高數(shù)(下冊)復(fù)習(xí)資料完整

1、高等數(shù)學(xué)（ 向量代數(shù)無窮級數(shù)） 知識點向量與空間幾何向量：向量表示（ab）;向量運算（向量積）；向量的方向和投影空間方程：曲面方程（旋轉(zhuǎn)曲面和垂直柱面）；直線方程（參數(shù)方程和投影方程）平面方程：點法式（法向量）、一般式、截距式；平面夾角和距離直線方程：一般式、對稱式（方向向量）、參數(shù)式；直線夾角；平面交線（法向量積）切平面和切線：切線與法平面；切平面與法線多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)極限：趨近方式，等階代換偏微分和全微分：高階微分（連續(xù)則可等）；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（Jacobi 行列式 ）；多元函數(shù)極值：偏導(dǎo)數(shù)判定；拉格朗日乘數(shù)法（條件極值）重積分 二重積分：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)；對稱性；換元法三重積分：直角

2、坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)；對稱性重積分的應(yīng)用：曲面面積；質(zhì)心；轉(zhuǎn)動慣量；引力 曲線與曲面積分曲線積分：弧長積分；坐標(biāo)曲線積分（參數(shù)方程）；格林公式面積積分：對面積積分；坐標(biāo)面積積分；高斯公式 無窮級數(shù)級數(shù)收斂：通項極限 正項級數(shù)：調(diào)和級數(shù)；比較法和比較極限法；根值法；極限法；絕對收斂和條件收斂冪級數(shù)：收斂半徑和收斂域；和函數(shù)；麥克勞林級數(shù)（二次展開）Fourier 級數(shù)：傅里葉系數(shù)（高次三角函數(shù)積分）；奇偶延拓；正弦和余弦級數(shù)；一般周期的傅里葉級數(shù)矢量分析與場論（空間場基礎(chǔ)）方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)：向量參數(shù)式；偏導(dǎo)數(shù)；方向余弦梯度（grad）：方向?qū)?shù)的最值；梯度方向；物理意義（熱導(dǎo)方向與電場方向

3、）格林公式：曲線積分 二重積分；曲線方向與曲面方向全微分原函數(shù)：場的還原；折線積分 通量與散度高斯公式：閉合曲面 三重積分；曲面外側(cè)定向；曲面補齊；向量表達(dá)（通量）散度（div）:通量的體積元微分；物理意義（有源場（電場）環(huán)流量與旋度斯托克斯公式：閉合曲線一曲面積分；向量積定向；行列式表達(dá)；向量表達(dá)；物理意義（環(huán) 通量）旋度（rot）:行列式斯托克斯公式；物理意義（有旋場（磁場）第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表小向量uuu何大小、侶力問.記作a或ABaaxi ay j azk (ax, ay,az)rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量

4、a的模記作1a1IIF 222|a|眄 ayaz和差<cabaxbx, ayby, az bz感./cabc a b單位向量-aa 0,則 ea同(ax,ay,az)ea/ 222Vax ayaz力向余弦設(shè)a與x, y, z軸的夾角分別為,貝U方向余弦分另為 cos , cos , coscosea ( co2,cos +ax ay-r ,cos'j-rj',(ala)s ,cos , cos)22cos cos 1:os需la點乘（數(shù)量積）a b角abcos ,為向量a與b的夾a baxbxaybyazbz叉乘（向量積） cabc向為南 量albU量c與sina與b的夾

5、角 a, b者B垂直a bijkaxayazbxbybz定理與公式垂直a ba b 0a b axbxavbv azbz0x xy yz z平行a/ba b 0any. ax ay az a / b bxbybz交角余弦兩向量夾角余弦cos a b a bax bx aybycosf f2222/出ayaz寸azbzbx2by2bz2投影向量a在4prjbaa曇向量b上的投影/ a b cos(a b) -|bpaxbxaybyazbzprjba22Vbx2by2bz2平向直線法向量 n A, B,C點 M0(x0,y0,z。)刈向量 T m,n,p點 M 0(x0, y°, z&#

