反三角函數(shù)與簡(jiǎn)單三角方程

1、1、反三角函數(shù):概念：把正弦函數(shù)y sin x , x ，一 時(shí)的反函數(shù)，成為反正弦函數(shù)，記作y arcsinx.2 2y sin x(x R),不存在反函數(shù).含義：arcsinx表示一個(gè)角 ；角 一，一；sin x.2 2反余弦、反正切函數(shù)同理，性質(zhì)如下表名稱(chēng)函數(shù)式定義域值域奇偶性單調(diào)性反正弦函數(shù)1,1增奇函數(shù)增函數(shù)反余弦函數(shù)1,1減非奇非偶減函數(shù)反正切函數(shù)R 增奇函數(shù)增函數(shù)反余切函數(shù)R 減非奇非偶減函數(shù)其中:(1) .符號(hào)arcsin x可以理解為萬(wàn)，萬(wàn)上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間 -,萬(wàn)上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號(hào) arccos x可以理解為0 ,九上的一個(gè)角(弧度)， 也可以理解為區(qū)

2、間0,兀上的一個(gè)實(shí)數(shù)；(2) . y = arcsin x 等價(jià)于 siny = x, y - , - , y = arccos x 等價(jià)于 cosy=x, xe 0,兀,這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反三角函數(shù)問(wèn)題的主要依據(jù)；(3) .恒等式 sin(arcsinx)=x, xG1,1, cos(arccosx) =x, xG1,1,arcsin(sin x) =x, x - , - , arccos(cosx)=x, xG 0, 九的運(yùn)用的條件；(4) . 恒等式 arcsin x + arccos x = - , arctan x + arccot x= 的應(yīng)用。2、最簡(jiǎn)單的三角方程方程方程的解集其

3、中:(1) .含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程。解三角方程就是確定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2) .解最簡(jiǎn)單的三角方程是解簡(jiǎn)單的三角方程的基礎(chǔ)，要在理解三角方程的基礎(chǔ)上，熟練地寫(xiě)出最簡(jiǎn)單的三角方程的解；(3) .要熟悉同名三角函數(shù)相等時(shí)角度之間的關(guān)系在解三角方程中的作用；如：若 sin sin ，貝sin k ( 1)k ；若 cos cos ，則 2k ;若 tan tan ，貝a k ； 若 cot cot ,貝a k ；(4) .會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想進(jìn)行含有參數(shù)的三角方程的解的情況和討論?！纠}精講】例1.函數(shù)y sin x, x , 3的反函數(shù)為(

4、 22分析與解:例 4. 函數(shù)y arccos(cosx), x分析與解：2例 5.函數(shù) y arccos(sin x), x (一, 一)的值域?yàn)?33分析與解:欲求函數(shù)值域，需先求u sinx, x (一，2_)的值域。 33例6.使arcsinx arccosx成立的x的取值范圍是()分析與解:該題研究不等關(guān)系，故需利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，又因?yàn)榍髕的取值范圍,故需把x從反三角函數(shù)式中分離出來(lái)，為此只需對(duì)arcsinx , arccosx同時(shí)取某一三角函數(shù)即可，不妨選用正弦函數(shù)。例 7. 若0,貝U arcsin cos() arccos sin( )分析與解：這是三角函數(shù)的反三角運(yùn)算

5、， 其方法是把角化到相應(yīng)的反三角函數(shù)的值域內(nèi)。例 8.求值：(1) sin 2arcsin 3(2)5tan-arccos-分析：arcsin( 3)表示 一，一上的角，若設(shè)5223arcsin( 一)，貝1J易得 sin 533,原題即是求sin2的值，這就轉(zhuǎn)化為早已熟悉的三角求值問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)5鍵是能認(rèn)清三角式的含義及運(yùn)算次序，利用換元思想轉(zhuǎn)化為三角求值。3 一.角牛：(1)設(shè) arcsin(-),則 sin5例 9.知函數(shù) f (x) arccos(x2 x)(1)求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間;(2)解不等式：f(x)f(2x 1)解：(1)由 1x211,144. f(x)的

