計(jì)算物理tjnuCP-4

1、7-17-1 明確數(shù)據(jù)平滑的功能與目的明確數(shù)據(jù)平滑的功能與目的 掌握加權(quán)線性移動(dòng)平滑方法的原理和算法掌握加權(quán)線性移動(dòng)平滑方法的原理和算法 了解常用非線性平滑方法的算法了解常用非線性平滑方法的算法7-27-2對(duì)象：對(duì)象：通過(guò)實(shí)驗(yàn)或其它方式采集的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)中包含因外界通過(guò)實(shí)驗(yàn)或其它方式采集的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)中包含因外界干擾或其它因素而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)誤差（噪聲）干擾或其它因素而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)誤差（噪聲）濾波：濾波：從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中消除噪聲影響的方法稱為濾波從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中消除噪聲影響的方法稱為濾波 模擬濾波：用模擬濾波器對(duì)模擬信號(hào)的濾波模擬濾波：用模擬濾波器對(duì)模擬信號(hào)的濾波 數(shù)字濾波：對(duì)數(shù)字信號(hào)的濾波數(shù)字濾波：對(duì)數(shù)字信號(hào)

2、的濾波 時(shí)域?yàn)V波：直接對(duì)時(shí)間數(shù)字序列的濾波。時(shí)域?yàn)V波：直接對(duì)時(shí)間數(shù)字序列的濾波。（平滑是其中一種簡(jiǎn)單方法）（平滑是其中一種簡(jiǎn)單方法） 頻域?yàn)V波：時(shí)域信號(hào)頻域?yàn)V波：時(shí)域信號(hào) 頻域信號(hào)頻域信號(hào) 時(shí)域信號(hào)時(shí)域信號(hào) FT濾波后濾波后 IFT目的：目的：對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)修勻，盡可能消除噪聲的影響，使修勻后對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)修勻，盡可能消除噪聲的影響，使修勻后的數(shù)據(jù)落在一條光滑曲線上的數(shù)據(jù)落在一條光滑曲線上7-37-3b）平滑后的平滑后的曲線曲線a）原始實(shí)驗(yàn)曲原始實(shí)驗(yàn)曲線線7-47-4對(duì)序列對(duì)序列 yi 進(jìn)行平滑的最簡(jiǎn)單的方式是：以進(jìn)行平滑的最簡(jiǎn)單的方式是：以yi為中心在其前為中心在其前后對(duì)稱地取出后對(duì)稱地取出2 2m

3、m+1+1個(gè)數(shù)據(jù)，求平均值后作為個(gè)數(shù)據(jù)，求平均值后作為yi修正值，即修正值，即設(shè)有設(shè)有一個(gè)等間距采集的數(shù)據(jù)序列：一個(gè)等間距采集的數(shù)據(jù)序列：1212,nnxxxyyy1(1)(1,2, )kxxkhkn m m =1=1：三點(diǎn)平滑：三點(diǎn)平滑m m =2=2：五點(diǎn)平滑：五點(diǎn)平滑m m =3=3：七點(diǎn)平滑：七點(diǎn)平滑121(1,2,)miijjmyymimmnm m m =1=1：三點(diǎn)平滑：三點(diǎn)平滑m m =2=2：五點(diǎn)平滑：五點(diǎn)平滑m m =3=3：七點(diǎn)平滑：七點(diǎn)平滑121(1,2,)miijjmyymimmnm 7-57-5對(duì)表中所列數(shù)據(jù)的單純線性平滑對(duì)表中所列數(shù)據(jù)的單純線性平滑 三點(diǎn)平滑（三點(diǎn)平

4、滑（m=1m=1）1 1、平滑后的數(shù)據(jù)離散、平滑后的數(shù)據(jù)離散程度變小；程度變小；2 2、數(shù)據(jù)兩端各有一個(gè)、數(shù)據(jù)兩端各有一個(gè)點(diǎn)未得到修正；點(diǎn)未得到修正；3 3、數(shù)據(jù)平滑后可能會(huì)、數(shù)據(jù)平滑后可能會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的失真。導(dǎo)致信號(hào)的失真。 7-67-6mm越大，越大，平滑性越平滑性越好，但信好，但信號(hào)失真度號(hào)失真度也越大。也越大。7-77-7單純移動(dòng)平滑的缺點(diǎn)是，在消除噪聲的同時(shí)也抑制了信號(hào)的單純移動(dòng)平滑的缺點(diǎn)是，在消除噪聲的同時(shí)也抑制了信號(hào)的真實(shí)信息，造成信號(hào)的失真。為此引入加權(quán)平滑。真實(shí)信息，造成信號(hào)的失真。為此引入加權(quán)平滑。加權(quán)移動(dòng)平滑的基本思想是：加權(quán)移動(dòng)平滑的基本思想是：（包括現(xiàn)性和非線性加權(quán)）包