6、176;)方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式Aix Bi y Ciz Di 0A2X B2y C2z D 20點法式A(x Xo) B(y yo) C(z z°) 0點向式x X0 y y° zz0mnp三點式X Xi yyiz ZiX2XiV2yiz24X3Xiy3yiz3z0參數(shù)式x x0 mt y y° nt z 4 pt截距式x y z 1 a b c兩點式xX0yNozz0XiX0yiy°ziz0卸回垂直AA>B1B2C1c20線線垂直mi m2 ni n2pi p20囿囿平行AiBiCiA2

7、B2C2線線平行minipim2n2p2線圓垂直ABCm n p線面平行Am Bn Cp 0點面距離Mo(X0,yo,Z0)Ax By Cz D 0向向距離Ax By Cz Di 0 Ax By Cz D2 0d|AX0 By。Cz。Dd|DiD2IJa2b2 c2J A2 B2 C2向向夾角線線夾角線向夾角n1 A1,B1,C1 n2 A2, B2,C2Simi ,ni, Pi S2 3，電小s m,n,p n A,B,C|A4BiE2GC2Iccctcosmim2ni n2PiP2Am Bn CpSin/. 2 22 ; 2 22A A B C t m n pcos222222弋 A B

8、Ci tA B2 c2.222/222m minipim m2 n2 P2X ， y(t),z (t), (t )切向量T ( (t°),(t°),(t°)切“線，方程：-J 0(t0)&)(t0)空 間 曲 線:法平“面”方程：(t0)(x X0)(t°) (y y°)M)(z z°) 0y(x)z(X)切向量切“線”方程：x設(shè) y v。 z i(x0 )(x0)T (i, (x),(x)法平“面”方程：(x X0)(X0) (y y°)(x°)(z 4) 0空 間 曲 面F(x,y,z) 0法向量r ，

9、l，、n ( Fx(x0, y0,z0),FyN y0,z°),Fz(x0, y0,z0)切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(x X0) Fx(x0, y0,z°)(y y°)Fx(x0, y0,z°)(z z°)0法”線”方程：x X0y y°z z°:Fx(x0, y°, z°)Fy(x°, y°, z°)Fz(x0, y0,z°)z f(x, y)r -n ( fx(Xo,yo), fy(Xo, yo) , 1 )或r , 一、n ( fx(X0,y0)

10、,fy(X0,y0), 1)切平“面”方程：fx(x0,y0)(x X0) fy(x0,y°)(y y°) (z z0)0法”線”方程：x x°y V。z Z0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第十章重積分重積分積分類型計算方法典型例題二重積分I f x, y dD平面薄片的質(zhì)(1)利用直角坐標(biāo)系b2 (x)X一型f(x, y)dxdydxf(x,y)dya1( x)D d2(y)Y一型f (x, y)dxdy c dy (y) f(x, y)dxD1P141一例 1、例 3(2)利用極坐標(biāo)系使用原則(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧,直線段

11、)； , 22 、-(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡單(含(x y ), 為實數(shù))量質(zhì)量=面密度 面積8工，rL仍/0*-1 X ()931ta Xf ( cos , sin ) d dD2 ( )df ( cos , sin ) d1()、，P147 例 5:/ n (3)0202(3)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性 當(dāng)D關(guān)于y軸對稱時，(關(guān)于x軸對稱時，有類似結(jié)論)0f(x, y)對于x是奇函數(shù)，即£( x,y) f(x,y)I 2 f (x, y)dxdy f (x, y)對于 x是偶函數(shù)，D1 即£( x,y) f(x,y)D1是D的右半部分P141一例

12、2應(yīng)用該性質(zhì)更方便計算步驟及注意事項.畫出積分區(qū)域2 .選擇坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 .確定積分次序原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 .確定積分限方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 .計算要簡便注意：充分利用對稱性，奇偶性二重積分If(x,y,z)dv空間立體物的 質(zhì)里質(zhì)量=密度 面積投影法(1)利用直角坐標(biāo)5不、小 截面法by2(x)Z2(x,y)投影 f(x,y,z)dV dx dyf(x, y,z)dzayi (x)zi (x,y)P159 例 1P160 例 2x r cos(2) 利用柱面坐標(biāo)y r sinz z相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)

