正交實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

1、正交實(shí)驗(yàn)如何數(shù)據(jù)分析我們把在試驗(yàn)中考察的有關(guān)影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素（也叫因子），把在試驗(yàn)中準(zhǔn)備考察的各種因索的不同狀態(tài)（或配方）稱為水平。在研究比較復(fù)雜的工程問題中，往往都包含著多個(gè)因素，而且每個(gè)因素要取多個(gè)水平。對(duì)于包含五個(gè)因素、五個(gè)水平的工程項(xiàng)目，理論計(jì)算必須進(jìn)行553125 次試驗(yàn)。顯然，所需要的試驗(yàn)次數(shù)太多了，工作量太大。實(shí)踐告訴我們，合理安排試驗(yàn)和科學(xué)分析試驗(yàn)，是試驗(yàn)工作成敗的關(guān)鍵。試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的好，試驗(yàn)次數(shù)就少，周期也短，這樣不僅節(jié)省了大量人力、物力、財(cái)力和時(shí)間，而且可以得到理想的結(jié)果。相反，如果試驗(yàn)設(shè)計(jì)安排的不好，即使進(jìn)行了很多次試驗(yàn)，浪費(fèi)了大量材料、人力和時(shí)間，也不一定能夠

2、得到預(yù)期的結(jié)果。正交試驗(yàn)法，就是在多因素優(yōu)化試驗(yàn)中，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與正交性原理，從大量的試驗(yàn)點(diǎn)中挑選有代表性和典型性的試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)用“正交表”科學(xué)合理地安排試驗(yàn)，從而用盡量少的試驗(yàn)得到最優(yōu)的試驗(yàn)結(jié)果的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。正交試驗(yàn)法也叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，它是用 “正交表”來安排和分析多因素問題試驗(yàn)的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是試驗(yàn)次數(shù)少，效果好，方法筒單，使用方便，效率高。由于試驗(yàn)次數(shù)大大減少，使得試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理非常重要。我們可以從所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中找到最優(yōu)的一個(gè)數(shù)據(jù)，當(dāng)然，這個(gè)數(shù)據(jù)肯定不是最佳匹配數(shù)據(jù)，但是肯定是最接近最佳的了。用正交表安排的試驗(yàn)具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。均衡分散，是指用正交表

3、挑選出來的各因素和各水平組合在全部水平組合中的分布是均衡的。整齊可比是說每一因素的各水平間具有可比性。最簡單的正交表L4（23）如表-1 所示。表 -1水列實(shí)驗(yàn)號(hào)平號(hào)1231111212232124221記號(hào)L4（23）的含意如下：“ L”代表正交表；L 下角的數(shù)字“4”表示有4 橫行（簡稱為行），即要做四次試驗(yàn)；括號(hào)內(nèi)的指數(shù)“3”表示有3 縱列（簡稱為列），即最多允許安排的因素個(gè)數(shù)是3個(gè)；括號(hào)內(nèi)的數(shù)“2”表示表的主要部分只有2 種數(shù)字，即因素有兩種水平l 與2，稱之為l水平與 2 水平。表 L4（23）之所以稱為正交表是因?yàn)樗袃蓚€(gè)特點(diǎn)：1、每一列中，每一因素的每個(gè)水平，在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的

4、次數(shù)相等。表-1 里不同的水平只有兩個(gè) 1 和2，它們?cè)诿恳涣兄懈鞒霈F(xiàn)2 次。2、 任意兩個(gè)因素列之間，各種水平搭配出現(xiàn)的有序數(shù)列（即左邊的數(shù)放在前，右邊的數(shù)放在后，按這一次序排出的數(shù)對(duì)）時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。這里有序數(shù)對(duì)共有四種（1 ，1）， （1 ， 2）， （2， 1）， （2， 2）它們各出現(xiàn)一次。常見的正交表有：L(423)，L8(27)，L16(215)，L32(231),； L9 (34)， L27 (313) ；L16(45)，；L25(5 )等。此外還有混合水平正交表：各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(41× 24)，表中有一列

