小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典應(yīng)用題工程問題(三).題庫版

1、工程問題（三）2-3-5.工程問題.題庫教師版page 25 of 19目收唯教學(xué)目標1 .熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；2 .工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學(xué)會分段處理；3 .根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“ 1的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；4 .工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用.目舊腿知識精講工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點，是分數(shù)應(yīng)用題的引申與補充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認知起來比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一.工程問

2、題的基本概念定義：工程問題是指用分數(shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。工作總量：一般抽象成單位 “1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量 =工作效率 力作時間，工作效率=工作總量T作時間，工作時間=工作總量 T作效率；二、為了學(xué)好分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題；在理解、掌握分數(shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用； 學(xué)會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示量”與 百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與

3、問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理； 學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法.分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法.因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路.三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開 工作總量”和 時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè) 把整個工程看成一個單位”，求得問題答案.一般情況下，工程問題求的是時間.同皿4 例題精講工程問題方法與技巧（一）等量代換法【例1】 甲、乙兩隊合作挖一條水渠要

4、30天完成，若甲隊先挖 4天后，再由乙隊單獨挖 16天，共挖了這條 水渠的2 .如果這條水渠由甲、乙兩隊單獨挖，各需要多少天？5【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答2 一2【解析】法一：甲、乙合作完成工程的 （ 需要：30X2=12（天）.甲隊先做4天，比合作少了 12 4 = 8（天）；乙隊后做16天，比合作多了 16-12 =4（天），所以甲隊做8天相當(dāng)于乙隊做4天，甲、乙兩隊工作效率的比是4:8 =1:2.甲隊單獨工作需要：30+30父2=90 （天）；乙隊單獨工作需要：30+30 十 2 =45（天）。 1 .法二：我們知道，甲乙合作，每天可以完成工程的 ,而題目中給定的 甲隊先挖

5、4天，再由乙隊30單獨挖16天”，相當(dāng)于甲乙兩隊先合作 4天，然后再由乙隊單獨挖 12天，于是兩隊合作4天，可以完1222441成工程的 4=,也就是說乙隊12天挖了 2,于是乙隊的工作效率為 上+12=,那3015515 151545111 一 一么甲隊的工作效率就是 一=一，即甲隊單獨做需要 90天，乙隊單獨做需要 45天。工程問題里 30 45 90面也經(jīng)常用到比例， 是因為工程問題的基本數(shù)量關(guān)系是乘法關(guān)系.其實這一點是與工程習(xí)慣無關(guān)的.【答案】甲隊單獨做需要 90天，乙隊單獨做需要 45天【例2】一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩

6、人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】 丙2天的工作量，相當(dāng)乙 4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣也就是甲做1天,26天，而甲只要26天他們共同做13天的工作量，由甲單獨 3相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要13天，丙做13天，乙要3完成，甲需要13+13+26 =26天 3326天例3 抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當(dāng)甲、乙每天工作效率和的 1.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能

7、完成？ 5【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的1 ,又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因811此甲兩天抄寫書稿的 1,即甲每天抄寫書稿的 ;由于丙抄寫5天相當(dāng)于甲乙合抄一天，從而丙 6816天抄寫書稿的1 ,即丙每天抄寫書稿的 ;于是可知乙每天抄寫書稿的 1-=.所以乙一8488 16 4824人單獨抄寫需要1 +工=24天才能完成.24【答案】24天【例4 一項工程，甲獨做 6天完成，甲3天的工作量，乙要 4天完成.兩隊合做 2天后由乙隊獨做，還要幾天才能完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答2天，剩下的都是乙完成【解析】法一

8、：我們把工程看作兩個人分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了的。甲完成整個工作需要 6天，除去自己完成的 2天以外，剩下工作量甲需要 4天完成，乙的工作效率是甲的3,因此甲4天完成的量，乙需要4M=16天完成，除去與甲合作的 2天以外，乙還要 433法二：甲的工作效率為111 2 26811 ,所以乙的工作效率為610,、10天才能完成.兩隊合作 2天后乙隊獨做還要【答案】10天 3例5打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成.如果甲、乙合彳2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內(nèi)完成.甲、乙兩人合做需要幾天完成？【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答根據(jù)

9、甲按規(guī)定時間可提前 2天完成，乙則要超過規(guī)定時間 3天才能完成.如果甲、乙合做 2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內(nèi)完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做 3天的工作量，所以完成這項工作甲、乙所用的時間比是2:3.另外，由于甲、乙單獨做，乙用的時間比甲多3 + 2=5天,所以乙獨做需要的天數(shù)是:3（3+2）二15 （天），甲獨做需要155 = 10（天），甲、乙合做需要3 -2例66（天）一項工程，如果甲先做 5天，那么乙接著做 20天可以完成；如果甲先做 20天，那么乙接著做 8 天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】本題沒有直接