13、上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍：積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單；如旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù) 用柱面坐標(biāo)表示時 變量易分離.如f(x2 y2)f(x2 z2) bb()f(x,y, z)dV dz df ( cos , sin ,z) dari()P161一例 3x cos r sin cos利用球面坐標(biāo)y sin r sin sinz r cos2 dv r2sin drd d適用范圍：積分域表面用球面坐標(biāo)表示時 方程簡單；如，球體，錐體.被積函數(shù) 用球面坐標(biāo)表示時 變量易分離.如，f(x2 y2 z2)222( , )2Id df( sin cos , sin sin , cos ) sin d

14、iii( , ) '''P165 10-(1)(4)利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計算方法典型例題第一類曲線積分I Lf(x,y)ds 曲形構(gòu)件的質(zhì)量 質(zhì)量二線密度 弧長參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1)L： y (x)If( (t), (t)J 2(t)2(t)dt(2) L: x (t) ( t ) I b f (x,y(x)J，1 y'2(x)dx y (t)ax r( )cos(3) r r( ) () L:y r ( )sinIf (r( )cos ,r( )sin )Vr2( ) r'2

15、( )dP189-例 1P190-3平囿第一類曲線 積分I l Pdx Qdy變力沿曲線所做 的功(1) 參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)L: x(t單調(diào)地從到)y(t)LPdx QdyP (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dtP196-例 1、例 2、例3、例4(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件：L封閉，分段光滑，有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)巳Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：。Pdx Qdy ( )dxdy Ld x y滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：有瑕點，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線P205例 4P214-5(1)(4)(3)利用路徑無關(guān)定理(特殊路徑法)等價條件：_Q_ _Po P

16、dx Qdy 0xyLLPdx Qdy與路徑無關(guān)，與起點、終點有關(guān)Pdx Qdy具后原的數(shù)u(x, y) (特殊路徑法，偏積分法，湊微分法)P211-例 5、例 6、 例7(4)兩類曲線積分的聯(lián)系I LPdx Qdy JPcos Qcos )ds空間第二類曲線 積分I LPdx Qdy Rd變力沿曲線所做 的功(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (t)R (t), (t), (t) (t)dt(2)利用斯托克斯公式(轉(zhuǎn)化第二類曲面積分)1滌件：L封閉，分段光滑，有向巳Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù):PdxQdy

17、Rdz結(jié)論：RQPRQp()dydz ()dzdx ()dxdyyzzxxy滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用,不是封閉曲線，添加輔 助線P240-例 1第一類曲面積分If(x,y,z)dv曲面薄片的質(zhì)量 質(zhì)量=面密度 面積投影法:z z(x, y) 投影到 xoy面,一、，一,、二22 ,If (x, y, z)dvf(x, y, z(x, y)v1 zx zydxdyDxy類似的還用投影到 yoz面和zox面的公式P217-例 1、例 2(1)投影法Q) Pdydz p(x(y,z),y,z)dydz Dyz:z z(x, y), 為的法向量與前側(cè)取“ +”，cos 0 ；后側(cè)取“”x軸的夾角,cos0

18、第二類曲面積分 Qdzdx p(x, y(x, z), z)dzdx Dyz:y y(x,z), 為的法向量與右側(cè)取“ +”，cos 0 ；左側(cè)取“”y軸的夾角,cos0P226-例 2IPdydz Qdz( Qdxdy Q(x, y, z(x, y)dxdyDyzx Rdx：y x x(y, z), 為的法向量與" +”，cos 0;下側(cè)取“x軸的夾角” ,cos0(2)高斯公式右手法則取定的側(cè)流體流向曲面一 側(cè)的流量條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域 巳Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的外側(cè)結(jié)論：o Pdydz Qdzdz Rdxdy( x y) zP231-例 1、例 2滿足條

19、件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲面，添加輔 助面(3)兩類曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcosRcos )dSP228-例 3轉(zhuǎn)換投影法：dydz ( z)dxdy xdzdx (z、，)dxdy y所有類型的積分：定義：四步法一一分割、代替、求和、取極限； 性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；對坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章級數(shù)用收斂定義，lim sn存在n般 項 級 數(shù)常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)o若級數(shù)收斂，各項同乘同一常數(shù)仍收斂O兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散 .O去掉、加上或改變級數(shù)有限項不改變其收

