人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《22-3 第3課時(shí) 拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線》導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)優(yōu)秀公開課

1、第二十二章二次函數(shù)22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)第 3 課時(shí) 拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題2. 利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問題3. 能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策重點(diǎn)：掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題 難點(diǎn)：利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問題自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接如圖是二次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)給出的坐標(biāo)系的位置，說出二次函數(shù)的解析式類型.(1) (2) (3) 課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn) 1：利用二次函數(shù)解決實(shí)物拋物線形問題合作探究如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面 2m 時(shí)，水面寬 4m.水面下

2、降 1m，水面寬度增加多少？問題 1怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？問題 2從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線呢？問題 3如何確定 a 是多少？問題 4水面下降 1m，水面寬度增加多少？知識(shí)要點(diǎn)：解決拋物線型實(shí)際問題的一般步驟.(1) 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2) 把已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) 合理設(shè)出函數(shù)解析式；(4) 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(5) 根據(jù)求得的解析式進(jìn)一步分析、判斷并進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算.典例精析例 1如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形 OABC 的長(zhǎng)是 12m，寬是 4m，按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用 yx2+2x+c 表

3、示（1） 請(qǐng)寫出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2） 一輛貨運(yùn)汽車載一長(zhǎng)方體集裝箱后高為 6m，寬為 4m，如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3） 在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等如果燈離地面的高度不超過 8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？變式如圖，施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，OM 寬度為 16 米， 其頂點(diǎn) P 到 OM 的距離為 8 米（1） 請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（2） 隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬 1 米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬 3.5 米、高 5.8 米的特種車輛？請(qǐng)通過

4、計(jì)算說明探究點(diǎn) 2：利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中拋物線型問題例 2某廣場(chǎng)噴泉的噴嘴安裝在平地上有一噴嘴噴出的水流呈拋物線狀，噴出的水流高度 y（m）與噴出水流離噴嘴的水平距離 x（m）之間滿足（1） 噴嘴能噴出水流的最大高度是多少？（2） 噴嘴噴出水流的最遠(yuǎn)距離為多少？變式 某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子 OA， O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端 A 處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離 OA 距離為 1m 處達(dá)到距水面最大高度 2.25m.如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑至少要多少 m 才能使噴出

5、的水流不致落到池外？例 3 如圖，一名運(yùn)動(dòng)員在距離籃球圈中心 4m（水平距離）遠(yuǎn)處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃球運(yùn)行的路線為拋物線，當(dāng)籃球運(yùn)行水平距離為 2.5m 時(shí)，籃球達(dá)到最大高度，且最大高度為 3.5m，如果籃圈中心距離地面 3.05m，那么籃球在該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度是多少米？拱橋問題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線問題三、課堂小結(jié)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系能夠?qū)?shí)際距離準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；選擇運(yùn)算簡(jiǎn)便的方法.當(dāng)堂檢測(cè)1. 足球被從地面上踢起，它距地面的高度 h(m)可用公式 h=4.9t2+19.6t 來表示， 其中 t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間，則球在 s 后落地.2. 如圖，小李

6、推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度 y(米)關(guān)于水平距離 x(米)的函數(shù)解析式為 y = - 1 x2 + 1 x + 3 ，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為822米.第 2 題圖第 3 題圖3. 某公園草坪的防護(hù)欄是由 100 段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見， 每段護(hù)欄需要間距 0.4m 加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部 0.5m(如圖)，則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m4. 有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為 20m，拱頂距離水面 4 m如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式.

7、5. 跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分一名運(yùn)動(dòng)員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當(dāng)他的水平距離為15m 時(shí)，達(dá)到飛行的最高點(diǎn) C 處，此時(shí)的豎直高度為 45m，他落地時(shí)的水平距離（即 OA 的長(zhǎng)）為 60m，求這名運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的豎直高度（即 OB 的長(zhǎng)）能力提升懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接.已知兩端主塔之間的水平距離為 900 m，兩主塔塔頂距橋面的高度為 81.5 m，主懸鋼索最低點(diǎn)離橋面的高度為 0.5 m.(1) 若以橋面所在直線為 x 軸，拋物線的對(duì)稱軸為 y 軸，建立平面