6、定義域?yàn)?,值域?yàn)?,arccos14又“TT 時(shí)'g(x)x單調(diào)遞減,y arccosx單調(diào)遞減，從而f(x)遞增. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是產(chǎn)磬,1,同理f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是小三121 21 . _()f(x) f(2x )即arccos僅x) arccos(2x -)(2x -)arccos僅x)21 x x1 4x2 142 2x x 4x21 arccos(4x ) 411解不等式組得 1 x 1不等式的解集為(-,-)262 614簡(jiǎn)單的三角方程例1.寫(xiě)出下列三角方程的解集(1) sin(x ) 2; (2)2cos3x 1 0; (3) cot、. x 382解集x|

7、x=(k 兀+arctg3) 2, k G Z例2.求方程tan(3x -) 用在0,2 上的解集.說(shuō)明？如何求在指定區(qū)間上的解集？(1)先求出通解，(2)讓k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，一一求出在指定區(qū)間上的特解，(3)寫(xiě)指定區(qū)間上的解.例3.解方程2sin2x 33cosx 1 0解：方程化為 2cos2x . 3 cosx 3 0說(shuō)明？可化為關(guān)于某一三角函數(shù)的二次方程，然后按二次方程解.例4. ?解方程3sin x 2cosx 0 2sin2x 3sin xcosx 2cos2 x 0除以 cos2x 化為 2tg 2x-3tgx-2=0 .說(shuō)明？關(guān)于sinx , cosx的齊次方程的解法：方程兩邊都

8、除cosnx(n=1 , 2, 3, )(cosx=0不是方程的解)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tgx的方程來(lái)解.例 5.解方程： Qsin2x cos2x 1 (2) 5sin3x 12cos3x 6.5思考：引入輔助角，化為最簡(jiǎn)單的三角方程2x-30 ° =k180° +(-1) k30°x=k90° +(-1)k15 ° +15° (kGZ)所以解集是x|x=k90 ° +(-1)k15 ° +15° , kGZ于是 x=k60° +(-1) k10° +22° 38' , (

9、k GZ).二原方程的解集為x|x=k60 ° (-1) k10° +22° 38' , k G Z最簡(jiǎn)單的三角方程.例 6.解方程 2sin 2 x 3cosx 0 .解 原方程可化為 2(1 cos2 x) 3cosx 0,即 2cos2 x 3cosx 2 0.解這個(gè)關(guān)于cosx的二次方程，得1 cosx 2, cosx .2由cosx 2,得解集為；12由cosx -，得斛集為 x x 2k 一, k Z . 23所以原方程的解集為xx 2k ,k Z .3說(shuō)明方程中的 sin2x可化為1 cos2 x ,這樣原方程便可看成以cosx為未知數(shù)的一元

10、二次方程，當(dāng) 0時(shí)，可用因式分解將原方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)最簡(jiǎn)方程，從而求得它們的解.【拓展提高】例 1.若方程 cos2x 2sin x m 10存在實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍.解一由原方程，得 2sin2 x 2sin x m 0,即sin2 x sin x m 02解這個(gè)以sinx為未知數(shù)的一元二次方程，因?yàn)? 4 ( m) 0要使方程有解，只需21 1 m 02解得1m 4.2所以m的取值范圍為1,42說(shuō)明有關(guān)三角方程的實(shí)數(shù)解問(wèn)題，不僅要考慮以的 0,而且必須考慮sin x的值在 1,1內(nèi).sin x為未知數(shù)的一元二次方程解一 由原方程得 2sin2x 2sin x m 0,得 m 2sin2 x

