數(shù)學(xué)必修5知識點(很完整)

1、第一章解三角形1 、三角形三角關(guān)系： A+B+C=180°； C=180° -(A+B)；2 、三角形三邊關(guān)系： a+b>c;a-b<c3、三角形中的基本關(guān)系：sin( A B) sin C , cos( A B)cosC , tan( A B)tan C ,sin ABcos C ,cos A Bsin C , tan ABcot C2222224 、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分別為角、C 的對邊， R為C 的外接圓的半徑，則有abc2R sinsinsin C5 、正弦定理的變形公式：化角為邊：a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C

2、 ；化邊為角： sinabc， sin， sin C；2R2R2R a : b : csin:sin:sin C ；a bcabcsinsin Csinsinsin Csin6 、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.(對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）)7、余弦定理 ：在C 中，有 a2b2c22bc cos， b2a2c22ac cos，c2a2b22ab cosC 8、余弦定理的推論 ： cosb2c2a2， cosa2c2b2， cosCa2b2c22bc2ac2ab(余弦定理主要解

3、決的問題：1.已知兩邊和夾角，求其余的量。2.已知三邊求角 )9、余弦定理主要解決的問題：已知兩邊和夾角，求其余的量。已知三邊求角）10、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時， 可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式設(shè) a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的對邊，則：若 a2b2c2 ，則 C 90o ；若 a2b2c2 ，則 C90o ；若 a2b2c2 ，則 C90o 注：正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選3 千米的 C、 D 兩點，并測得 ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O,AB取相距 ADB=45O(A、 B、C

4、、 D 在同一平面內(nèi) )，求兩目標(biāo) A、 B 之間的距離。解：CD11、三角形面積公式：12、三角形的四心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點重心三角形三條中線的相交于一點（重心到頂點距離與到對邊距離之比為2:1 ）外心三角形三邊垂直平分線相交于一點（外心到三頂點距離相等）內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點（內(nèi)心到三邊距離相等）附加：第二章數(shù)列1 、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2 、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)3 、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列4 、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列5 、遞增數(shù)列：從第2 項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）6 、遞減數(shù)列：從第2 項起，每一項都

5、不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1<a ）n7 、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列（即：an+1 =an）8 、擺動數(shù)列：從第2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列9 、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列an 的第 n 項與序號 n 之間的關(guān)系的公式10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項an 與它的前一項 an 1 （或前幾項）間的關(guān)系的公式11、如果一個數(shù)列從第 2 項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差符號表示: an 1 an d 。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：anan 1d(n2,d為常數(shù) ) 2 anan 1a n

6、 1 () anknb (為常數(shù)12、由三個數(shù) a ，b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則ac稱為 a 與 b 的等差中項 若 b，2則稱 b 為 a 與 c 的等差中項13、若等差數(shù)列an的首項是 a1 ，公差是 d ，則 ana1n 1 d 14、通項公式的變形： an am n m d； a1ann 1 d； dana1； nana1 1； daan1nm dnm15、若 an是等差數(shù)列，且 m npq （ m 、 n 、 p 、 q*anapaq ；若an），則 am是等差數(shù)列，且 2npq （ n 、 p 、 q），則 2anapaq*16.等差數(shù)列的前n 項和的公式 ：S

7、nn a1 an； Snna1n n 1d sna1 a2Lan2217、等差數(shù)列的前n 項和的性質(zhì) ：若項數(shù)為2n n* ，則Sn aa，且SSnd，S奇an2nnn 1偶奇S偶an 1若項數(shù)為2n 1 n*S2n 1 a ， 且，S奇n（ 其 中na n， 則奇偶奇2 n 1nS S anS偶n1SS偶n1 an ）18、如果一個數(shù)列從第2 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比符號表示：an 1q （注：等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0 的項；同號位上的值同號）an注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法： anan 1q(n2, q為常數(shù)

8、,且0) a n2an 1 a n 1 (， a n an 1a n 10 ) a ncq n (為非零常數(shù) ).正數(shù)列 成等比的充要條件是數(shù)列 log x an （）成等比數(shù)列 .19、在 a 與 b 中間插入一個數(shù) G ，使 a ，G ， b 成等比數(shù)列， 則 G 稱為 a 與 b 的等比中項 若 G 2ab ，則稱 G為 a 與 b 的等比中項（注：由G 2ab 不能得出 a ， G ， b 成等比，由 a ， G ， bG 2ab ）20、若等比數(shù)列an 的首項是 a ，公比是 q ，則 aa qn1 1n121、通項公式的變形：anamqnm ； a1an qn 1； q n 1a