5、括現(xiàn)性和非線性加權(quán)）目的：在消除噪聲的同時(shí)盡可能保留中心處的信息目的：在消除噪聲的同時(shí)盡可能保留中心處的信息平均區(qū)間平均區(qū)間最大權(quán)最大權(quán)權(quán)值漸小權(quán)值漸小權(quán)值漸小權(quán)值漸小1212ii miiiii myyyyyyy 7-87-8113211211()(2,3,1)31(52)61(25)6iinnininyyyinyyyyyyyyy 用三點(diǎn)線性平滑修正后的數(shù)據(jù)用三點(diǎn)線性平滑修正后的數(shù)據(jù)：12321nnnyyyyyy原始數(shù)據(jù)：原始數(shù)據(jù)：中間部分?jǐn)?shù)據(jù)用平權(quán)平均中間部分?jǐn)?shù)據(jù)用平權(quán)平均兩端數(shù)據(jù)用加權(quán)平均兩端數(shù)據(jù)用加權(quán)平均請(qǐng)注意平均區(qū)域中心處數(shù)據(jù)的權(quán)值！請(qǐng)注意平均區(qū)域中心處數(shù)據(jù)的權(quán)值！ 7-97-9觀測(cè)數(shù)

6、據(jù)：觀測(cè)數(shù)據(jù)：1(1)ixxix 自變量自變量x 以步長(zhǎng)以步長(zhǎng) x等間距變化等間距變化1 1）在）在2 2 i i n n-1-1區(qū)間內(nèi)：區(qū)間內(nèi)：以以yi為中心對(duì)稱地取出為中心對(duì)稱地取出3 3個(gè)數(shù)據(jù)：個(gè)數(shù)據(jù)：11:101i tiiityyyy 設(shè)三個(gè)點(diǎn)的修正值落在一條直線上：設(shè)三個(gè)點(diǎn)的修正值落在一條直線上：i tyabt 則對(duì)應(yīng)每個(gè)則對(duì)應(yīng)每個(gè)t t，有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值：，有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值：引入新的整數(shù)型自變量：引入新的整數(shù)型自變量：ixxtx 將自變量將自變量x變?yōu)檎麛?shù)變?yōu)檎麛?shù)t，并將，并將數(shù)據(jù)平均中心數(shù)據(jù)平均中心 移至處移至處t=0處處7-107-10利用最小二乘法可以確定一條最優(yōu)直線，即令利用最小二

7、乘法可以確定一條最優(yōu)直線，即令112211( , ) ( )()i ti ttta by tyabty 最小值最小值11110()00()0i tti ttabtyaabtytb 11111()31()2iiiiiayyybyy解出解出1111:101:i tiiii tiiityyyyyyyy 用直線用直線原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)i tyabt 修正的數(shù)據(jù)修正的數(shù)據(jù)代入直線方程并令代入直線方程并令t t = 0= 0，得到：，得到：111()(2,3,1)3iiiiyyyyin 7-117-112 2）在）在i i =1=1處：處：取出取出y1及及臨近臨近2 2個(gè)數(shù)據(jù)：個(gè)數(shù)據(jù)：11231123:01

8、2:tttyyyyyyyy 原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)1 tyabt 修正數(shù)據(jù)修正數(shù)據(jù)令：令：2210( , )()tta babty 最小值最小值123131(52)61()2ayyybyy解出解出210210()0()0ttttabtyabtyt 代入直線方程并令代入直線方程并令t t = 0= 0，得到：，得到：11231(52)6yyyy 7-127-122 2）在）在i i = =n n 處：處：取出取出yn及及臨近臨近2 2個(gè)數(shù)據(jù)：個(gè)數(shù)據(jù)：2121:210:n tnnnn tnnntyyyyyyyy原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)n tyabt 修正數(shù)據(jù)修正數(shù)據(jù)令：令：022( , )()n tta bab

9、ty 最小值最小值2121(25)61()2nnnnnayyybyy 解出解出0202()0()0n ttn ttabtyabtyt 代入直線方程并令代入直線方程并令t t = 0= 0，得到：，得到：211(25)6nnnnyyyy 7-137-13用類(lèi)似的原理，還可得到五點(diǎn)和七點(diǎn)線性平滑公式用類(lèi)似的原理，還可得到五點(diǎn)和七點(diǎn)線性平滑公式 21121123452123451432143211()(3,4,2)51(320)51(4320)101(0234)101(023)5iiiiiinnnnnnnnnnnnyyyyyyinyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy五點(diǎn)線性平滑公式：五點(diǎn)

