多面體與球的內切和外接常見類型歸納(共5頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上多面體與球的內切和外接常見類型歸納在平常教學中，立體幾何的多面體與球的位置關系，是培養(yǎng)學生的立體感，空間想象能力的好教材。可是學生在兩個幾何體的組合后，往往感到無從下手。針對這種情況，筆者把日常教學中有關這方面的習題加以總結和歸類如下：一正四面體與球CBDAOSEF如圖所示，設正四面體的棱長為a，r為內切球的半徑，R為外接球的半徑。則高SE=a,斜高SD=a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,則在 r=。R=SO=OB=特征分析：1 由于正四面體是一個中心對成圖形，所以它的內切球與外接球的球心為同一個。2 R=3r. r= R=。此結論可以記憶。例

2、題一。1、一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）分析：借助結論，R=,所以S=4=3。2、球的內接正四面體又有一個內切球，則大球與小球的表面積之比是（ ）分析：借助R=3r，答案為9：1。二、特殊三棱錐與球SACOBOCBAS四個面都是直角三角形的三棱錐。SA因為SAAC，SBBC，球心落在SC的中點處。所以R=。三正方體與球。1正方體的外接球即正方體的8個定點都在球面上。AOB關鍵找出截面圖:ABCD為正方體的體對角面。設正方體的邊長為a，則AB=a，BD=2R，AD=a，DCR=a。DC2 正方體的內切球。BDCA（1）與正方體的各面相切。如圖：ABCD為正

3、方體的平行側面的正方形。R=ADBC（2）與正方體的各棱相切。如圖：大圓是正方形ABCD的外接圓。AB=CD=a，R=a。3 在正方體以一個頂點為交點的三條棱組成的三棱錐，特征是：三棱錐的三條側棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱錐補形成正方體的外接球，再求解。例題：1。正方體的全面積是24，它的頂點都在同一球面上，這個球的表面積是 解析：顯然，球是正方體的外接球，a=2，則R=，S=12。2一個球與棱長為1 的正方體的12條棱都相切，則球的體積 解析：如果明確了上面的結論，問題很容易解決。R=1=V=3將棱長為1 的正方體削成體積最大的球，則球的體積為 解析：削成體積最大，即要求球是正方體的

4、內切球，與正方體的俄各面都相切。R=，V=。4P、A、B、C、是球O面上的四個點，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則球的體積是 解析：同過條件分析，可采用把三棱錐補形成正方體，則球是正方體的外接球，所以R=，V=。四、正棱柱與球 BACC1A11B1D11DO1正三棱柱外接球。如圖所示：過A點作AD垂直BC,D為三角形ABC的中心，D1同樣得到。則球心O必落在DD1的中點上。利用三角形OAD為直角三角形，OA=R,可求出R.2.正四棱柱外接球。道理與上面相似。主要是找截面，構造直角三角形，利用勾股定理求得。例題：1。已知一個半徑為的球中有一個各條棱長都相等的內接正三棱柱，則這

5、一正三棱柱的體積是 CBADO解析：如上圖，OA=,OD=，AD=，可求a6，V=54.2. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各個頂點都在半徑為R的球面上，則正四棱柱的側面積有最 值，為 解析：截面如圖：ABCD為正四棱柱的體對角面OD=R，設AD=a，底面正方形的邊長為b，則有DC=b，則R2=（a/2）2+（b/2）2，S=4ba=。五、長方體與球CBADO1長方體的外接球。截面圖如右圖：實質構造直角三角形，聯(lián)系半徑與長方體的長寬高。半徑為體對角線的一半。2在長方體以一個頂點為交點的三條棱組成的三棱錐，特征是：三棱錐的三條側棱互相垂直不相等，它的外接球可把三棱錐補形成長方體的外接球，再求解。例題：一個三棱錐三條棱兩兩