9、n ； q n man a 1am22、若 an是等比數(shù)列，且 mnpq（ m 、 n、 p、 q*aq ；若 an），則 am an ap是等比數(shù)列，且 2npq （ n 、 p 、 q* ），則 an2ap aq 23、等比數(shù)列an 的前 n 項和的公式 ：na1q1 sna1 a2 L an Sna1 1 qnan qq1qa111q24、對任意的數(shù)列 的前 n 項和與通項的關(guān)系：ans1a1 (n1)snsn 1 (n2)注 ： a na1n 1 dnd a 1 d （ d 可為零也可不為零為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）若 d 不為 0，則是等差數(shù)列充分條件） .等差 前

10、n項和 S n An 2 Bndn2a1 dn可以為零也可不為零為等差的充要條件若d 為零，則22是等差數(shù)列的充分條件；若d 不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.非零 常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附： 幾種常見的數(shù)列的思想方法：1.等差數(shù)列的前n 項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的n 值，有兩種方法：一是求使 a n0, a n 10 ，成立的 n 值；二是由Snd n 2 (a1 d )n 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n 的值 .222.數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)

11、列前 n 項和公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗” ，將數(shù)列的通項公式以及前n 項和看成是關(guān)于 n 的函數(shù)， 為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。3.如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n 項和可依照等比數(shù)列前n 項和. 例如：1111的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和2,34,.(2n1)2n ,.4.兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差d1，d 2 的最小公倍數(shù).5.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法

12、:對于 n2 的任意自然數(shù) ,驗證 anan 1( an)an1為同一常數(shù)。 (2)通項公式法。(3)中項公式法 : 驗證 2an 1an an 2 (an21an an 2 )n N 都成立。6.在等差數(shù)列中n的最值問題： (1)當(dāng) >0,d<0am0的項數(shù) m 使得取最大值 . (2)當(dāng) <0,d>0,有關(guān) S時，滿足0am 1am0的項數(shù) m 使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。時，滿足am 10附： 數(shù)列求和的常用方法1. 公式法 :適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項相消法 :適用于c其中 是各項不為 0 的

13、等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。an an 11,求這個數(shù)列的前n 項和 Sn.例題：已知數(shù)列 an的通項為 an =1)n(n解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=11nn1sna1 a2an(1 1) (1 1)( 1n1 )223n1111n3.錯位相減法 :適用于an bn 其中 是等差數(shù)列，是各項不為0 的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列 an的通項公式為 ann2n ，求這個數(shù)列的前 n 項之和 sn 。解：由題設(shè)得：sna1 a2a3an=1 212 223 23n 2n即 sn =1 212 223 23n 2n把式兩邊同乘2 后得2sn =1 222 233 24n 2n 1用

14、 -，即：s =1 212 223 23n 2nn2s =1 222 233 24n 2n 1n得sn 1 2 22232nn 2n 12(12n )n 2n 1122n 12n2n1(1n)2n12 sn ( n 1)2n 1 24.倒序相加法 : 類似于等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論n(n1)2） 1+3+5+.+(2n-1) =1 ）: 1+2+3+.+n =223）1323n31 n( n 1)24)122232n21 n(n 1)( 2n 1)6;5)1111111，()n(n 1)n n 1n( n 2)2 n n 2 ；6 ）11( 11 ) ( p q)pqqp

15、 pq 附加：重點歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中 m, n, p, qN ）類別等差數(shù)列 a項目n定義an 1andana1 n1 d通項公式anamnm d前 n 項和na1anna1n n1Sn22d等差（比）2an 1anan中項2公差（比）danam ， mnnmm n p q amana paqmn2 paman2apSm , S2 mSm , S3m S2m ,L 成等差性質(zhì)數(shù)列，公差為m2 d （ Sn 是前 n 項和）am , am k , am 2 k ,L 仍然是等差數(shù)列，其等比數(shù)列anan 1qanana q n 11anamqn mna1q1Sna1 1 qna1anqq

16、 11q1qan2an an 21qnmanamm n p q am anap aqmn2pamana p2Tm, T2m , T3m ,L 成等比數(shù)列，公TmT2 m比為 qm2 （ Tn 是前 n 項積）am , am k , am 2 k ,L 仍然是等比數(shù)列，公差為 kdkanb 是等差數(shù)列d0,Z；單調(diào)性d0, ；d0, 常數(shù)列2.等差數(shù)列的判定方法：（a,b, d 為常數(shù)） .定義法：若an 1and .等差中項法：若2an 1anan 2 .通項公式法：若 anan b .前 n 項和法： Snan 2bn3. 等比數(shù)列的判定方法：（k ， q 為非零常數(shù)）an1q .定義法：若