5、最大數(shù)字為4， 有 4 列最大數(shù)字為2。 也就是說該表可以安排 1 個(gè) 4 水平因素和4 個(gè) 2 水平因素。選擇正交表的原則，應(yīng)當(dāng)是被選用的正交表的因素?cái)?shù)與水平數(shù)等于或大于要進(jìn)行試驗(yàn)考察的因素?cái)?shù)與水平數(shù)，并且使試驗(yàn)次數(shù)最少。如我們要進(jìn)行3 因素 2 水平的試驗(yàn)，選用L4(23)表最理想。但是，要進(jìn)行5 因素 2 水平的試驗(yàn)仍用L4(23)表，那么便放不下5 個(gè)因素了。 這時(shí)， 應(yīng)當(dāng)選用L8(27)表，這樣盡管只用了此表的5 個(gè)因素列，還有兩個(gè)因素列是空列，但這并不影響分析。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果(數(shù)據(jù))的處理分析通常有兩種方法，一是直觀分析法，又叫極值分析法；另一種方法是方差分析。表 21 直觀分析法：根

6、據(jù)正交表進(jìn)行試驗(yàn)，可以得到就某一(單指標(biāo)，也有多指標(biāo))考察指標(biāo)的試 驗(yàn)結(jié)果，通過直觀分析或方差分析，就可 以得出最佳的實(shí)驗(yàn)方案。直觀分析試驗(yàn)結(jié)果的步驟(以四因素三水平為例)如下，見表2，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別計(jì)算出： 分別對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因素的一水平的實(shí)驗(yàn)結(jié)果求和，即I j：再對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因素的二水平結(jié)果求和，即II j：對(duì)每次試驗(yàn)各因子的三水平的結(jié)果求和，即III j： 分別求出各因素各水平結(jié)果的平均值：即 I j3，II j 3， III j 3，并填入正交表中； 分別求出各因素的平均值的差值( 也叫極差) ，如果是三個(gè)以上水平則要找出平均值最大值或最小值之間的差值Rj。根據(jù)極差數(shù)Rj 的大小，可以

7、判斷各因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響大小。判斷原則是：極差愈大，所對(duì)應(yīng)的因素愈重要；由此可以確定出主、次要因素的排列順序。根據(jù)各因素各水平所對(duì)應(yīng)指標(biāo)結(jié)果的平均值的大小可以確定各因素取什么水平好。確定的原則是：如果要求指標(biāo)愈小愈好，則取最小的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)愈大愈好，則取最大的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)適中(固定值)，則取適中的平均值所對(duì)應(yīng)的那個(gè)水平。需要說明的是，最優(yōu)的水平組合并不一定就在由正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所指定的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中。所以， 根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)的數(shù)值要求所確定的各因素的最優(yōu)水平組合，就可以篩選出最佳的試驗(yàn)方案條件、以及較好的試驗(yàn)方案條件。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析法，除了極差分析外。

8、為了更形象直觀的得出試驗(yàn)分析結(jié)果，我們還可以采用畫趨勢(shì)圖(效應(yīng)曲線圖)的方法，得出正確的綜合分析結(jié)論。效應(yīng)曲線圖(因素指標(biāo)分析)就是要畫出各因素水平與指標(biāo)的關(guān)系圖，它是一種座標(biāo)圖，它的橫座標(biāo)用各因素的不同水平表示；縱座標(biāo)同為試驗(yàn)指標(biāo)。其實(shí)它就是根據(jù)極差分析數(shù)據(jù)所繪出來的，可以一目了然看出各因素的哪個(gè)水平為最優(yōu)(根據(jù)指標(biāo)的具體數(shù)值要求)。2方差分析法：通過試驗(yàn)可以獲得一組結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)之間一般會(huì)存在一定的差異，即使在相同的條件下做幾次試驗(yàn)，由于偶然因素的影響，所得的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)也不完全相等，這說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)不僅與實(shí)驗(yàn)條件的改變有關(guān)，也包括實(shí)驗(yàn)誤差的影響。方差分析是用來區(qū)分所考察因子的由于

9、水平不同對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的差異是由于水平的改變所引起還是由于試驗(yàn)誤差所引起的，以便進(jìn)一步(在直觀分析的基礎(chǔ)上)檢驗(yàn)?zāi)男┮蜃訉?duì)結(jié)果有影響，哪些沒有影響，并區(qū)分哪些是影響結(jié)果的主要因素，哪些是次要因素。我們通過一個(gè)例子來說明方差分析法的原理和計(jì)算方法。在研究某膠料的過程中，為考察生膠的轉(zhuǎn)動(dòng)黏度對(duì)膠料壓縮變形有無顯著的影響，進(jìn)行了試驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表-3 所示：表 -3壓黏縮變度 試驗(yàn)號(hào)形139142147150138.236.535.632.2233.335.934.131.6336.032.832.835.6平均值35.835.134.233.2我們把轉(zhuǎn)動(dòng)黏度記做因子A， 這是單因子4水平的實(shí)驗(yàn)，

