考查余弦定理及其應(yīng)用,考查三角形面積公式,考查學(xué)生的運算能力,屬于基礎(chǔ)題.10 .【答案】【解析】解:對于 ,當??L? ?L ?寸,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義知?/?,正確;對于,??L ? ?! ?寸,有?
12、?/?或? ? . 錯誤;對于 ,??/? ?L ?寸,根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義知?!? .正確;對于 ,?/? ?! ?寸,有?L ?或??/?或?登?豉l與?*目交,. 錯誤.綜上,以上真命題為.故答案為:.,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和面面平行的定義判斷命題正確;,根據(jù)線面、面面垂直的定義與性質(zhì)判斷命題錯誤;,根據(jù)線面平行的性質(zhì)與面面垂直的定義判斷命題正確;,根據(jù)線面、面面平行與垂直的性質(zhì)判斷命題錯誤.本題考查了利用符號語言表示的線面、面面垂直與平行的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.11 .【答案】2 v13解:化直線(?- 1)?+ (2?- 1)?= ?- 5為?(?令 2?- 1) - ?-
13、 ?+ 5 = 0,聯(lián)立 ?+ 2?- 1 = 0 解瀘 ?= 聯(lián) -? - ?+ 5 = 0 '解信 ?=.直線(??- 1)?+ (2?- 1)?= ?- 5過定點(9,-4),.點(5,2)到直線(??- 1)?+ (2?- 1)?= ?- 5的距離的最大值為 a/(5- 9)2 + (2 + 4)2 = 2萬.故答案為:213.利用直線系方程求出動直線所過定點,再由兩點間的距離公式求解.本題考查直線系方程的應(yīng)用,考查兩點間的距離公式,是基礎(chǔ)題.12 .【答案】曲【解析】解:以D為原點,DA 為x軸,DC為y軸,??初z 軸,建立空間直角坐標系,?(22, 0), ?(2,2,
14、2), ?(02, 0) , ?(2,1, 0),?= (2, -1,0) , ?2,0, 2) 設(shè)平面??勺法向量??= (?y, ?)則?= 2?- ?= 0 取 ?+ 2?= 0?= 1,得??= (1,2, -1), 平面CBM的法向量?= (0,0,1) 設(shè)二面角?- ? ?酌平面角 為? 則? ?=|? |?唧?.?5.二面角? - ? ?勺正切值為防.故答案為:V5.以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,?1?為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角? - ? ?勺正切值.本題考查二面角的正切值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知 識,考查運算求解能力,
15、考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.13 .【答案】【解析】解:將正 三棱柱? ?展開成矩形 ?,如圖, 連結(jié)?交??? D ,此時?+ ? 最小,? ?= 2, ?= ?= 3,/ ?60 °,點 D13時,?= 2?1?=萬,?-?=?%-?=. X ? ? ?= w X 5 X 2 332.當?+ ?想小 點??到平面ABD的距離?= V22 - 12 = v3, 此時三棱錐??- ?體積:故答案為:言將正三棱柱??????展開成矩形??,連結(jié)???交??于D,此時?? ?最小,當?+ ?最小時,3?= 2,此時三棱錐?- ?1?體積??-?= ?-?由此能求出結(jié)果.題考查幾何體的體積
16、的求法,考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考 查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力,考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、 化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.114.【答案】-j2【解析】解:由題意,??= sin2?+ ?令? ?= ?(?= ?+?=(?+ 1)2 - 1.?e0,3?, ?,1,即??e-1,1 . .?= ?(?劭數(shù)圖象如下:?= ?圖象如下:聯(lián)系兩個函數(shù)圖象,對 a分類談?wù)撊缦? 當??= 2時,貝U ?= 1,即????, ?5? 則此時有兩個根:?= 2, ?= -2-.?+ ?= 3?.當0 < ?< 2時,則此時有四個根?0 < ?&