8、直角坐標(biāo)系， 如圖所示，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2) 計(jì)算距離橋兩端主塔分別為 100m，50m 處垂直鋼索的長(zhǎng).參考答案自主學(xué)習(xí)知識(shí)鏈接（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k 或 y=ax2+bx課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn) 1：利用二次函數(shù)解決實(shí)物拋物線形問題合作探究問題 1以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖問題 2由于頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），因此這個(gè)二次函數(shù)的形式為 y=ax2 問題 3 已知水面寬 4 米時(shí)，拱頂離水面高 2 米，因此點(diǎn) A（2，-2）在拋物線上， 由此得出-2=a·22，解得 a= - 1 .2問題 4

9、解：這條拋物線表示的二次函數(shù)為 y= - 1 x2 . 當(dāng)水面下降 1m 時(shí)，水面2的縱坐標(biāo)-3令 - 1 x2 = -3, 解得 x = - 6, x =6. 即， 水面下降 1m 時(shí)， 水面寬度增加2126(2- 4)m.典例精析例 1解：（1）根據(jù)題意得 C（0，4），把 C（0，4），代入 y - 1 x2+2x+c，得6c=4.所以拋物線解析式為 y - 1 x2+2x+4.6（2）拋物線解析式為 y - 1 x2+2x+4= - 1 (x-6)2+10.所以對(duì)稱軸為 x6，由題意66得貨運(yùn)汽車最外側(cè)與地面 OA 的交點(diǎn)為（2，0）或（10，0），當(dāng) x2 或 x10時(shí)，y 22 6

10、，所以這輛貨車能安全通過.33（3）令 y8，則- 1 (x-6)2+10=8,解得 x16+26,x26-2,則 x1x24.所333以兩排燈的水平距離最小是 4m.變式解：（1）如圖，以 O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8）.設(shè) ya（x8）2+8，將點(diǎn)（0，0）代入上式得 064a+8，解得 a= - 1 .8故函數(shù)的表達(dá)式為 y - 1 （x8）2+8（0x16）.8（2）由題意得車沿著隔離帶邊沿行駛時(shí)，車最左側(cè)邊沿處，x7.53.54，當(dāng)x4 時(shí)，y6，即允許的最大高度為 6 米，5.86，故該車輛能通行.探究點(diǎn) 2：利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中拋物線型問題例 2 解

11、：(1)y - 1 x2+2x= - 1 (x-2)2+2.故當(dāng) x2 時(shí)，噴嘴噴出水流的最大高度22是 y2.(2)令 y=0,即- 1 x2+2x=0,解得 x1=0,x2=4.即噴嘴噴出水流的最遠(yuǎn)距離為 4m.2變式解：建立如圖所示的坐標(biāo)系.根據(jù)題意得，A 點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1.25)，頂點(diǎn) B 坐標(biāo)為(1，2.25).設(shè)拋物線為 y=a(x+h)2+k，由待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式為： y= (x-1)2+2.25.當(dāng)y=0 時(shí),可求得點(diǎn)C 的坐標(biāo)為(2.5,0) ;同理，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(-2.5,0) . 根據(jù)對(duì)稱性， 如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要 2.5m，才能使噴出的水

12、流不致落到池外.圖圖例 3 解：如圖，建立直角坐標(biāo)系.則點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（1.5，3.05），籃球在最大高度時(shí)的位置為 B（0，3.5）.以點(diǎn) C 表示運(yùn)動(dòng)員投籃球的出手處.設(shè)以 y 軸為對(duì)稱軸的拋物線的解析式為 y=a(x-0)2+k ，即 y=ax2+k.而點(diǎn) A，B 在這條拋物線上，所以有ì2.25a + k = 3.05, 解得ìa = -0.2, 所以該拋物線的表達(dá)式為 y=0.2x2+3.5.îîík = 3.5,ík = 3.5.當(dāng) x=2.5 時(shí)，y=2.25 .故該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度為 2.25m.當(dāng)堂檢測(cè)1.42.

13、23.C4. 解：設(shè)該拱橋形成的拋物線的解析式為 y=ax2.該拋物線過(10,-4),-4=100a， a=-0.04.y=-0.04x2.5. 解：設(shè)拋物線的解析式為 ya（xh）2+k，根據(jù)題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（15，45），ya（x15）2+45，與 x 軸交于點(diǎn) A（60，0），0a（6015）2+45，解得：a - 145.解析式為 y= - 145（x15）2+45，令 x0 得：y - 145（015）2+45=40.這名運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)的豎直高度為 40 米能力提升解：（1）根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0.5），對(duì)稱軸為 y 軸，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=ax2+0.5. 拋物線經(jīng)過點(diǎn)（ 450 ， 81.5 ）， 代入上式， 得81.5=