10、每個(gè)水平都進(jìn)行了3次重復(fù)試驗(yàn)，從這組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如何來判斷A因子對(duì)壓縮變形有無顯著性影響呢？首先從這組數(shù)據(jù)出發(fā)，計(jì)算出實(shí)驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)及A因子水平的改變所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)?？梢杂^察到在A的同一水平下，雖然試驗(yàn)條件沒有改變，但所得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)不完全一樣，也就是說壓縮變形值不完全一樣。這是由于試驗(yàn)誤差的存在使數(shù)據(jù)發(fā)生了波動(dòng)。例如，A的第一水平下(A1 139)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：1( 38.2+33.3+36.0 ) =35.83數(shù)據(jù)的波動(dòng)值是：S1=(38.2-35.8) 2+(33.3-35.8)2+(36.0-35.8) 2=12.05我們稱 S1為 A的第一水平下的偏差平方和。偏差平方和反映了

11、一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散和集中的程度，S大表明這組數(shù)據(jù)分散，S小表明它們集中。類似地，可以按公式：13xixij3j132SA=(xijxi ) ,i=1,2,3,4j1計(jì)算各水平下數(shù)據(jù)的平均值及偏差平方和：x2 35.1 S2=7.89x3 34.2S3=3.93x4 33.2S4=8.96將各因子A在各水平下的偏差平方和相加，得43S誤 S1+S2+S3+S4=(xijxi)2 32.83i1j1這完全是由試驗(yàn)誤差引起的，它表征了試驗(yàn)誤差在這組試驗(yàn)中引起的數(shù)據(jù)的總波動(dòng)值，我們稱S誤 為試驗(yàn)的偏差平方和。對(duì)因子A，可以注意到A的四個(gè)水平下的平均值xi 也各不相同。這種數(shù)據(jù)平均值的波動(dòng)不僅與試驗(yàn)誤差

12、有關(guān)，還包括由于A的水平不同引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)。A的第一水平下的平均值35.8 ，這個(gè)平均值可代替各個(gè)1水平(共3個(gè))對(duì)壓縮變形的影響，對(duì)其它的水平亦可作同樣地考慮，記做：14xxi 34.64i1表示數(shù)據(jù)的總平均值，則A因子各水平平均值之間的偏差平方和為:42SA=3(xi x) 11.43i1它刻劃了A水平不同引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)值，稱為因子 A的偏差平方和，如果記：432S總 (xijx)i1j1表示所有的數(shù)據(jù)圍繞它們的總平均值的波動(dòng)值，則可以證明：S總 SA+S誤從數(shù)據(jù)偏差平方和可見，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)多的，偏差平方和就可能大。為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響，我們采用平均偏差平方和SA/fA、S誤/f 誤 ，其中

13、f A和f 誤 分別表示偏差平方和SA和S誤的自由度。所謂自由度，就是獨(dú)立的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。與偏差平方和一樣，自由度也可以分解為：f 總 f A f 誤而f 總 N 1， N為同一水平的總試驗(yàn)次數(shù)；f A A的水平數(shù)1；f 誤 f 總 f A；考慮比值：F比=SA/fAS誤 /f誤若F比 近似等于1，表明SA/f A與S誤 /f 誤 差不多，也就說明因子A的水平改變對(duì)指標(biāo)的影響在誤差范圍之內(nèi)，即水平之間無顯著差異。那么，當(dāng)F比 多大時(shí)，才能說明因子A水平改變對(duì)結(jié)果有顯著影響呢？這時(shí)要查一下F分布臨界值表。F分布臨界值表列出了各種自由度情況下F比 的臨界值。在F分布臨界值表上橫行f 1代表 F比中分

14、子的自由度f A，豎行f 2代表F比 中分母的自由度f誤 。查得的臨界值記做F，這里的是預(yù)先給定的顯著性水平，若F比 F，我們就有（1）的把握說明因子 A的水平改變對(duì)結(jié)果（指標(biāo)）有顯著性影響，其幾何意義見圖1所示。對(duì)我們所討論的例子，有：f總 12 1 11；f A 4-1=3 ；f誤 11 3 8；把有關(guān)數(shù)據(jù)帶入FA的表達(dá)式，得：SA/ fA11.43/3F比 = A A =1.08S誤 /f誤32.83/8我們給定顯著性水平0.10, 從 F分布臨界值表中查出：F0.10 （3,8）=2.92由于F比 1.08<F 0.10（3,8）=2.92因此我們大概有90的把握說因子A的水平改