20、斂性O(shè)若級數(shù)收斂則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散則原來級數(shù)也發(fā)散注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂.O (必要條件) 如果級數(shù)收斂則lim u. 0常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)n 0收 斂 性周期延拓un和 vn都是正項級數(shù)，且 un vn.若 vn收斂，則un也收斂；若 un發(fā)散，則 vn也發(fā)散.un和 vn都是正項級數(shù)，且lim 巴 l，則若 nVn0 l, Un與 Vn同斂或同散；若l 0, vn收斂，un也收斂；3如果l, vn發(fā)散，un也發(fā)散。Un是正項級數(shù)， 而也,lim A'fU；，則1時nUnn收斂；1()時發(fā)散；1時可能收斂也可

21、能發(fā)比較判別法比較判別法 的極限形式比值判別法 根值判別法anxn ,iim U ,R ,0； R ,0； R 0 ,n 0n an缺項級數(shù)用比值審斂法求收斂半徑s(x)的性質(zhì)O在收斂域I上連續(xù);O在收斂域(R , R)內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項求導(dǎo)；O 和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積分，且可逐項積分.(R不變，收斂域可能變化).直接展開：泰勒級數(shù)間接展開：六個常用展開式1 xn( 1 x 1)ex1 xn (1 x n 1n 1 n!f (x)a02(an cos nx bn sin nx)n 1an 一 f (x) cos nxdx bna0f (x)dxf (x)sin nxdx收斂定理1x是連續(xù)

22、點，收斂于 “*)»是間斷點，收斂于一f(x ) f (x ) 2f (x)為奇函數(shù)，正弦級數(shù)，奇延拓；f(x)為偶函數(shù)，余弦級數(shù)、偶延拓高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表:11 x211 x2(tgx) sec2 x(ctgx) csc2 x (secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlna“、1(logax) xlna三角函數(shù)的有理式積分：tgxdxln cosxCctgxdxIn sin xCsecxdxIn secxtgxCcscxdxIn cscxctgxC(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx22sec

23、 xdxtgx Ccos xdx22-csc xdx ctgx Csin2xsecx tgxdx secx Cdx1 一一一 x 八2arctg Ca xa adx1 , lx a小F2”Cx a 2a |x acscx ctgxdx cscx Cxx a axdx Cln ashxdx chx Cchxdx shx Cdx2 x.x carcsin- Cadxln(x . x2 a2) CIn2sin xdx0cos0xdxInsin x2u1 u2 '22x a dx x2 a2dxa22 ,x dxTa2 a 一 ln(x22 a . ln x22 aarcsin Ccosx2L

24、2， u一些初等函數(shù):兩個重要極限:雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切:thxx xe e2x xe e2shx exchx exx ex e.sinx .lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045arshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)1 . 1 x arthx -ln2 1 x三角函數(shù)公式: ,誘導(dǎo)公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintg()Ftg1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差角公式:角A jsincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90-

25、 acos asin actg atg a90 0+ acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差化積公式:sinsin2sincos22sinsin2 cossin22coscos2cos-cos22coscos2 sinsin22倍角公式:sin 2cos

26、2ctg2tg22sin cos 2cos2 1 ctg212ctg 2tg1 tg21 2sin22 cos2 sinsin33sin 4sin3cos334cos3 costg33tg tg321 3tg半角公式:1 cos sin -2 .2,1 cos1 cos sintg - d：；2, 1 cos sin 1 cos.正弦定理： _a_ 上_ _c_ 2R sin A sin B sin C1 cos cos-2.2,1 cos1 cos sinctg 一2, 1 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin x - arccos

27、x2arctgx - arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( Leibniz)公式:n (n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)(n 1) n(n 1) (n 2)u v nu v u v2!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f (a)n(n 1) (n k 1)u(n k)v(k) k!f ( )(b a)(n) uv柯西中值定理：f(b) f山 F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率：弧微分公式：ds ，1 y2dx,其中y tg平均曲率：K:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量;s： MM弧長。M 點的曲率

28、：K lim II IIly .s 01 s| |ds|. (1 y 2)3直線：K 0;，一 一一 1半徑為a的圓：K 1. a定積分的近似計算：b a(y。 Viyn i)nb a1 /(y。 yn) y1yn 1n 2矩形法：f (x)ab梯形法：f (x)a b拋物線法：f(x) b-(y0 yn) 2d y,03nyn 2) 4(y1 y3y n 1)定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：f卜嗎2*為引力系數(shù) r函數(shù)的平均值：yb1.-f(x)dx b a ab b均方根：f2(t)dtb aa空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點的距離：d M 1M 2向量在軸上的投