10、給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖:乙20天人乙12天乙8天甲15天甲2CK從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙 4天的工作量.于是可用 乙工作4天”等量替換題中 甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這1一工程需要20+4 =24（天）完成，即乙的工作效率是 .24又因為乙工作4天的工作量和甲工作 5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的 f ,為1 54 5 0111那么甲、乙合作完成這一工程需要的時間為1+（，+，）=131（天）.24 303【答案】131天3【鞏固】 一件工作甲先做6小時，乙接著做12小時可

11、以完成；甲先做8小時，乙接著做6小時也可以完成.如果甲做3小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，甲做 8-6 =2小時的工作量等于乙做12-6 = 6小時的工作量，可見甲做1小時的工作量等于乙做 3小時的工作量.那么可以用乙做 3小時來代換甲做1小時，可知乙完成全部工作需要6父3+12 = 30小時，甲先做的3小時相當(dāng)于乙做了 9小時，所以乙還需要 30-9=21小時.【答案】21小時【鞏固】 一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可以抄完.現(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時才

12、能完成？【考點】工程問題【難度】3星1【解析】由題意可知，甲、乙合作的效率為;10單獨抄5小時，則乙單獨工作的效率為113所以甲單獨工作的效率 1. E10 25 50【題型】解答111 -8X卜（138）=一，102531、乙兩人的工作效率之比為:=3:2.50 251將甲抄8小時，乙抄13小時，轉(zhuǎn)化為甲乙和抄 8小時，乙甲先抄2小時，這2小時的工作量如果兩人合作，需要3M2士（3+2）=1-小時，514所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要10-11 =84小時.55【答案】84小時5【例7】一項工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成-時前來幫忙，待工程完成 -時離去，結(jié)26果恰按計劃

13、完成任務(wù)，其中乙做了工程總量的一半.如果沒有丙的參與，僅由乙接替甲后一直做下去，將比計劃推遲 31天完成；如果全由甲單獨做，則可比計劃提前6天完成.還知道乙的工作3效率是丙的3倍，問：計劃規(guī)定的工期是多少天?【考點】工程問題【難度】5星【關(guān)鍵詞】2008年，北大附中，資優(yōu)博雅杯【解析】丙在工程完成一半時前來幫忙，待工程完成來幫忙，這1的工程由乙獨做，那么乙完成這3【題型】解答5一 15時離去，所以乙、丙合做了全部工程的1 ；如果丙不631的工程時間將比乙、丙合做多用 竺天.由于乙的工33效是丙的工效的 3倍，乙、丙合做的工效之和為乙獨做的3倍，那么乙獨做所用的時間為乙、丙合34110 4做所用

14、時間的？倍，所以乙、丙合做這 1的工程所用的時間為 10個（4-1）=10天.那么乙的工效為33331米10子（1+1）=.由于在丙來幫忙的情況下乙共做了工程總量的一半，所以乙工作的天數(shù)為334011-小一二20天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后兩段）乙一個人獨做.那么2 40乙、丙共完成了全部工程的1+M1M10=Z ,根據(jù)題意，這 工的工程如果由甲獨做，只需要2 40 31212 7120-6 =14天，那么甲的工效為 一個14=一.甲完成全部工程需要 24天.由于全部由甲獨做可比計1224劃提前6天完成，所以原計劃工期是 24+6 =30天.【答案】30天（二）比例

15、法【例8】一批零件平均分給甲、乙兩人同時加工，兩人工作 5小時，共完成這批零件的 -。已知甲與乙的工3作效率之比是5:3 ,那么乙還要幾小時才能完成分配的任務(wù)？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答23111【解析】乙5小時完成總工作量的 -乂一=;乙每小時完成總工作量的 一小5=；乙需要完成的總工作3 5 3 4420一 .111量為；乙要完成這個任務(wù)還需要的時間：1-5=5（小時）22 20【答案】5小時【例9】 一項工程，甲15天做了 1后，乙加入進來，甲、乙一起又做了-,這時丙也加入進甲、乙、丙一44起做完.已知乙、丙的工作效率的比為3: 5,整個過程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2:

16、1,問題中情形下做完整個工程需多少天 ？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：先把整個工程分為三個階段:數(shù)之比為（n+m）： m=2： 1,所以有I、n、出；且易知甲的工作效率為 工.又乙、丙工作的天601 ,n階段和出階段所需的時間相等.即甲、乙合作完成的一的工4111 一程與甲、乙、丙合作完成111 =1的工程所需的時間相等.所以對于工作效率有：（甲+乙）農(nóng)=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=工.又有乙、丙的工作效率的比為 3: 5.易知乙的工作效率為 , 60120 5丙的工作效率為：.那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：12011311815十一-（十）+