10、線性平滑公式：7-147-14331123456721234567312345672654321161(4,5,3)71(13107425)281(54320)141(765432)281(234567)281(14ii ttnnnnnnnnnnyyinyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 5432165432102345)1( 52471013)28nnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyy 七點(diǎn)線性平滑公式：七點(diǎn)線性平滑公式：7-157-157-167-16線性加權(quán)平滑的特點(diǎn)是，用數(shù)據(jù)線性加權(quán)平滑的特點(diǎn)是，用數(shù)據(jù)y yk k及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做

11、及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條直線，而修正后的數(shù)據(jù)一條直線，而修正后的數(shù)據(jù) 落在直線之上。落在直線之上。ky 非線性加權(quán)平滑的特點(diǎn)是，用數(shù)據(jù)非線性加權(quán)平滑的特點(diǎn)是，用數(shù)據(jù)y yk k及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條做一條mm次曲線，用這條曲線得到數(shù)據(jù)修正值：次曲線，用這條曲線得到數(shù)據(jù)修正值：ky 曲線可由最小二乘法確定，即令：曲線可由最小二乘法確定，即令：2001()()mmmi ttaaaa ta ty 最小值最小值0101()0()0mmi ttmmi ttaa ta tyaa ta tyt 由此可確定曲線方程的各個(gè)系數(shù)由此可確定曲線方程的各個(gè)系數(shù)7-177-17由最小二乘法確定各系數(shù)

12、，即令：由最小二乘法確定各系數(shù)，即令：22012012(,)()i tta a aaa ta ty 最小值最小值二次平滑：用數(shù)據(jù)二次平滑：用數(shù)據(jù)y yk k及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條二二次曲線：次曲線：2012i tyaa ta t 20122012()0()0i tti ttaa ta tyaa ta tyt 常用公式有五點(diǎn)二次平滑和七點(diǎn)二次平滑常用公式有五點(diǎn)二次平滑和七點(diǎn)二次平滑7-187-18 22111123452123451432143211 3()12()17)35(3,4,2)1(319353)351(9131265)351( 5612139)351(353

13、931)35iiiiiinnnnnnnnnnnnyyyyyyinyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy7-197-193322111123456721234567312345672654321 2()3()6()7211(321534635)421(54320)141(34432)141( 2344314iiiiiiiinnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 11654321654321)1(02345)141(536431532)42nnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyy (4,5,3)in 7-2

14、07-20由最小二乘法確定各系數(shù)，即令：由最小二乘法確定各系數(shù)，即令：232030123(,)()i ttaaaa ta ta ty 最小值最小值三次平滑：用數(shù)據(jù)三次平滑：用數(shù)據(jù)y yk k及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條及鄰近的若干個(gè)數(shù)據(jù)做一條三三次曲線：次曲線：230123i tyaa ta ta t 230123230123()0()0i tti ttaa ta ta tyaa ta ta tyt 常用公式有五點(diǎn)三次平滑和七點(diǎn)三次平滑常用公式有五點(diǎn)三次平滑和七點(diǎn)三次平滑7-217-21 22111123452123451432143211 3()12()17)35(3,4,2)1(69464)7

15、01(2271282)351(2812272)351(46469)70iiiiiinnnnnnnnnnnnyyyyyyinyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy7-227-22332211112345672123456731234567265431 2()3()6()7211(3984442)421(819166474)421( 416191224)421(4212142iiiiiiiinnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 2116543216543219164)1(474616198)421( 2444839)42nnnnnnnnnn

16、nnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (4,5,3)in 7-237-23線性平滑光滑性較線性平滑光滑性較好，但容易引起信好，但容易引起信號(hào)失真；號(hào)失真；非線性平滑可保留非線性平滑可保留原信號(hào)的更多細(xì)節(jié)原信號(hào)的更多細(xì)節(jié)7-247-24寫(xiě)出一個(gè)程序，具有下列功能：寫(xiě)出一個(gè)程序，具有下列功能：1）執(zhí)行多點(diǎn)單純移動(dòng)平滑；）執(zhí)行多點(diǎn)單純移動(dòng)平滑；2）執(zhí)行）執(zhí)行37點(diǎn)線性加權(quán)平滑點(diǎn)線性加權(quán)平滑3）能夠執(zhí)行）能夠執(zhí)行2次和次和3次平滑次平滑8-18-1 掌握掌握矩形法和梯形法矩形法和梯形法 掌握辛仆生固定步長(zhǎng)河變步長(zhǎng)算法掌握辛仆生固定步長(zhǎng)河變步長(zhǎng)算法 了解數(shù)值積分在物理問(wèn)題中的應(yīng)用了解