29、影：Pr ju ABPrju(ai a2) Prjai Prja?72 72 72.(X2 Xi)(y2 yi) (Z2 Zi)AB cos ,是AB與u軸的夾角。a b a b cosaxbx avbv azbz,是一個數(shù)量xx y y z z，兩向量之間的夾角：cosaxbxaybyazbz22axayaz2bx2bybz2cabaxayaz, cbxbybza b sin .例：線速度：v w r.向量的混合積：abc (a b) caxayazbxbybzcxcyczabc cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積平面的方程:1、點法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0

30、,其中 n A,B,C, Mo(X0,yo,Z0)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：x y a b平面外任意一點到該平面的距離:Axo Byo Czo空間直線的方程:x xomyyonZoPt,其中s m,n, p;參數(shù)方程:xoyozomt nt Pt二次曲面:1、橢球面:2、拋物面:2 x 2 a2 x2p2yb22y2qz,(p, q同號)3、雙曲面:2單葉雙曲面：三a2雙葉雙曲面：xy a2 y_ b22 y b22 zc2 zc1（馬鞍面）多元函數(shù)微分法及應(yīng)用x fx(x,y) xy z fy (x, y) y全微分：dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz

31、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：, u . u , u .du dx dy dzzfu(t),v(t)當(dāng)z fu(x,y),v(x,y)z u zxu z v tv tz uz v u xv x當(dāng) u u(x,y), v v(x,y)時,1 u , u ,du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:隱函數(shù)F(x,y) 0,dv dx dyx y2dy b,d_y _(區(qū)計(區(qū))業(yè)dxFydx x Fy y Fy dx隱函數(shù) F(x,y,z) 0,FyFz隱函數(shù)方程組：F(x，y，u，v)G(x,y,u,v)J (F,G) (u,v)1 J 1 J(F,G) (x,v) (F,G) (y,v)1J1 J(F,

32、G) (u,x) (F,G) (u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0, z0 )處的切線方程:(t)x x0y0(t0)z Z0(t0)在點M處的法平面方程:(t°)(x x°)(t0)(y若空間曲線方程為：""為0則切向量T G(x,y,z) 0曲面 F(x,y,z) 0 上一點 M (x0,y0,zO),則：yo)FyFzGy Gz(to)(Z Zo)FzFxGzGxFxGxFyGy1、過此點的法向量:2、過此點的切平面方程n FxM, y0,z0), Fy(x0,y0, a), Fz(x0, y0,z。):

33、Fx(x0,y0,Z0)(x x°) Fy(x0,y0,Z0)(y y°)Fz(xo,yo,zo)(z Zo) 03、過此點的法線方程:x x0y y。z Z0Fx(xo , y0 ,zo)Fy(x0,y0,Z0)Fz(xo, y0,Z0)方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向l的方向?qū)?shù)為fcosxf .一 sin y其中為殍由到方向l的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i x它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：f gradf(x,y) e,其中e cos isinj,為l方向上的單位向量。-f是grad

34、f (x, y)在l上的投影。多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)fy(x0,y0) 0,令：fxx(x0,y0) A, /供以)B, fyy(x0,y°) CAC B2則：AC B22AC B20時， A0時，0日t,0,(x0, y°)為極大值0,(x0, y°)為極小值無極值 不確定重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdyf (r cos , r sin )rdrd曲面z f(x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：xMxM(x,y)d(x, y)dDy (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ixy2 (x,y)d , 對于y

35、軸1yD平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a 0)的引力：F2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:L £ (x,y)xdF xf3，D . 2222(x y a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：x r cos 柱面坐標(biāo)：y r sin ,(x, y)yd(x, y)xdFyf 3，F(xiàn)zfa 3D/222cD/2222(x ya)(x y a )f (x, y,z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,其中： F(r, ,z) f (r cos , r sin , z)x r sin cos 球面坐標(biāo)：y r sin sin ,dv rd r sind