17、子（一十）=15 +6+6 =27天. 460 120260 1201方法二：顯然甲的工作效率為 ，設(shè)乙的工作效率為 3x,那么丙的工作效率為 5x.所以有乙工作的601111 11.天數(shù)為 一 + （ + x3 +戶 一 + X 丙8工）作 的 天 數(shù) 為 一 + （ +8x）. 且 有 46 026 02601111111111_1（ 永3 ） + k（ x +8 -）-= 2 父即x = （ +3X）8= ） （- +8x）,斛得 x = .所以乙的46 026 02 460 02 6012035工作效率為上-，丙的工作效率為高-.那么這種情形下完成整個工程所需的時間為： 1201201

18、1311815 +-（+）+-（+ ）=15十6+6=27天.4 60 120260 120【答案】27天【例10】甲、乙、丙三村準備合作修筑一條公路，他們原計劃按9:8:3派工，后因丙村不出工，將他承擔(dān)的任務(wù)由甲、乙兩村分擔(dān)，由丙村出工資360元，結(jié)果甲村共派出 45人，乙村共派出35人，完成了修路任務(wù)，問甲、乙兩村各應(yīng)分得丙村所付工資的多少元？【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【解析】丙村出的360元錢是不是應(yīng)該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即45:35 =9:7來進行分配呢？我們仔細思考一下，發(fā)現(xiàn)丙村所出的錢應(yīng)該是其他兩個村幫他完成的工作量，換句話說，我們應(yīng)該考慮的是甲乙兩村各幫丙村出了

19、多少人，然后再計算如何分配。甲、乙兩村共派出了 45+35=80人，而這80人，按照原計劃應(yīng)是甲村派出80x9一=36人，乙9 8 3村派出32人，丙村派出12人，所以，實際上甲村幫丙村派出了45-36 =9人，乙村幫丙村派出了35-32 =3人，所以丙村拿出的 360元錢，也應(yīng)該按9:3 =3:1來分配給甲、乙兩村，所以，甲村應(yīng)分得：360 +（3+1）父3 =270元，乙村應(yīng)分得：360 270 = 90元.【答案】90元【例11】某工地用3種型號的卡車運送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為6:8:9 ,運送土方的路程之比為 15:14:14 ,三種車的輛數(shù)之比

20、為 10:5: 7 ,工程開始時，乙、丙兩 種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了 25天完成任務(wù).那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2007年，二中【解析】由于甲、乙、丙三種卡車運送土方的路程之比為15:14:14 ,速度之比為6:8:9，所以它們運送1次15 14 14 5 7 142 4 9所需的時間之比為 :上：*:5:7:14 ,相同時間內(nèi)它們運送的次數(shù)比為：-:-:.在前10天，6 8 92 4 95 7 14甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為5:5: 7 .

21、由于三種卡車載重量之比為 10:7:6,所以三種卡車的總載重量之比為50 : 35 : 42那么三種卡車在前10天內(nèi)的工作量之比為：50一 I: 35x- I : 42 L 20: 20:2在后15天，由于甲車全部投入使用，所以在后15天里的5 7.14工作量之比為40: 20: 27 .所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：2010401532(202027)10(402027) 157979【例12】甲、乙、丙三人承包一項工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程的1 ,因為甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的;，以后三人合作5天完

22、成了這項工程，按完成量的多少來付勞動報酬，甲、乙、丙各得多少元？【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，清華附中11【斛析】 根據(jù)題息可知，甲、乙兩人的工作效率之和為-。6 =;318111乙、丙兩人的工作效率之和為(1 -) 40=40（立方分米）,所以水箱總?cè)莘e為 40X2=80（立方分米）。后50分鐘內(nèi)，裂縫向外滲水 1為0-40=10（立方分米），滲掉這10立方分米水，需時10論4=25（分）, .一 13那么沒滲水的時間為 40+50-25=65（分）。所以裂縫在水箱從下往上的65-80=處。16兩個水龍頭注水需要時間13137 80X-2 +80X1 小（20

23、.41=41（分鐘）16168兩個水龍頭往內(nèi)注水，注滿這個水箱需要355分鐘或411分鐘 88（三）列表法【例20放滿一個水池，如果同時打開 1, 2, 3號閥門，則20分鐘可以完成；如果同時打開2, 3, 4閥門，則21分鐘可以完成；如果同時打開1, 3, 4號閥門，則28分鐘可以完成；如果同時打開 1,2, 4號閥門，則30分鐘可以完成.問：如果同時打開1, 2, 3, 4號閥門，那么多少分鐘可以完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)條件，列表如下（畫 O示閥門打開，畫 謀示閥門關(guān)閉）1號2號3號4號工作效率OOOX120XOOO121OXOO128OOXO130從表中

