大學物理-第4章功與能

1、重大數(shù)理學院趙承均 一、功1.1.恒力做功恒力做功 物體在外力作用下，在力的方向上發(fā)生了一段位移，則外力對物體作物體在外力作用下，在力的方向上發(fā)生了一段位移，則外力對物體作功。功表征了力對空間的累計效應。功。功表征了力對空間的累計效應。cosWFr 在恒力在恒力 作用下質(zhì)點沿直線發(fā)生了一段位移作用下質(zhì)點沿直線發(fā)生了一段位移 ，則在此過程中，則在此過程中，力對質(zhì)點所做的功按以下計算：力對質(zhì)點所做的功按以下計算：FrFr用矢量點積或標積表示：用矢量點積或標積表示：單位：焦耳單位：焦耳( J )( J )，N N m mWFrworkwork done by uniform force重大數(shù)理學院趙

2、承均 . .功是標量，只有大小正負之分。功是標量，只有大小正負之分。. .多個力對物體作功，等于各力對物體作功的代數(shù)和。多個力對物體作功，等于各力對物體作功的代數(shù)和。力對物體做正功；力對物體做正功；力對物體不作功；力對物體不作功；力對物體做負功。力對物體做負功。(0,),cos0,02W,cos0,02W(, ),cos0,02W證明：證明：12()nWFrFFFr 12niWWWW注意重大數(shù)理學院趙承均 . .明確位移是力的作用點的位移。明確位移是力的作用點的位移。. .一對作用力和反作用力矢量和一對作用力和反作用力矢量和為零，但作功的總和不一定為零。為零，但作功的總和不一定為零。FFxFF

3、例如：例如：外力外力 在彈簧拉長過程中彈在彈簧拉長過程中彈簧上的各點的位移是不同的，位移簧上的各點的位移是不同的，位移應該用力的作用點的位移應該用力的作用點的位移 .Fxsl例例1：子彈穿過木塊過程子彈對木子彈穿過木塊過程子彈對木塊的作用力為塊的作用力為 ，木塊對子彈的反，木塊對子彈的反作用力為作用力為 ，木塊的位移為，木塊的位移為 ，子彈的位移為（子彈的位移為（ ）。FFsls阻力對木塊作功：阻力對木塊作功：阻力阻力 對子彈作功：對子彈作功：0Fs 0FslPP重大數(shù)理學院趙承均 F例例2： 恒力恒力 作用在箱子上從小車的左端運動到右端的過程中，一次小作用在箱子上從小車的左端運動到右端的過程

4、中，一次小車固定，另一次沒固定，以地面為參照系，車固定，另一次沒固定，以地面為參照系，F(xiàn)B.兩次摩擦力對箱子作功相同；兩次摩擦力對箱子作功相同；C.兩次箱子獲得動能相同，兩次箱子獲得動能相同， F 作功相同；作功相同；D.兩次由于摩擦力生熱相同。兩次由于摩擦力生熱相同。A.兩次兩次 F 作功相等；作功相等； D 任何一對相互作用力做功的代數(shù)和僅決定于兩物體的任何一對相互作用力做功的代數(shù)和僅決定于兩物體的相對位移相對位移，而，而與參考系的選擇無關。與參考系的選擇無關。重大數(shù)理學院趙承均 . .功是力與位移的點積，而位移依賴坐標系的選擇，所以功與參照系有功是力與位移的點積，而位移依賴坐標系的選擇，

5、所以功與參照系有關。關。例如：例如：傳送帶將箱子從低處運到高處，地面上的人看摩擦力對箱子作正傳送帶將箱子從低處運到高處，地面上的人看摩擦力對箱子作正功，而站在傳送帶上的人看摩擦力沒有作功。功，而站在傳送帶上的人看摩擦力沒有作功。重大數(shù)理學院趙承均 在實際問題中經(jīng)常遇到的是變力作功問題。力的大小在實際問題中經(jīng)常遇到的是變力作功問題。力的大小和方向都隨時間發(fā)生變化。如何處理變力作功問題和方向都隨時間發(fā)生變化。如何處理變力作功問題？解決方法：解決方法：F.無限分割路徑；無限分割路徑；F.以直線段代替曲線段；以直線段代替曲線段；F.以恒力的功代替變力的功；以恒力的功代替變力的功；2.2.變力做功變力做