11、 2sin x 2(sin x 1)2 1221因?yàn)? sinx 1 ,所以 m 4 .2所以m的取值范圍為1,4 .2說(shuō)明當(dāng)方程sinx t(t為常數(shù))有解時(shí)，必須滿(mǎn)足|t 1,則原題就轉(zhuǎn)化為求m 2(t 1)2 1,t1,1的最大值、最小值問(wèn)題.22例2.求方程sin 2x cos( x)的解集.解由原方程得2sin x cosx cosx,得 cosx 0, sin x 1.2由cosx 0,得解集為 x x k , k Z ； 2,1由sin x -,得解集為x x k2(1)K6,k Z所以原方程的解集為x x k一或x k2(1)K6,k解二 由原方程得sin2x cosx,即 s

12、in2x sin( 一 x)23-3得 2x 2k一 x 或 2x 2k (一22即 x 2k3-或 x 9k Z .236所以原方程的解集為oi 3 -p-2k -jx x 2k 或x , k Z236解三 由原方程得sin2x cosx,即 cos( 2x) cosx2得 2x 2k x 或 2x 2k 22即 x 2k 一或 x 處，k Z . 236所以原方程的解集為x x 2k或x ”,k Z 236說(shuō)明由于轉(zhuǎn)化方法的不同，所得解集的表達(dá)形式不同，通過(guò)驗(yàn)證這些解集是相等可直接利用以下關(guān)系得到的集合.對(duì)于兩個(gè)相等的同名三角函數(shù)所組成的三角方程,方程的解.(1) sinsin2k2k(2

13、) coscos2k2k(3) tantan,k【鞏固練習(xí)】反三角函數(shù)1. arctan(tan3.)的值是(A. T B.C.D.352.F列關(guān)系式中正確的是A.5 arccos cos 454B.sinarcsin 一3C.arc coscos cos4arc cos 一4D.arc tan( 2)，1、 arc cot(-) 23.函數(shù)f (x)arcsin(tan x)的定義域是B.k ,k 一44C. kz,(k1)- k ZD.2k一 ,2k k444.在1,3上和函數(shù)y x相同的函數(shù)是2A. yarccos(cosx) B. y arcsin(sin x)C.y sin(arcs

14、in x)D. y cos(arccosx)5 .函數(shù)yarctan-的反函數(shù)是236 .求y sin x在一 一上的反函數(shù). 2 27 .比較 arccos5 與 arc cot()的大小.428 .研究函數(shù)y arccos x x2的定義域、值域及單調(diào)性9.計(jì)算:134 cos arccos arccos510 .求下列函數(shù)的定義域和值域:y = arccos1x; (2)y = arcsin( x2+x); (3)y = arccot(2 x 1),解:(1) y= arccos 工，0V1, .二 x>1, y G 0,-). x x2(2) y = arcsin( x2 + x

15、), 1< x2 + x< 1,1 '5 < x< 1 5 ,由于一x+1 = (x ) + , .4. 10 x+x0 , 0 y& arcsin .24424(3) y = arccot(2 x- 1),由于 2x-1> 1,0< arccot(2 x-1)< , xG Ry46(0,-).411 .求函數(shù)y = (arccos x)23arccos x的最值及相應(yīng)的 x的值。解：函數(shù) y= (arccos x) 2 3arccos x, xG1,1, arccos x 0,% 設(shè) arccos x=t, 0 < t <

16、 % ,y=t2 3t = (t |)2 9 ,當(dāng)t = 3時(shí)，即x = cos 9時(shí)，函數(shù)取得最小值一 9,224當(dāng)t =冗時(shí)，即x= 1時(shí)，函數(shù)取得最大值冗2 3冗.簡(jiǎn)單的三角方程1.解下列方程.(1) tan2x 1(2) sin5x sin3x(2)5x=2k % +3x 或 5x=2k % + % -3xx k 或 x 2k1k Z82.方程sin2 x= sin x在區(qū)間(0, 2冗)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是 3個(gè)解：作出函數(shù)y = sin2 x和y=sin x的圖象，由圖象知，它們的交點(diǎn)有3個(gè) 3.(1) 方程 tan3 x = tg x 的解集是x| x = k 兀，k G Z.(2) 方程sin x + cosx=年在區(qū)間0