15、變對(duì)結(jié)果的影響無顯著差異，也就是說我們有90的把握，說生膠轉(zhuǎn)動(dòng)黏度水平的改變對(duì)壓縮變形的影響無顯著差異，試驗(yàn)結(jié)果所出現(xiàn)的波動(dòng)就主要是由試驗(yàn)誤差造成的（有必要通過改變?cè)囼?yàn)條件來減小試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的波動(dòng)）。反之，當(dāng)F比 F0.10時(shí)，我們大概有90的把握說因子A的水平改變對(duì)結(jié)果的影響有顯著影響。顯著性水平，是指我們對(duì)作出的判斷大概有1的把握。對(duì)于不同的顯著性水平，有不同的F分布表，常用的有0.01,=0.05 和 0.10三種。為了區(qū)別顯著性的程度，當(dāng)F比 >F0.01（f 1， f 2）時(shí)，就說該因子水平的改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著的影響，記做*;當(dāng) F0.01（f 1， f2）>F比

16、>F0.05 （f 1， f2） 時(shí)，就說該因子水平的改變，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，記做*;當(dāng) F0.05（f 1， f2）>FA>F0.10（f 1， f 2）時(shí)，就說該因子水平的改變，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有一定的影響，記做*。根據(jù)是否要考慮兩個(gè)因素的交互作用，又將雙因素方差分析分為雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析和雙因素不重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。此外還有多因素方差分析，分析方法與此類同，這里不進(jìn)行討論。3 交互作用：在多因素對(duì)比試驗(yàn)中，某些因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響往往有相互制約、互相聯(lián)系的現(xiàn)象。在處理多因素對(duì)比試驗(yàn)時(shí)，不僅需要分別研究各因素水平的改變對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響以及每個(gè)因素的單獨(dú)作用，還要考慮

17、它們之間的相互作用。通常在一個(gè)試驗(yàn)里，不僅各個(gè)因素在起作用，而且因素之間有時(shí)會(huì)聯(lián)合起來影響試驗(yàn)的結(jié)果指標(biāo)，這種作用叫做交互作用。如果因素A的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素B的變化也發(fā)生變化；同樣地，若因素B的數(shù)值或水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素A變化的變化也發(fā)生變化，則稱因素A、B間有交互作用，記為A×B。當(dāng)任意兩元素之間（如A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身對(duì)指標(biāo)的影響是否顯著，A、B的最佳水平的選取都應(yīng)從A與B的搭配中去選擇。為了考慮交互作用的影響，一般在選擇正交表時(shí)，要注意留有一定的空列。進(jìn)行方差分析時(shí)，當(dāng)被分析因子對(duì)指標(biāo)的影響不顯著時(shí)，其原因是試驗(yàn)誤差

18、太大或誤差的自由度小，試驗(yàn)誤差有可能掩蓋了被考察因素的顯著性，使得 F檢驗(yàn)靈敏度下降。若F檢驗(yàn)顯著，說明存在交互作用。如果在處理實(shí)際問題時(shí)，已經(jīng)知道不存在交互作用，或已知交互作用對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)影響很小，則可以不考慮交互作用。主次因素的分析一般通過極差分析就可以得出結(jié)論，從效應(yīng)圖可以看得更直觀。對(duì)極差分析、方差分析以及交互作用的分析結(jié)果必須要根據(jù)具體的實(shí)際條件（例如材料成本，時(shí)間花費(fèi)，主次因素，對(duì)指標(biāo)的影響程度等，特別是對(duì)復(fù)合指標(biāo)數(shù)據(jù)考核時(shí)）進(jìn)行綜合分析，才能最后得出最佳水平組合。本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和計(jì)算使用“正交設(shè)計(jì)助手”軟件。4 軟件分析法使用“正交設(shè)計(jì)助手”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。其操作步驟如下：1） 文件 新建工程：命名該未命名工程；并存儲(chǔ)工程;2） 實(shí)驗(yàn) 新建實(shí)驗(yàn)進(jìn)入設(shè)計(jì)向?qū)В海?1 ）實(shí)驗(yàn)說明：填寫實(shí)驗(yàn)名稱和簡要敘述及選擇標(biāo)準(zhǔn)正交表。對(duì)于多指標(biāo)（復(fù)合指標(biāo)）檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，可以在同一工程中建立多個(gè)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)最佳方案的確定要通過對(duì)各實(shí)驗(yàn)分析、討論所得的結(jié)論加以綜合考慮。（ 2）選擇正交表；從下拉菜單中選擇合適的正交表，考慮到交互作用，需