二重積分的計(jì)算

1、 2二重積分的計(jì)算【目的要求】1、熟練掌握先x后y和先y后x的二次積分方法；2、會(huì)熟練交換積分次序；會(huì)利用積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性簡化二重積 分的求解；3、熟練掌握先r后9的二次積分方法；4、會(huì)熟練地進(jìn)行直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分的互化.【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、二重積分計(jì)算方法的建立；2、二重積分化為二次積分時(shí)積分限的配置；3、直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分的互化.【教學(xué)內(nèi)容】根據(jù)二重積分的定義來計(jì)算二重積分，對(duì)于一下特別簡單的被積函數(shù)和積分 區(qū)域來說是可行的，但對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域來說，常常是很困難的因此，需要 我們探求新的簡便可行的計(jì)算方法本節(jié)我們將介紹把二重積分化為累次積分(即兩次定積分

2、)的方法.一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分下面我們將利用二重積分的幾何意義討論.f(x,y)d匚的計(jì)算問題，以下假D定f(x, y) 0 在直角坐標(biāo)系中，二重積分的面積元素 d-可表示為dxdy，即f (x,y)df (x,y)dxdy .DD圖7-4如圖7-4所示，其中：i(x) , - 2(x)在區(qū)間la,b 上連續(xù)這種區(qū)域的特點(diǎn)是: 若穿過D內(nèi)部的一點(diǎn)與y軸平行的直線，則該直線與區(qū)域的邊界相交不超過兩 點(diǎn)，我們稱之為X型區(qū)域.按二重積分的幾何意義，iif(x,y)d；的值等于以D為底，以曲面z=f(x,y)D為頂?shù)那斨w的體積.我們可以應(yīng)用“平行截面面積為已知的立體的體積”的 方法計(jì)算這

3、個(gè)曲頂柱體的體積.先計(jì)算截面積為此，在區(qū)間la,b 上任意取定一點(diǎn)xo，作平行于yOz面的平面x=x 這平面截曲頂柱體所得的截面是一個(gè)以區(qū)間 ：i(x0), 2(x0)為底、曲線z = f (xo, y)為曲邊的曲邊梯形(圖7-5中陰影部分)，yozz 二f(x,y)ax b圖7-5所以這截面的面積為2 (x0)A(xo)=.陽 f(xo,y)dy .一般地，過區(qū)間la,b 1上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為$(x)A(x)二.,(x) f (x, y)dy -于是，應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體的體積的方法，得曲頂柱體的體積為ba_ $(x)IV = A(x)dx

4、=(閔(X)f (x, y)dy dx .這個(gè)體積就是所求的二重積分的值，從而有等式.f(x,y)d二D卩p(x)f(x,y)dy(1)上式右端的積分叫做先對(duì)y后對(duì)x的二次積分，即先把x看作常數(shù)，f (x, y) 只看作是y的函數(shù)，并對(duì)y計(jì)算從：!(x)到：:2(x)的定積分，然后把計(jì)算結(jié)果(是 關(guān)于x的函數(shù))對(duì)x計(jì)算在區(qū)間l.a,b 1上的定積分這個(gè)二次積分也可以記作b2(x)Jdx f(x,y)dy a - -i (x)因此，(1)式也可寫成b(x)f(x, y)d；二 adxx)f (x, y)dy，(2)D這就是把二重積分化為先對(duì)y后對(duì)x的二次積分的公式.在上述討論中，我們假定f(x,

5、y)_0，但實(shí)際上公式(1)的成立并不受此條件 的限制.類似地，如果積分區(qū)域D可表示為不等式，- i(y- 2(y) 如圖7-6所示，其中(y)、2(y)在區(qū)間l-c,d 1上連續(xù)，那么就有f (x, y)d 二=y -2 ( 屮Q IT=Jf(x, y)dx)(3)D2(y)o7-6圖式右端的積分叫做先對(duì)dx再對(duì)y的二次積分，該積分區(qū)域的特點(diǎn)是穿過D內(nèi)部的一點(diǎn)作與x軸平行的直線.則該直線于區(qū)域的邊界相交不超過兩點(diǎn)，我們稱之為Y型區(qū)域這個(gè)二次積分也可以記作d Sy)cdy .仙 f(x,y)dx - 因此，(3)式也可寫成dV2 (y)f (x,y)d ：； - .c dy , (y) f (

