破解理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)壓軸題：極值點偏移問題的不等式解法

1、極值點偏移問題的不等式解法我們熟知平均值不等式：a,b R8 / 5以下只要證明上述函數(shù)不等式即可. 以下我們來看看對數(shù)不等式的作用.題目1: (2015長春四模題)已知函數(shù)A. a eB. x1 x2 2【答案】C【解析】函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)：有極值點x ln a ,而極值f (lna) af(x)有兩個零點：ex1 axi 0, ex2即“調(diào)和平均數(shù)”小于等于“幾何平均數(shù)”小于等于“算術(shù)平均值”小于等于“平方平均值”等號成立的條件是a b.我們還可以引入另一個平均值：對數(shù)平均值：a bln a In b那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?shù)平均值不等式 a b a ba b, a b , 4ab&

2、lt;<ln a ln b 2以下簡單給出證明：不妨設(shè)a b,設(shè)a bx,則原不等式變?yōu)椋?(x 1) x 11, ln x x 1. xf(x) ex ax有兩個零點x1 x2,則下列說法錯誤的是C.xx2 1D.有極小值點 xo,且 x x2 2xof '(x) ex aaln a 0 , a e , A 正確.ax2 0,即：x1ln a 1nxi x2 ln a ln x2 -得:題目2: （2011遼寧理）已知函數(shù)f2x ln x ax (2 a)x.x1x2ln x1In x2根據(jù)對數(shù)平均值不等式：x1 x2x1 x21；1x1x22 ln x1 In x2x1 x2

3、 2,而 1 Jx1x2 ,x1x2 1 B 正確，C 錯誤21n a ,即D成立.而 + 得：x1x221n a In x1x2x1x2-得：In x1In x2 a(x1x2)(x1x2) (2a)(x1 x2) 0,若函數(shù)y f x的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：f ' %0【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去 證明第三問： 設(shè) A(x1, f (x1) , B(x2,f(x2), x1 x2 ,則 x21n x1 ax1(2 a)x10 In x2 ax2 (2 a)x2 0 1x1 x2a(x1x2)

4、(2 a) ln x1 ln x2而根據(jù)對數(shù)平均值不等式:x1 x2x1 x2ln x11nx22等式代換到上述不等式1 x1 x2 a(x1 x2) (2 a) 212a% (2 a)根據(jù)：2ax0 (2 a)x0 0（由得出）式變?yōu)?2axe2 (2 a)x0 1 0(2x0 1)(ax0 1) 0i' (2x0 i) 0 ,x0 ,x0在函數(shù)單減區(qū)間中,即:af'(Xo) 0題目3: (20i0天津理)已知函數(shù)f x xex x R .如果Xi X2,且f Xif X2 .證明:xi x2 2.【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接

5、去證明第三問:設(shè) f (Xi) f(X2) c ,則 c , e。X2Xe2c ， (XiX2）兩邊取對數(shù)In x1Xiln cIn x2X2In cXiX2In X1In x2根據(jù)對數(shù)平均值不等式XiX22XiX2In xiIn x2xi x2 2題目4: （2014江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)f xex ax a a R ,其圖象與x軸交于A Xi,0 B X2,0 兩點，且 XiX2.證明：f JXX20 ( f X為函數(shù)f X的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：e：Xi axia 0, ex2aX2 a0移項取對數(shù)得:XiIn( Xii)In ax2In(X2i)In a-得：xi x2 In(

6、xi i) In( x2 i),即:根據(jù)對數(shù)平均值不等式:(X 1)(x2 1) 1根據(jù)均值不等式:函數(shù)”乂）在（題目5:已知函數(shù)(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1). (Xi 1)(x2 1)ln(x1 1)(x2 1)x1x2,ln a）單調(diào)遞減f(x)1求證：0 x1x22e【解析】由x11nxi m ,x1+得:根據(jù)對數(shù)平均值不等式利用式可得:(X 1) d 1)1ln(x1 1) ln(x2 1)0,+得:2ln a ln(x1 1)(x2 1) 2ln ax1x2.xx2 ln a2（.后）0xlnx與直線x2 ln x2m ,x2 m(x1ln x2y m交于 A(x1, y/ B(x2, y?)兩點.可得:mln x1ln x1ln x1 ln x2xx2xx22ln x,ln x2(S ln x1 ln x2m(lnx2 lnx,)ln x1 ln x2ln x1ln x2(為x2)m