6、功元功元功coscosdWF drF drFds 物體在變力物體在變力 作用下，在作用下，在 時間內(nèi)發(fā)生了元位移時間內(nèi)發(fā)生了元位移 ，則此力所，則此力所做元功定義為：做元功定義為： F tdtdr21FdrFabdifferential workwork done by time-dependent force重大數(shù)理學院趙承均 F.將各段作功求積分得到變力總功。將各段作功求積分得到變力總功。即力的功定義為：力對位移的線積分。即力的功定義為：力對位移的線積分。功：功：barrWF dr3.3.功的圖像表示功的圖像表示ordrabcosF 功常用圖示法來計算，這功常用圖示法來計算，這種計算方法比

7、較簡便。種計算方法比較簡便。 作出作出 的函數(shù)的函數(shù)圖像，曲線與橫軸所圍面積表圖像，曲線與橫軸所圍面積表示功的大小：示功的大?。篶osFr重大數(shù)理學院趙承均 F.受力分析；受力分析；F.建立坐標系；建立坐標系；F.確定元功；確定元功；F.由功的定義求解。由功的定義求解。例例1：萬有引力的：萬有引力的功功 質(zhì)量為質(zhì)量為 m m 的衛(wèi)星從的衛(wèi)星從 H H 高空自由垂直下落到地面，地球質(zhì)量為高空自由垂直下落到地面，地球質(zhì)量為 M M、半、半徑徑R R，求萬有引力的功。，求萬有引力的功。4.4.功的計算功的計算dWF drbarrWF drF重大數(shù)理學院趙承均 分析：分析：當衛(wèi)星下落時萬有引力的大小在

8、變化，為變當衛(wèi)星下落時萬有引力的大小在變化，為變力作功。建立坐標系，將路徑無限分割，在力作功。建立坐標系，將路徑無限分割，在drdr上做上做的元功的元功dAdA為：為：dWF dr矢量矢量 與與 的方向相反的方向相反drF2mMFGrr 2mMdWGdrr 由于：由于：得到元功：得到元功：drdrr roMHRRFdr重大數(shù)理學院趙承均 整個過程所做的功為：整個過程所做的功為：即：此情形萬有引力做正功。即：此情形萬有引力做正功。F211110RR HRR HWGmMdrrGmMrGmMRRH 重大數(shù)理學院趙承均 彈性系數(shù)為彈性系數(shù)為 k k 的彈簧，在彈力的作用下，從距原長為的彈簧，在彈力的作

9、用下，從距原長為 x x0 0 收縮到收縮到 x x，求此過程中彈力作功。求此過程中彈力作功。oxo分析：分析：彈簧在收縮過程中彈力變彈簧在收縮過程中彈力變化，為變力作功，以彈簧原長為化，為變力作功，以彈簧原長為原點建立坐標系，在位移原點建立坐標系，在位移dxdx上的上的元功為：元功為：OriginOrigin例例2：彈力的：彈力的功功dWF dxFF矢量矢量 與與 的方向相反的方向相反dxFFkxi 由于：由于：dxdxixoxx重大數(shù)理學院趙承均 dWkxdx 得到元功：得到元功：整個過程所做的功為：整個過程所做的功為：2221211220ooxxxxoWkxdxk xkxkx 即：此情形

10、彈力做正功。即：此情形彈力做正功。dxxFxox重大數(shù)理學院趙承均 力的功率描寫該力對質(zhì)點做功快慢的物理量，即單位時間內(nèi)該力對力的功率描寫該力對質(zhì)點做功快慢的物理量，即單位時間內(nèi)該力對質(zhì)點所做的功。質(zhì)點所做的功。1.1.平均功率平均功率2.2.（瞬時）功率（瞬時）功率外力作功與時間之比：外力作功與時間之比：二、功率WPt0limtWdWPtdt 平均功率的極限：平均功率的極限：由于：由于：dWF drdrvdtPF v單位：瓦特，單位：瓦特，1W=1N1W=1Nm/sm/spowermean power重大數(shù)理學院趙承均 在計算變力的功時，必須知道力隨位移的函數(shù)關系，但在有些情況在計算變力的功

11、時，必須知道力隨位移的函數(shù)關系，但在有些情況下力的變化比較復雜，難于找出這種固定的函數(shù)關系，使變力功的計算下力的變化比較復雜，難于找出這種固定的函數(shù)關系，使變力功的計算變得復雜。但是力對物體作功，改變了物體的運動狀態(tài)，那么作功和物變得復雜。但是力對物體作功，改變了物體的運動狀態(tài)，那么作功和物體狀態(tài)變化有什么關系？體狀態(tài)變化有什么關系？當外力移動物體從當外力移動物體從a a到到b b過程中，力過程中，力對物體作功，將外力分解為切向分對物體作功，將外力分解為切向分力和法向分力：力和法向分力：一、動能定理cosbabarrssWF drFds由：由：abnFFF重大數(shù)理學院趙承均 而：而：cosdv