17、 an .等比中項法：若an2an an 21 .通項公式法：若 ankq n .前 n 項和法： Snkkqn其公比為 qkbank 是等比數(shù)列（ b0 ）a10 時， q1,Z， 0q1,；a10 時， q1,， 0q1,Z；q 1 為常數(shù)列； q 0 為擺動數(shù)列an 為等差數(shù)列 .an 為等比數(shù)列 .第三章不等式一、 不等式的主要性質(zhì)：（ 1）對稱性：abba（ 2）傳遞性： ab, bcac（ 3）加法法則： abacbc ；（ 4）同向不等式加法法則：ab, cdacbd（ 5）乘法法則： ab, c 0acbc ； ab,c0ac bc（ 6）同向不等式乘法法則：ab0, cd0a

18、c bd（ 7）乘方法則： ab0a nbn ( nN * 且 n1)（ 8）開方法則： ab0n anb( nN * 且n1)11（ 9）倒數(shù)法則：ab, ab0ab二、一元二次不等式ax 2bxc0 和 ax 2bxc0( a0) 及其解法000y ax 2bx cy ax 2bx cax 2bx ca( x x1 )( x x 2 )ya( x x1 )( x x 2 )二次函數(shù)y ax 2bx c（ a 0 ）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2bx c0x 1 , x 2 ( x 1x 2 )x1b無實根a0 的根x22aax2bx c0x x x1或x x2x xbR(

19、a0)的解集2aax2bx c0x x1 xx 2(a0)的解集1.一元二次不等式先化標(biāo)準(zhǔn)形式（a 化正）2.常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式?？谠E：在二次項系數(shù)為正的前提下：“大于取兩邊，小于取中間”三、均值不等式1、設(shè) a 、 b 是兩個正數(shù)，則ab 稱為正數(shù) a 、 b 的算術(shù)平均數(shù)，ab 稱為正數(shù) a 、 b 的幾何平均數(shù)22、基本不等式（也稱均值不等式）：若 a0均值不等式：如果a,b 是正數(shù)，那么a b2 ab 即 a bab(當(dāng)且僅當(dāng) ab時取 "" 號).2注意：使用均值不等式的條件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（a、b 為正數(shù)），即a 2

20、b2abab2（當(dāng) a = b 時取等）2211ab4、常用的基本不等式：a2b22ab a,bR ； aba2b2a,b R ；220 ； a2b22 aba ba 0,baba, bR 2225 、極值定理：設(shè)x 、 y 都為正數(shù)，則有：若 xys（和為定值），則當(dāng) x y 時，積 xy 取得最大值s2若 xy p （積為定值），則當(dāng)xy 時，4和 xy 取得最小值2p 四、含有絕對值的不等式1 絕對值的幾何意義：| x | 是指數(shù)軸上點x 到原點的距離； | x1x2 |是指數(shù)軸上 x1, x2 兩點間的距離；代數(shù)意aa0義： | a |0a0aa02 、 如果 a0, 則不等式：| x

21、 |axa 或 xa； | x |axa 或 xa| x |aaxa； | x |aaxa4 、解含有絕對值不等式的主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號五、其他常見不等式形式總結(jié)：分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f ( x )0f ( x )g( x) 0 ； f ( x)0f ( x ) g( x)0g( x ) 0g( x )g( x )指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式a f ( x )a g( x ) ( a 1)f ( x ) g( x) ； a f ( x)a g( x) ( 0 a 1)f ( x) g( x )對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f ( x )0f (

22、 x ) 0log a f ( x ) log ag( x )(a 1)g( x )0log a f ( x) log a g( x)(0 a 1)g( x ) 0f ( x )g( x)f ( x ) g( x )高次不等式：數(shù)軸穿線法口訣: “從右向左，自上而下；奇穿偶不穿，遇偶轉(zhuǎn)個彎；小于取下邊，大于取上邊”例題：不等式 ( x23x2)( x 4) 20 的解為（）x3A 1<x 1 或 x 2Bx< 3 或 1x 2C x=4 或 3<x 1 或 x 2D x=4 或 x<3 或 1 x2六、不等式證明的常用方法：作差法、作商法七、線性規(guī)劃1 、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式2 、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組3 、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x 和 y 的取值構(gòu)成有序數(shù)對x, y ，所有這樣的有序數(shù)對x, y構(gòu)成的集合4 、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線xy C0 ，坐標(biāo)平面內(nèi)的點x0 , y0 若0 ，x0y0C0，則點x0 , y0在直線xyC0 的上方若0 ，x0y0C0，則點x0 , y0在直線xyC0