6、x, y)dx .D一般地，對(duì)于二重積分f(x,y)d二，根據(jù)積分區(qū)域D的特點(diǎn)，若既是X型D又是Y型，則公式 、(3)均可用，且這兩個(gè)不同次序的二次積分相等，因?yàn)樗?們都等于同一個(gè)二重積分f(x,y)d匚；若既不是X型又不是丫型，則我們要利D用分割把區(qū)域分成幾部分，使每個(gè)部分或是X型或是丫型.在圖7-7中，把D分 成三部分，它們都是X型區(qū)域，從而在三部分上的二重積分都可應(yīng)用公式(2)，再根據(jù)二重積分的性質(zhì)2,它們的和就是在D上的二重積分.圖 7-7dd下面我們通過例子來說明.例1計(jì)算xydb，其中D是有直線y =1 , x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域.D解首先畫出積分區(qū)域D (如圖7-8

7、)所示，D既是X型又是Y型，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式，即有兩種解法，如下：解法2 x212.xyd；丁 = 1 dx 1 xyd 1 ( x y D21dxy-1解法2 2 2 1 2 xydb = ( dx Jy xydy = ( (-x y) nZ；dy1 2 x圖7-8例2 計(jì)算.xyd匚，其中D是由拋物線y及直線y =x-2所圍成的閉242區(qū)域.x解 首先畫出積分區(qū)域D如圖7-9所示， D既是X型又是Y型的，因此既可以利用公式 (2)也可以利用公式 ，即有兩種解法，如下：解法一將它看成X型區(qū)域，則由于在區(qū)間0,1及1,4上表示l(x)的式子不同，需要 分成兩個(gè)小區(qū)域，我們

8、分別記為 D,和D2，其中Di - l(x, y) - x _ y _ x,0 _x -1，D2 - (x, y) | x - 2 _ y _、x,0 _ x _ 1J.因此，根據(jù)二重積分的性質(zhì)2,有1 伐4-/xxyd；- xyd-亠 nxydc - odxxydx 訂 dx xxydy DDD2一訂 x(y2)性 dx+fx(1y2)| 已dx45-8 .解法二將它看成丫型區(qū)域，則D =(x,y) _1 蘭 y 蘭2,y2 蘭 x 蘭 y+ 2，于是11xyd D2y -2jdyxydx =2 x2y 2y245由此可見，利用公式(2)來計(jì)算比較麻煩.例3 計(jì)算 y 1 x2 -y2d匚，

9、其中D是由直線y二x、x=-1和y = 1所圍 D成的閉區(qū)域.解畫出積分區(qū)域D (如圖7-10所示)，D既是X型的，又是Y型的.若利用公式(2)，得.y -1 x2 -y2 界=:dxD；”1 X2 -y2dy1)1 1 2 2-3.,(1 x -y )Xdx1 13一3 *(|x|31)dx2 131(x -1)dx 二 32若利用公式(4),得圖 7-10x2y2d；二dy 1 x2y2dx ,其中關(guān)于x的積分計(jì)算比較麻煩所以這里用公式（2）計(jì)算較為方便.例4 計(jì)算Sin-y，其中D是由拋物線y2 =x及直線y = x所圍成的閉D y原函數(shù)，因此計(jì)算無法繼續(xù)下去.如果將它看成丫型區(qū)域，D=

10、（x,y）O蘭yy2 S蘭y，則sin yyy sin ydxsin yy(y - y2)dy恰當(dāng)?shù)亩畏e分的次序.這時(shí)，不僅需要考慮積分區(qū)域D的形狀，還要考慮被積函數(shù)f (x, y)的特性.aya例 5 試證：dy eb2)f(x)dx (a - x)ebz)f (x)dx，其中 a,b均為常數(shù)，且a 0 .證分析：等式左邊是個(gè)先對(duì)x再對(duì)y的二次積分，等式右邊是個(gè)關(guān)于x的定積分，而 被積函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)，所以不妨交換積分 次序，即換成先對(duì)y再對(duì)x的二次積分，如圖7-12所示.等式左邊=0 dx L e f(x)dy = (a -x)e (x f (x)dx .例6 求兩個(gè)底圓半徑都等于R的

11、直交圓柱面所圍成的立體的體積.解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為X2 y2 二 R2 及 X2 Z2 二 R2 .利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性，只要計(jì)算它在第一卦限部分(圖 7-13(a)的 體積V,，然后再乘以8就是所求立體的體積.所求立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的底為D = (x, y)OxR,Oy Jr2 _x2 ，圖7-13(b)所示.它的頂是柱面z, R2 -x2 .于是圖 7-13 (a)圖 7-13 (b)利用公式(2),得V1R -x deDRR2 _x20血0R2x2dyC R2-x2y)ofjZdxR3 從而所求立體的體積為V =8V16R3.3二、利用極坐標(biāo)計(jì)算