12、FFmdtdsvdt221122bababassssvvoWF dsdvmdsdtmvdvmvmv得到：得到：重大數(shù)理學院趙承均 即：合外力作對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量。即：合外力作對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量。（平動）動能（平動）動能. .動能是描寫物體動能是描寫物體狀態(tài)狀態(tài)的物理量，物體狀態(tài)的改變可由作功實現(xiàn)。的物理量，物體狀態(tài)的改變可由作功實現(xiàn)。單位：焦耳，單位：焦耳，J J212kEmv上式即：上式即：kkoWEE動能定理動能定理( translational ) kinetic energykinetic energy theorem注意重大數(shù)理學院趙承均 .W.W為為合外

13、力的功或所受外力功的代數(shù)和合外力的功或所受外力功的代數(shù)和，不是某一個力的功。，不是某一個力的功。. .如果如果 E Ek k E Ek0k0, W 0 , W 0 ,外力對物體做正功；外力對物體做正功；如果如果 E Ek k E Ek0k0, W 0 , W 0 ,外力對物體做負功外力對物體做負功, , 或物體克服外力或物體克服外力( (阻力阻力) )作功。作功。. .動能定理由牛頓第二定律導出，只適用于動能定理由牛頓第二定律導出，只適用于慣性參考慣性參考系，且系，且W W和和E Ek k 均與均與參考系有關。參考系有關。. .功與動能的本質(zhì)區(qū)別：它們的單位和量綱相同，但功是過程量，能是功與動

14、能的本質(zhì)區(qū)別：它們的單位和量綱相同，但功是過程量，能是狀態(tài)量。狀態(tài)量。功是能量變化的量度功是能量變化的量度。. .功是功是過程量過程量，動能是，動能是狀態(tài)量狀態(tài)量，動能定理建立起過程量功與狀態(tài)量動，動能定理建立起過程量功與狀態(tài)量動能之間的關系。在計算復雜的外力作功時只須求始末兩態(tài)的動能變化，能之間的關系。在計算復雜的外力作功時只須求始末兩態(tài)的動能變化，即求出該過程的功。即求出該過程的功。重大數(shù)理學院趙承均 1.確定研究對象確定研究對象(隔離物體法）；隔離物體法）；2.受力分析，分析作功的力，不作功的力不考慮；受力分析，分析作功的力，不作功的力不考慮；3.分析始末運動狀態(tài)，確定分析始末運動狀態(tài)，

15、確定Ek、Ek0；4.應用定理列方程求解。應用定理列方程求解。例：第二宇宙速度例：第二宇宙速度 宇宙速度是指物體成為航天器而從地球表面發(fā)射的最小速度。地球半宇宙速度是指物體成為航天器而從地球表面發(fā)射的最小速度。地球半徑徑R=6400kmR=6400km。二、動能定理的應用解題思路：解題思路： 第一宇宙速度是使物體進入地球軌道、成為人造衛(wèi)星的地面最小發(fā)第一宇宙速度是使物體進入地球軌道、成為人造衛(wèi)星的地面最小發(fā)射速度：射速度：v v1 1=7.9km/s=7.9km/s；第二宇宙速度是物體擺脫地球引力、繞太陽公轉；第二宇宙速度是物體擺脫地球引力、繞太陽公轉的地面最小發(fā)射速度：的地面最小發(fā)射速度：v

16、 v2 2=11.2 km/s=11.2 km/s；第三宇宙速度為物體脫離太陽引；第三宇宙速度為物體脫離太陽引力，繞銀河系中心旋轉的地面發(fā)射最小速度：力，繞銀河系中心旋轉的地面發(fā)射最小速度：v v3 3=16.4km/s=16.4km/s。重大數(shù)理學院趙承均 解：解：物體受萬有引力，物體以初速度物體受萬有引力，物體以初速度 v v 發(fā)射，脫離地球引力至少在無窮發(fā)射，脫離地球引力至少在無窮遠處的速度為遠處的速度為 0 0，212koEmv初態(tài)動能：初態(tài)動能：末態(tài)動能：末態(tài)動能：,0,0krvE 發(fā)射過程中萬有引力作功：發(fā)射過程中萬有引力作功：211RRGmMWGmMdrGmMrrR 重大數(shù)理學院