17、lt; 1,即 0 < ?且 sinx 只有一個值. ?, ?, ?.?+?2,??+?&5?.?+ ?+ ? + ? = 6?當?= 0時,則?= -1,或?= 0. 即?,或?.3?一則此時有五個根:?= ", ?= 0, ?= ? ?= 2?? ? = 3?.?+ ?+?+?+? =15?2 °1當-4< ?< 0時,一個a對應(yīng)兩個t值:?,?.r1且 1 < ? < 2 < ? < 0則有?,?# ?2?, ?2?.很明顯卷?+?%3?= 22.?+ ?+?+?= 6?1 一.當?= - 4時,?= - 1 7?12
18、,2,則此時有兩個根:?,?.很明顯?+? _2=3?T,.?+ ?= 3?.?+ ? +3??此時?= - 1 或 2.41故答案為:- ;,2.再根據(jù)根的和本題可根據(jù)兩個函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系由a反向去思考根的所有和的情況,的最小值可推出 a的取值集合.本題主要考查對應(yīng)思想的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合、分類討論方法的掌握.本題屬較難題.15 .【答案】證明:連結(jié)??,? .?是斜三棱柱,.四邊形???為平行 四邊形,由平行四邊形性質(zhì)得點E也是???的中點,點 D 是 AB 的中點,.?/?又?平面???, ?平面???,. .?/¥ 面???;(2)連ZCD, . ?= ?點 D 是 AB 的中
19、點,.??£ ? ?又??L ? ?G ? ?, ?平面 CDE, ?平面 CDE, .,.?L面 CDE, . ?平面 CDE, .?£?C.【解析】 連結(jié)??? ???由三角形中位線定理可得?/?根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論;(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得 ??L?結(jié)合??L?由線面垂直的判定定理可得??L平面CDE,再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論.本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.16 .【答案】 解:. (?????)(?)= (?)? .(?+ ?)(? ?)= (? ?)? .? + ?- ? = ?, , & 、 .一?+?
20、2?2在?由余弦定理得?. 2?,將? + ?- ? = ?入上式,得?, . ? (0, ?), .?=?.3(2)由? e(0, ?), ?§,得????牛, .?n(?+ ?)= ? ? 由正弦定理得??= ?=?3.【解析】 由(??????)(?)= (?)?正弦定理可得 ?+ ? = ?再利用余弦定理可得 ??,從而可得結(jié)果;(2)由??筵,利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求得sinB的值,結(jié)合(1)利用誘導(dǎo)公式以及' '3兩角和的正弦公式可求得 sinC的值,再由正弦定理可得結(jié)果.本題主要考查了正弦定理,余弦定理和三角函數(shù)的化簡求值等,考查了計算能力,屬于 中檔題
21、.17.【答案】解:?(?)= -2 V3sin2?+2?=?2? 3?2?-?2?(2?) +? .?(0)= v3?.?(0)= 2? ?- v3 = ?= v3, 3即??= -v3; ?(2)令??(?= 0,則 sin(2? 3) = 0, .?C 0, ?,2?+ 襄?,2?工 333 .?(?限0, ?止有且只有一個零點,.?< 2?+ 3?< 2? .-.3 < ?< :.,.?勺取值范圍為:1,5.3 6J【解析】(1)化簡??(?)根據(jù)??(0)= V3,得出a的值;(2)根據(jù)x的范圍得到2?+前范圍,由條件可得??w 2?+ ?< 2?,解不