36、dr r2 sin drd d2、2,)r sin drd d d d0011 y dv, z zMM22、，dv,I y (x z ) dv,z r cosf (x, y,z)dxdydz F (r,重心：x x dv, yM轉(zhuǎn)動慣量：Ix (y2 z2)r(,)2F (r, , )r sin dr0dv,其中 M x dv22Iz (x y ) dv曲線積分：第一類曲線積分(對弧 長的曲線積分)：設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：x ，(t )，則: y (t)特殊情況:y (t)f(x,y)ds f (t), (t). 2(t)2(t)dt (L第二類曲線積分(對坐 標(biāo)的曲線積

37、分)：設(shè)L的參數(shù)方程為x ，則: y (t)P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t)dt L兩類曲線積分之間的關(guān)系：Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds其中和分別為 LLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy ,: Pdxd x ylQdy格林公式：(-QD xp -)dxdy yPdx QdyL當(dāng) Py,Q x,即：-Q 2時，得到 D的面積：A dxdy 10 xdy ydxx yd2l平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件:一。 P 、,且二一。江息奇點，如(0,0),應(yīng)x y1、G是一個單連通區(qū)域；2、P(x,y),

38、 Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)減去對此奇點的積分，注意方向相反！ 二元函數(shù)的全微分求積：,Q P_ .在-Q=-P時，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中： x y(x.y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 d(x0,y0)曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y,z)dsf x, y,z(x, y)v1 z2(x,y) z2(x,y)dxdyD xy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上

39、側(cè)時取正 號；DxyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y, zdydz,取曲面的前側(cè)時取正 號；DyzQ(x, y, z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:dydzdzdxdxdycoscoscosxyzxyzPQRPQR關(guān)的條件：Ra,PE -Q _yzzxx上式左端又可寫成:P空間曲線積分與路徑無k/ PQR、z()dvxyz高斯公式的物理意義Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds一通量與散度:散度

40、：divP - -R,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若div x y z0,則為消失通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可寫 成：div AdvAnds斯托克斯公式-(R Q y z曲線積分與曲面積分的關(guān)系:)dydzP R()dzdxz xQ( xP、，)dxdy y- PdxQdy Rdz旋度：rotA向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：一 Pdx Qdy Rdz ： A tds常數(shù)項級數(shù)：(n 1)n2等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：1 2 3 1 1調(diào)和級數(shù):1 -2 3級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時，級數(shù)

41、收斂設(shè)：nmn-U，則1時，級數(shù)發(fā)散n1時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂設(shè)：limUU,則1時，級數(shù)發(fā)散n UUn1時，不確定3、定義法：sn u1 u2un;limsn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4（或u1u2u3,un0）的審斂法萊布尼茲定理：un un 1如果交錯級數(shù)滿足n :，那么級數(shù)U斂且其和s u1,其余項rn的絕對值rn un1 lim un 0 n絕對收斂與條件收斂：u1 u2 un ,其中un為任意實數(shù)；（2）U u2 匕 un如果（2）收斂，則 肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱 為條件收斂級數(shù)。收斂;2 n調(diào)和

42、級數(shù)：1發(fā)散，而 3收斂; nn/1p 1時發(fā)散. p 1時收斂n X x 1時，收斂于x ；1 x x 1時，發(fā)散對于級數(shù)（3）a0 a1x a2x2an xn,如果它不是僅在原點收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存| x R時收斂在R,使1|x R時發(fā)散,其中R稱為收斂半徑。|x R時不定求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1a n其中an,an 1是（3）的系數(shù),則0 時，R 10時，R時，R 0函數(shù)展開成哥級數(shù):X X0)n n!(n 1)余項：Rn-(n 1)!S（X X0）n1,f（X）可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim RnXo0時即為麥克勞林公式:f(X) f f X ¥X2fXnn!函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f (x0)2f(X)f(X0)(X x0)k(X Xo)些函數(shù)展開成騫級數(shù):m(1 X)m(m 1) 21 mX -x2!m(m 1) (m n 1) nXn!(1x1)sinX x3 X3!5 X5!1)n2n 1x(2n 1)!歐拉公式:ix e cosxi sinXcosx或sin xiX eiX ee2ix e2iXf(t) Ao其中,aoAn sin( nn 1aAo，anao，t n) (an cosnx