17、趙承均 由質(zhì)點動能定理：由質(zhì)點動能定理：kkoWEE由于在地球表面附近：由于在地球表面附近：2MmmgGR2MgGR322 9.8 6400 1011.2km/svgR2102GmMmvR222GMGMvRRR roMRFdr重大數(shù)理學院趙承均 一、保守力和非保守力 一般情況下，功是與路經(jīng)有關的量。但并非所有力做功都與具體路徑一般情況下，功是與路經(jīng)有關的量。但并非所有力做功都與具體路徑有關。按照力做功的性質(zhì)不同，可以將力分成有關。按照力做功的性質(zhì)不同，可以將力分成保守力保守力與與非保守力非保守力兩大類。兩大類。1.1.重力的功重力的功 下面分別討論重力、彈力下面分別討論重力、彈力和萬有引力的做

18、功的特點。和萬有引力的做功的特點。 在重力作用下，移動體在重力作用下，移動體從從a a到到b b過程中，重力對物體過程中，重力對物體做（正）功，按照不同的路做（正）功，按照不同的路徑，重力做功是否一樣呢？徑，重力做功是否一樣呢？yoabahbhcdconservative & non-conservative force重大數(shù)理學院趙承均 重力在任意小段重力在任意小段 上做的元功為：上做的元功為：drdWmg drmgjdxidyjmgdy 所以物體從所以物體從 重力做的總功為：重力做的總功為：abbahhbaWmgdymghmghV 若物體沿另一路徑若物體沿另一路徑adbadb，結果

19、相同。，結果相同。mgdryoabahbhcd重力的功只與運動物體的始末位置有重力的功只與運動物體的始末位置有關，與運動物體所經(jīng)過的路徑無關。關，與運動物體所經(jīng)過的路徑無關。結論重大數(shù)理學院趙承均 2.2.彈力的功彈力的功 由彈力做功的由彈力做功的結論結論：即：彈力、引力對物體做的功只與物體的始末位置有關，與物體的運動即：彈力、引力對物體做的功只與物體的始末位置有關，與物體的運動路徑無關。路徑無關。221122oWkxkxV 3.3.萬有引力的功萬有引力的功 由引力做功的由引力做功的結論結論：oGmMGmMWrrV 重大數(shù)理學院趙承均 物體沿閉合路徑繞行一周，保守力力所做的功恒為零。非保守力則

20、無物體沿閉合路徑繞行一周，保守力力所做的功恒為零。非保守力則無此特性。此特性。保守力保守力 做功只與物體的始末位置有關，而與做功的路徑無關，稱為保守力。做功只與物體的始末位置有關，而與做功的路徑無關，稱為保守力。非保守力非保守力 做功不僅與物體的始末位置有關，且與做功路徑有關，稱為非保守力。做功不僅與物體的始末位置有關，且與做功路徑有關，稱為非保守力。保守力保守力重力重力彈力彈力萬有引力萬有引力靜電力靜電力非保守力非保守力摩擦力摩擦力.爆炸力爆炸力conservative forcenon-conservative force重大數(shù)理學院趙承均 二、勢能 勢能（勢能函數(shù)）是由物體的相對位置決定

21、的函數(shù)，與保守力做功勢能（勢能函數(shù)）是由物體的相對位置決定的函數(shù)，與保守力做功有關，是狀態(tài)函數(shù)。有關，是狀態(tài)函數(shù)。1.1.勢能差勢能差 由于保守力的功只由路徑的始、末位置確定，這就說明一定存在狀態(tài)由于保守力的功只由路徑的始、末位置確定，這就說明一定存在狀態(tài)函數(shù)，使得保守力的功可用狀態(tài)函數(shù)的變化表示。函數(shù)，使得保守力的功可用狀態(tài)函數(shù)的變化表示。勢能勢能 物體在保守力場中物體在保守力場中 兩點的勢能兩點的勢能 之差等于質(zhì)點由之差等于質(zhì)點由 點點 到到 過程中保守力對物體做的功，即：過程中保守力對物體做的功，即：, a b ,papbErErab barpapbrErErF drpotential