22、等式即可. 33本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.18.【答案】 解:(1)如圖,延長 AM與BC交于點Q,連接PQ, 直線PQ即為所求交線l.證明:(2)因為四邊形 ABCD是正方形,所以 ? ? - I 又平面??平面ABCD ,平面??平面?=? ?平面ABCD ,Q所以??L平面PAB, 又?平面 PAB,所以??L ?解:(3)如圖,過點P作???????點H ,連接CH ,因為平面?"面ABCD, 平面?肖面?????? ?£ ?平面 PAB,所以?_平面 ABCD.4,所以?= 2西,/?=?60。,所以/?抑為PC與平面A
23、BCD所成的角, 在? ?, /?90°, ? 2, ?= 從而??= 3,在?, ?= 5,所以tan?= ?V35-,【解析】(1)延長AM與BC交于點Q,連接PQ,直線PQ即為所求交線l;(2)由正方形的性質(zhì)可得 ??L?由面面垂直的性質(zhì)可得,??L平面PAB,再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)果; 過點P作??! ???點H,連接CH,由面面垂直的性質(zhì)可得 ??£平面?? / ? 即為PC與平面ABCD所成的角,利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì),以及面面垂直的性質(zhì),線面角的求法,屬于 中檔題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時,一般要根據(jù)已知條件把空
24、間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理,找出足夠的條件進行推理.19 .【答案】解:(1)設(shè)外輪到我國海岸線的距離PQ為x海里,在?赳,sin z ?5in(?- ?- ?)= sin(?+ ?)由正弦定理得?sin/? sin/?所以?=(?+?),sin()在?, ?= ? ?-?=?=?sin(?+?)'當?公?即??蔡愛? 時,就該向外輪發(fā)出警告,今其退出我國海域.sin(?+?)?3(2)當??+ ?= 2?3時,_ = _ ?(=可??0s?+2?)?3?2?2V2v3 v31 o2v3亍(l-?2?尸 ?彳以??-1 - ?2?要使不被警告
25、,則=233sin(2?- 6?+J?記 工? 瓷 建sn?行?=不,即了sin(2?-否)+豆可解得 sin(2?- 6",所以 2?< 2?- ?< 2? 5?), ? ?666?即? - < ?< ? 2? ?又因為?e(。,§,?所以 6 V ?<? ?. 當?e (6,2?)時可以避免使外輪進入被警告區(qū)域.【解析】(1)設(shè)外輪到我國海岸線的距離PQ為x海里,先由正弦定理求得? _ sin(?+?)'?再利用直角三角形的性質(zhì)可得?= ?=?一一一(?+?) ,根據(jù)??W ?即可得結(jié)果sin(一 一)(2)利用二倍角的正弦公式、二
26、倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)?砂?會初,生卡sin(?+?)化、T sin (2?- 6) +或,然后斛不等式?v3Tsin(2?- e) + T>引進而可得結(jié)果.本題主要考查正弦定理的應(yīng)用以及二倍角公式與輔助角公式的應(yīng)用,屬于綜合題.正弦定理是解三角形的有力工具,其常見用法有以下四種:(1)知道兩邊和一邊的對角,求另一邊的對角(一定要注意討論鈍角與銳角 );(2)知道兩角與一個角的對邊,求另一個 角的對邊;(3)證明化簡過程中邊角互化;(4)求三角形外接圓半徑.20 .【答案】解:(1)當?= 2時,直線??的方程為:? 2?- ?+ 2 = 0 ,且斜率? = 2,
27、設(shè)原點關(guān)于直線?的對稱點為(??,??),則由斜率與中點坐標公式列方程得:?0 _? ?0 =?W-12尹2 =9Q 8? ?= -o A解得:45,故所求點的坐標為(-C).? = 55 5(2)法一:由?Xl + (-1) X?= 0,得?,?,1故?直角三角形,且 BC為斜邊,中線長為-?,?,? ?+?= 0由(?+ 1)?- ?+ (?+ 1) = 0'信?為?勺父八、?(-1,0),由(?+ 1)?- ?+ (? + 1) = 0 得?勺交占?(0 ?+ 1)出?+ ? ?(?+ 1) = 0 ,付J乂八、(,一 ),11n . 1故中線長-?= -V1+ (?+ 1)2,即當?= -1時,中線長有最小值為法二:因為點 B是y軸上動點,所以當 BC垂直y軸時BC最短,- - 一 一 1 此時中線長最小值為2.0,得利岑的交點為:??心,?3+?2+?-1+?2-),? ?+ ?= 0 由? ? ?(?+ 1)由兩點間距離公式
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