24、可以看出，每個閥門都打開了三次，所以這4個閥門的工作效率之和為: 1+3=,那么同時打開這 4個閥門，需要 產(chǎn)1=18 （分鐘）.20 21 28 301818【答案】18分鐘【例21】某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小隊合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天才能完成.那么這五個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】首先將各個小隊之間的組合列成表：一隊二隊三隊四隊五隊工作效率OOOXX112OXOXO17XOXOO18OXOOX142從表中可以

25、看出， 一隊、三隊在表中各出現(xiàn)3次，二隊、四隊、五隊各出現(xiàn)2次，那么，如果將第二、四、五小隊的組合計算兩次，那么各種組隊的工作效率和中5個小隊都被計算了 3次.所以五個小隊11111人,.,“一.1的工作效率之和為：. 父2+ +3 = -,五個小隊一起合干需要 1+=6天.12 7 84266【答案】6天【鞏固】 A、B、C、D、E五個人干一項工作，若 A、B、C、D四人一起干需要 6天完成；若B、C、D、E四人一起干需要 8天完工；若 A、E兩人一起干需要12天完工.那么，若 E一人單獨干需 要幾天完工？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】 從題中可以看出， A、B、C、D四人

26、每天完成總量的B、C、D、E四人每天完成總量的 1 ,6811111A、E兩人每天完成總量的 ,，可見，E一人每天完成總量的 q+八-二,2二=，所以E一人單128 12 6481獨干需要1+=48天.48【答案】48天【例22】某市有一項工程舉行公開招標，有甲、乙、丙三家公司參加競標.三家公司的競標條件如下:公司名稱單獨完成工程所需天數(shù)每天工資/萬元甲105.6乙153.8丙301.7 如果想盡快完工，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？需要多少天完成?如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？完工時要付工資多少元？【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009年，十三分，入學(xué)測試【解

27、析】如果要想盡快完工，應(yīng)該選擇效率較高的兩家公司.由于甲、乙、丙三家公司單獨做時，每天完成的工作量分別為工、工、工，所以應(yīng)該選擇甲、乙101530這兩家公司合作.11甲、乙兩公司合作，完成工程需要的時間為1+（，+，）=6天；10 15如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇完成全部工程所需總工資較少的兩家公司.由于甲、乙、丙三家公司單獨完成全部工程所需要的工資成本分別為5.6父10=56萬元、3.8x15=57萬元、1.7x30=51萬元，所以應(yīng)當(dāng)選擇甲、丙這兩家公司合作.11 甲、丙兩公司合作需要 1+（+）=7.5天才能完成工程，完工時要付的工資為：10 30（5.6 +1.7）黑 10000

28、M7.5 =547500 元.【答案】547500元【鞏固】 一項工程，若請甲工程隊單獨做需4個月完成，每月要耗資 9萬元；若請乙工程隊單獨做此項工程需6個月完成，每月耗資 5萬元.請問甲、乙兩工程隊合作需幾個月完成？耗資多少萬元？現(xiàn)要求最遲5個月完成此項工程即可，請你設(shè)計一種方案，既保證按時完成任務(wù)，又最大限度節(jié) 省資金.【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答., 一 _一 ， 一 、 ， , 11_ 一 一一 一，、【解析】甲、乙兩工程隊每月完成的工程量分別占全部工程的- -,那么甲、乙合作所需時間為：46111 3（1+1）=2.4個月；甲、乙合作 2.4個月所耗資金為：（9+5）父2

29、.4 =33.6（萬兀）.甲工程隊完成全部工作要耗資9M4 =36萬元，乙工程隊完成全部工作要耗資5父6 = 30萬元，乙工程隊耗資較少，為了節(jié)省資金，應(yīng)盡量請乙工程隊來做，但是乙工程隊無法單獨在五個月內(nèi)完成工程，所以還需要請甲工程隊來幫助完成一部分工程.所以，在五個月內(nèi)完成的最好方案為：乙工程做5個月，甲工程隊做（1-5） =1=2個月，即：甲、乙兩工程隊合作2個月后，乙工程隊再單獨做1364 333個月.【答案】33.6萬元2 一一 .13 一甲、乙兩工程隊合作 上個月后，乙工程隊再單獨做 13個月33【例23】一項工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款 2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款 2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作， 30天可以完成，需付工程款 2700元.現(xiàn)決定 將工程承包給某一工程隊，確保工程要在100天以內(nèi)完成，且支付的工程款盡量的少，那么應(yīng)該將工程交給哪一個工程隊，支付的工程款是多少元？【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【解析】甲、乙、丙、丁的工效和是:,111(45 40 361 、 .c 13+) = 3 =;30360甲的工效是:丙