平面向量中三點(diǎn)共線定理探究

1、平面向量中“三點(diǎn)共線向量定理”探究三點(diǎn)共線定理在教材中沒有作為定理使用，但在各級(jí)考試中卻應(yīng)用廣泛，筆者嘗試通過聚焦結(jié)論，優(yōu)化思路，多維度揭示定理的價(jià)值所在向量共線定理：對(duì)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量r r實(shí)數(shù)，使a b.r rrrrra、bb0,a /b的充要條件是：存在唯一的由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理:三點(diǎn)共線定理：已知平面內(nèi)一組基底 則A , B , P三點(diǎn)共線，當(dāng)且僅當(dāng)uuu uuruuu uiuiruuuuuuOA QB及任一向重 OP, OP10A2OB1，2 R1+2= 1.1,使證明：如圖uur uuuAP ABuurOPA,B,P三點(diǎn)共線,uuruur uuuOAOB OA當(dāng)且

2、僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)uuuruuuuurOP1 OAOB,10令1=1uuu即為向量OP的系數(shù)uur uuu uur，則OP 1OA 2OB，且 1+ 2= 1.定理特征：uuu uuu1向量OAOB的系數(shù)之和等于11 ,此時(shí)1=10，此時(shí)1=12點(diǎn)P的位置是隨著1,2的變化而變化的uuuuuu令 1=1, 2, OP 1 OA當(dāng)點(diǎn)P在線段A時(shí)時(shí)，01,此時(shí)1=1當(dāng)點(diǎn)P在線段AB勺延長(zhǎng)線上時(shí)， 點(diǎn)Pft線段AES向延長(zhǎng)線上時(shí)，.如圖uuruuuuur2 ,OP1OA2OB且1+ 2 =:1uuuuuuruuruuruuruuuuuuOBOP OAOBOAAPAB0,1 , 20,1,0,21,0

3、,2,0當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，=0,此時(shí)1=1當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),=1 ,此時(shí)1=11,200,21.uur uuu推論：在 OA沖，P為直線AB上的一點(diǎn)，且 AP PB,uuu 1 uuu uur則OP OAOB11定理應(yīng)用1:由三角形邊上的分點(diǎn)引出向量問題例1.在uuuABC 中，ABr uur rc, AC b,若點(diǎn) Duur滿足BDuuir2DC,uuur則AD2rA b1 r-c2r C.-b口 5r 2rB. c b1 r-cc 1r 2r D. b cuur所以AD1 uuuAB + 1+2uuur練習(xí)1.在ABC1 r AC = -c1+2332 r 一-b ,所以答案為A.uu

4、iT中，已知點(diǎn)D是AB4上一點(diǎn)，若 ADuuur uur 2DB,CD1 uur -CA 3uuuCB,貝UA. 23C.-3D.-3解析：如圖4 ,一， , 1因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線，所以- 十31,所以答案為A.定理應(yīng)用2:由過三角形一邊上分點(diǎn)的直線引出向量問題例2.如圖5 ,在 ABC中，點(diǎn)P是直線BC±的一點(diǎn)，且滿足uuuuuuir uur uur交直線AB,ACT不同白兩點(diǎn)M,N,若AM mAB , AN nAC, muuuBP0,nuuirPC ,過點(diǎn)P的直線分別0 ,貝一 m nuur解析：由推論可知，AP1 uurAB1uur 1 uuuuuuirAC AM AN11

5、m 1n因?yàn)镸 , P, N三點(diǎn)共線,一+=1,m 1 n+ -=1+ . m n練習(xí)2.如圖6 ,在ABC uuir于不同的兩點(diǎn)M,N,若AB中，點(diǎn) 皿BC勺中點(diǎn),過點(diǎn)D的直線分別交直線AB,AC uunn uuuruuirmAM , AC nAN ,則 m n解析：因?yàn)槊驜C勺中點(diǎn),所以u(píng)uir AD1 uur 1 uurAB AC22m uuur -AMn uuir -AN, 2又因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線，所以m n一十 - 1,所以 m+n 2.練習(xí)3.如圖7 ,在ABCuuruuir中，點(diǎn)D滿足BD =2 DC,過點(diǎn)D的直線分別交直線AB,ACuuuu于不同的兩點(diǎn)M,N,若AMuur

6、uuiruuur 1 2mAB, AN nAC,則一m nuuir解析：令 =2,則AD1 uuuu AM 1+2 m2u1r12例3.如圖8 ,設(shè)點(diǎn)就在ABCuuur uurr iur 且滿足AM mAB , AN定理應(yīng)用3:由過三角形重心的直線引出向量問題的重心，過點(diǎn)G直作直線MNF直線AB,ACfc于不同的兩點(diǎn)M,N,uuur11nAC , m 0, n 0 ,則一一 m n解析：設(shè)MBC勺中點(diǎn),uur則AG2 uuir -AD31 uuir 1 uuur1 uuuu 1 uur1 AB * 1 AC AM ,AN,因?yàn)?M,G,N333m3n三點(diǎn)共線，工=1,3m 3m=3. m練習(xí)4

7、.如圖8 ,設(shè)點(diǎn)加在 ABC的重心,過點(diǎn)G直作直線MN1直線AB,ACM邊分別交于uuuuM,N,兩點(diǎn),且AMuur uuiruuurmAB, AN nAC , mAMN2 - E§ S abc ,則 m1 -右m 貝Un2一一 一 , 1解析：因?yàn)橐?m1=3, n1 時(shí)，n 1. 2因?yàn)槿鬝 AMN3sABC ,S AMNS ABC1AM AN sin MAN=21八AB AC sin 2BACmn23,因?yàn)楣?=3m n3mn 2.定理應(yīng)用4:由三點(diǎn)共線定理引出的數(shù)列求和問題uuu uuu例4.已知等差數(shù)列uur且A,B,C三點(diǎn)共線an的前 n項(xiàng)和為 & ,若OB =

8、a10A +a2ooOC ,該直線不過原點(diǎn)0 ,則S200 =A100B.101C.200D.201解析：由A,B,C三點(diǎn)共線可知，a!+a2oo=1,200 a1 +a200S200 = T=100.所以答案為A.uuu uuur解析：因?yàn)锳B=dBCA B,C三點(diǎn)共線a2+a2019=1，S20202020 a2 + a2019 =1010.2所以答案為B.定理應(yīng)用5:由三點(diǎn)共線定理引出的不等式求最值問題例5如圖9 ,在ABC中, uuur于不同的兩點(diǎn)M,N,若AMuuiruur點(diǎn)D滿足BD =2 DCuur uur mAB, ANA.3B.4uuurnAC, mC.83,過點(diǎn)D的直線分別

9、交直線 AB,AC0,n 0則2n最小值為c 10D.3解析：因?yàn)閡uir uuir uuurBD =2 DC,Q AD11+2 muuuuAMuuur-AN, n12一 一3. m nm 2nm 2n 3m23n2n 2m3m 3n2-3.3故選A.1時(shí)成立,n即muur2019OC，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)空= 2m, 3m 3nuuin unn且 AB=dBC, OA.0BC,則S200 =B.1009C.2017D .2020練習(xí)7.如圖10 ,在ABCuur中，點(diǎn)D是BC勺中點(diǎn)過點(diǎn)D的直線分另I交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若ABuuuu uuur mAM , ACuuir1 nAN，則一2的最小值為A43+ . 2B.2C.- +2D.6解析：因?yàn)镈是BC勺中點(diǎn),