12、二重積分有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程表示比較方便，而且被 積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r，二表示比較簡單.這時(shí)，我們可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì) 算二重積分iif(x, y)d二.D我們知道平面上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)rj與它的直角坐標(biāo)x,y之間的變換公式為x = r cost， y = r sin .n按二重積分的定義 f(x,y)d；-lim a f ( )，下面我們來研究這個(gè)和 的極限在極坐標(biāo)系中的形式.O圖 7-14假定從極點(diǎn)0出發(fā)且穿過閉區(qū)域 D 內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于 兩點(diǎn).我們用以極點(diǎn)為中心的一族同心圓： r二常數(shù)以及從極點(diǎn)出發(fā)的一族射線：二二 常數(shù)，把D分成n個(gè)小閉區(qū)域

13、(圖 7-14).除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積=6可計(jì)算如下:1 2 1 21 - j(r - r,) r,.丫珂1=；(2斤：rj r, 2(“) rw T冃,其中rf表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值.在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周r壬 上的一點(diǎn)(GT)，該點(diǎn)的直角坐標(biāo)設(shè)為i, i，則由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系有i = r cosn， i 二 r sin =.于是nnlim f( , i).：G =lim fWcosEJiSinR)* 笛.心,50 i4刃 y即 11 f (x, y)d；-f(rcosr,rsin r)rdrdv .DD這里我們把點(diǎn)(r,R看做是在同一平面上的點(diǎn)(x,

14、y)的極坐標(biāo)表示，所以上式右端的積分區(qū)域仍然記作D .由于在直角坐標(biāo)系中 f (x, y)d二也常記作Df (x, y) dxdy所以上式又可寫成D11 f (x, y)dxdy 11 f (r cosy r sin Rrdrd n .(5)DD這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式，其中rdrdr就是極坐標(biāo)系中的面積元素.公式(5)表明，要把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的x， y分別換成rcos， r si nr，并把直角坐標(biāo)系中的面積元素dxdy 換成極坐標(biāo)系中的面積元素rdrd 即可.同樣，在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分也要將它化為二次積分，我們根據(jù)極

15、點(diǎn)與積分區(qū)域的關(guān)系分三種情況介紹.(1)極點(diǎn)0在區(qū)域D之外，如圖7-15所示，這時(shí)區(qū)域D在-:與v - -兩條射線之間，這兩條射線與區(qū)域D的邊界的交點(diǎn)把區(qū)域邊界分為兩部分，r =幾(旳，r二.這時(shí)區(qū)域D可以表示為D(r,R： v - 山(巧乞r 乞2(旳？， 于是圖 7-15f(rcosyrs in Rrdrdx dr f(rcosyrsi nRrdr .D_ 極點(diǎn)0在區(qū)域D的邊界上，如圖7-16所示，這時(shí)*9)=0,區(qū)域D可以表示為D J(r,R ： r ： -，0 乞r mr(?，于是11 f (r cost, rsin v)rdrd vDPd v f (r cosv,r sin v)rd

16、r . a極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，如圖7-17所示，這時(shí)區(qū)域D可表示為D=(r,日)0 蘭日 W2.0 WrWr(B)，于是iif(rcosdrsin )rdrd =d2二.心 心。 f(rcos,rs in )rdr .計(jì)算二重積分d性，其中D是由x1 2 y2玄1所確定的圓域.在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域D可以表示為D (rj) 0 心 2- ,0 r .于是,2 二.10 - -0dHX d 普=0 嘰2S，nr2dr8_3例8 計(jì)算二重積分11. x2 y2d二，其中D是圓x2 y2 = 2y圍成的閉區(qū)D域.解 圓x2 y2y的極坐標(biāo)方程是r =2si nr ,如圖7-18所示，積分區(qū)域D可以表

17、示為D - (r，對(duì) 0 ： v :二，0 乞 r 乞 2sin v /.于是x2 y2d _r2drd r _ d-:D兀 38 兀2.sin(1cos Rd cos)一8(CO$_Eos。今仝 2339x2 y2 乞 R2 ?.計(jì)算二重積分lie y )dxdy，其中D(x, y)D在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域D可以表示為D =(rj)O_r - 2 ,Q R .2 丄” 22 Ie4x y )dxdy dr e0 - 0 Drdr =2二 Je)2RR2、o (1 一e ).例10計(jì)算二重積分I二1z f如，其中D是直線y = x、x = 2及d ,(x2 y2)3上半圓周y = 2xx2所圍成的閉區(qū)域.解 畫出積分區(qū)域D，如圖7-19所示, 它在極坐標(biāo)下可表示為D科(。統(tǒng)遼生沁新蘭cos寸于是21n .IJ冒吉rdr 。耳如12cos -圖 7-19于是_1(sinr In |secr tan州)JI40八1吟-In( & 1) 2 2三、廣義二重積分若二元函數(shù)的積分區(qū)域是無界的，則類似于一元函數(shù)，我們可以先在有界區(qū) 域內(nèi)積分，然后通過取極限求此積分這類積分在概率統(tǒng)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用.2例11計(jì)算定積分1= e dx J-Q02解本題如果用定積分計(jì)算，由于e的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，