17、數(shù)值積分在物理問(wèn)題中的應(yīng)用8-28-2( )baSf x dx xixi+1定積分的近似值為：定積分的近似值為：1()niiSf x h 計(jì)算的精度取決于計(jì)算的精度取決于小矩形的個(gè)數(shù)小矩形的個(gè)數(shù)n 將積分區(qū)間將積分區(qū)間a，b n等分，第等分，第 i i 個(gè)小矩個(gè)小矩形的面積為：形的面積為：()iiSf x h ()hx 8-38-38-48-4將積分區(qū)間將積分區(qū)間a，b n等分，第等分，第 i i 個(gè)小梯個(gè)小梯形的面積為：形的面積為：1 ()()2iiihSf xf x 定積分的近似值為：定積分的近似值為：11 ()()2niiihSf xf x 計(jì)算的精度取決計(jì)算的精度取決于小梯形的個(gè)數(shù)于小

18、梯形的個(gè)數(shù)n 和被積函數(shù)的和被積函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 或：或：2 ( )( )2()2nkkhSf af bf x ( )baSf x dx xixi+1h8-58-5小梯形的面積可由一個(gè)等面積的矩形替代，小梯形的面積可由一個(gè)等面積的矩形替代，這個(gè)矩形的高是線段這個(gè)矩形的高是線段g(x)的中點(diǎn)。由兩點(diǎn)的中點(diǎn)。由兩點(diǎn)線性插值公式可得到：線性插值公式可得到： 111111( )()()1 ()()()()iiiiiiiiiiiixxxxg xf xf xxxxxf xxxf xxxh 矩形的高和面積分別為：矩形的高和面積分別為：1211() ()()2iiig xf xf x 121)() ()

19、()2iiiihSg xhf xf x h8-68-68-78-71：在區(qū)間：在區(qū)間a，b 上，上，h1=h=b-a1 ( )( )2hSf af b2 ( )( )2 ()2nkkhSf af bf x 22 ( )( )2 ()4hSf af bf x 2：將區(qū)間：將區(qū)間2等分，等分， h2=h/2，n=2 2 2212211()2kkShf x3：將區(qū)間：將區(qū)間4等分，等分， h3=h/4，n=4 432 ( )( )2 ()8kkhSf af bf x 3 2223211()2kkShf xm：將區(qū)間：將區(qū)間2m-1等分，等分， hm=h/ 2m-1 ，n= 2m-1 221211()

20、2mmmmkkSShf x 1mmSS直到直到： 為止為止 8-88-84243128x dx 8-98-9在區(qū)間在區(qū)間a，b上插入上插入2M+1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間2M等分。每過(guò)三點(diǎn)作等分。每過(guò)三點(diǎn)作一條拋物線（二次插值，或三點(diǎn)插值）：一條拋物線（二次插值，或三點(diǎn)插值）：12132( )( ) ()( ) ()( ) ()iiiig xA x f xA x f xA x f x12112()()( )()()iiiiiixxxxA xxxxx 22112()()( )()()iiiiiixxxxA xxxxx 13221()()( )()()iiiiiixxxxA xxxxx 2h8-1

21、08-10積分后得到：積分后得到：1221221 ()4 ()()3 ()4 ()()3kiiikkkhSf xf xf xhf xf xf x 將將M個(gè)曲頂梯形的面積求和，得到定積分的近似值：個(gè)曲頂梯形的面積求和，得到定積分的近似值： 212211( ) ()4 ()()3Mbkkkakhf x dxf xf xf x 圖中曲頂梯形的面積為：圖中曲頂梯形的面積為： 2( )iixkixSg x dx 211,ikkM 8-118-111mmSS 直到直到： 為止為止 11123 ()4 ()()3hSf xf xf x 1：n=3, h1=(b-a)/2222212211 ()4 ()()3kkkkhSf xf xf x 2：n=5, h2=h1/2212211 ()4 ()()3MMkkkkhSf xf xf x 433212211 ()4 ()()3kkkkhSf xf xf x 3：n=9, h3=h2/212212211 ()4 ()()3mmmkkkkhSf xf xf x m：n=2m+1, hm=hm-1/28-128-1212212211 ()4 ()()3mmmkkkkhSf xf xf x 1121212122111 ()()2()4()3mmmmkkkkhf xf xf xf x 首尾兩點(diǎn)首尾兩點(diǎn)奇數(shù)位上點(diǎn)的和奇數(shù)位上點(diǎn)的和偶數(shù)位上