數(shù)列求和匯總例題與答案

1、數(shù)列求和匯總答案、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:Snn(a an)2na1n(n 1)d2、等比數(shù)列求和公式:Snna1a1(1 qn)aanq例1、已知log 3 x解：由log 3 xlog 2 31log 2 3log 3 xlog3 2由等比數(shù)列求和公式得Snx(1 xn)1 1、(1)22n練習(xí)：求解：1221223421 123242326252625262LL.992299100(q 1)(q 1)的前n項(xiàng)和.2(利用常用公式)一 2 一一100的和。21002 9925 6 5 L 100 99 100 993

2、7 11L +199由等差數(shù)列的求和公式得50 3+199S50= 5050、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 2 求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4一得(1 x)Sn 1 2x 2x2(2n2x31)xn 2x4再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1x)Sn1 2x2xn 1n 11 x倍-(設(shè)制錯(cuò)位)(2n 1)xn (錯(cuò)位相減)(2n

3、 1)xn.c (2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x) . SnM 2(1 x)練習(xí)：求數(shù)列2,當(dāng)今，斗前n項(xiàng)的和.2 2 221、r 的通項(xiàng)之積2n2n解：由題可知，二的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列226設(shè)Sn1 Sn2得（1 Sn231 )Sn22n2n 1n 2廣2362空2n2n*222TT TT T42224- -2Ar （錯(cuò)位相減）22、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前原數(shù)列相加，就可以得到n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法, 個(gè)（a an）.就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）例 3 求 sin21 sin2 2sin2 3sin2 882 _sin 89的值.、一 _222解

4、：設(shè) S sin 1 sin 2 sin 3將式右邊反序得2 2sin2 88 sin2 89S sin2 89 sin2 88 又因?yàn)?sin x cos(90 x),sin +得(反序相加)sin 2 3sin2 2. 2 .sin 1.(反序)cos2 X22S (sin 1S=、12求和：一3J1021222 -cos 1 ) (sin 22292 223282 322 cos9222 92,.22 _(sin 89 cos 89 ) = 8910廠102四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、與 比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再

5、將其合并即可例4、求和:解:原式=X12 y1T x 0, x 1, y 11n y1nyn 1yyLn y練習(xí)：求數(shù)列的前 n項(xiàng)和:1解：設(shè) Sn（1 1）（-a將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得4)1 a(J2a4,7,7)1, n 1 aJ n 1a3n 2)Sn(1 1a1nr)(1 4 7當(dāng)a=l時(shí),Sna1)n = (3n 1)n (分組求和)3n 2)(分組)當(dāng)a 1時(shí),Sn1na1(3n 1)n a(3n 1)n2練習(xí)：求數(shù)列1 12a1,3-,?,(n82U?的前n項(xiàng)和。-1解：Sn 1121 ? (n 2n)(1 2? n)（2?-) 2112n1)1“ n（n2五、裂項(xiàng)法求和這是

6、分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然 .通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：例5求數(shù)列1.2 , 2.3 , , .n v n 1的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an則Sn1、22.3（裂項(xiàng)求和）=(、2.1)(.3,2)1 一 n)=.n 1練習(xí)：求13丘 1 /解：3行1(1212(1115T351)31135163之和。113 3 5.1) -(1 1)2 3 52 5 71 111631(115 71(12 71 117 91)9-)(-)(-)(-)33 55 77 9114（1）299六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，

7、將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可 將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 6、數(shù)列an：a11,a23, a32,an2an1 an ,求S2002.解：設(shè)$002=a1a2a322002由 a11, a23,a32,an2 an 1an 可得a41, a53, a62,a?1,a83,a92,ao1,an3,a122,a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41, a6k 53, a6k 62, a6k 1 a6k 2a6k 3 a6k 4a6k 5 a6k 60 (找特殊性質(zhì)項(xiàng))l- S2002= ai a2 a3a2002 (合并求和)=

8、(aia2a3a6)(a7a8 ai2) (a6k ia6k 2a6k 6)(a1993ai994ai998 )ai999a 2000 a 200i a 2002=ai999a2000a200i22002=a6k 1a6k 2 a6k 3 a6k 4=5練習(xí)：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求 log3 ailog 3a2 log3 ai0 的值 .解：設(shè)Snlog 3 ai log3 a2log3 ai0由等比數(shù)列的性質(zhì)m n和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)log a MSn(log 3 ailog 3 ai0 )p qamanapaq (找特殊性質(zhì)項(xiàng))log a N log a M N 得(log 3 a2log3 a9 )(log 3 a5 log 3 a6) (合并求和)(log 3 ai ai0 )(log 3 a2 a9) (log 3 a5 a6) log39 log3 9 log39=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例7、求5