22、energy重大數(shù)理學院趙承均 2.2.勢能勢能即：即：or 0poEr 選取選取 作為勢能零點，即：作為勢能零點，即： 。那么某點的勢能等于將質(zhì)點。那么某點的勢能等于將質(zhì)點從該點移動到勢能零點保守力所做的功。從該點移動到勢能零點保守力所做的功。 orppporErErErF dr重力勢能重力勢能一般選地面為勢能零點，則離地面高度為一般選地面為勢能零點，則離地面高度為 時：時：hWEmgh彈力勢能彈力勢能一般選取原長為勢能零點，則形變?yōu)橐话氵x取原長為勢能零點，則形變?yōu)?時：時：x212EEkxweight potential energyelastic potential energy重大數(shù)理

23、學院趙承均 引力勢能引力勢能GmMEGr r一般選相距無窮遠處為勢能零點，則相距一般選相距無窮遠處為勢能零點，則相距 時：時： 勢能為狀態(tài)量，是狀態(tài)（位置）的單值函數(shù)。其數(shù)值還與零勢能點的勢能為狀態(tài)量，是狀態(tài)（位置）的單值函數(shù)。其數(shù)值還與零勢能點的選取有關。選取有關。gravitational potential energy注意 勢能屬于物體與系統(tǒng)所共有。勢能屬于物體與系統(tǒng)所共有。 只有保守力場才能引入勢能的概念。只有保守力場才能引入勢能的概念。重大數(shù)理學院趙承均 三、勢能曲線Curve of WPECurve of WPEWEhoWEmghEExo212EEkxGEroGmMEGr Cur

24、ve of EPECurve of EPECurve of GPECurve of GPE重大數(shù)理學院趙承均 由勢函數(shù)求保守力由勢函數(shù)求保守力dlFdlFl dFdElPcos 若質(zhì)點在保守力的作用下，沿某一給定的若質(zhì)點在保守力的作用下，沿某一給定的 方向有元位移方向有元位移 ，由定，由定義，勢能增量為：義，勢能增量為：Ll d四、保守力與勢能的關系dldEFPl即：即：保守力沿某給定方向的保守力沿某給定方向的投影等于此保守力相應的勢投影等于此保守力相應的勢能沿該方向的空間變化率。能沿該方向的空間變化率。其中其中 為為 在在 方向的投影，由此得到：方向的投影，由此得到：lFFLLFPl d重大

25、數(shù)理學院趙承均 ,pPPxyzEEEFFFxyz xyzPPPFF iF jF kEEEijkxyz pFE 即：保守力等于勢能的負梯度。即：保守力等于勢能的負梯度。一般情況下，有：一般情況下，有：在直角坐標系中在直角坐標系中: :, ,ppEEx y z則則: :ijkxyz 梯度算符梯度算符重大數(shù)理學院趙承均 一、質(zhì)點系的動能定理 上一節(jié)研究了一個質(zhì)點的動能定理，如果研究的對象為質(zhì)點系，動上一節(jié)研究了一個質(zhì)點的動能定理，如果研究的對象為質(zhì)點系，動能定理又如何表示？以最簡單的兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系為研究對象。能定理又如何表示？以最簡單的兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系為研究對象。 兩個質(zhì)點質(zhì)量為兩個質(zhì)點質(zhì)

26、量為 、 ，受外力，受外力 、 ，內(nèi)力，內(nèi)力 、 ，初速度，初速度為為 、 ，末速度為，末速度為 、 ，位移為，位移為 、 。1m2m1v2v1F2F12f21f1ov2ov1r2r分別對兩質(zhì)點分別對兩質(zhì)點 應用動能定理：應用動能定理： 1111eikk oWWEE 2222eikk oWWEE重大數(shù)理學院趙承均 將之看做一個系統(tǒng)，兩式相加：將之看做一個系統(tǒng)，兩式相加：1nkkiiEE為質(zhì)點系的動能，則：為質(zhì)點系的動能，則： 1111nnnneiiikikioiiiiWWEE令：令： 11nneiiikkokiiWWEEE 即：即：kWE 即：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點所受一切外力與內(nèi)力的功之代數(shù)和，等于

27、質(zhì)點系動能即：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點所受一切外力與內(nèi)力的功之代數(shù)和，等于質(zhì)點系動能的增量。的增量。重大數(shù)理學院趙承均 利用質(zhì)點系的動能定理：利用質(zhì)點系的動能定理： 11nneiiikkokiiWWEEE 其中內(nèi)力作功的代數(shù)和項其中內(nèi)力作功的代數(shù)和項 可分為系統(tǒng)保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)可分為系統(tǒng)保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功，即：力的功，即： 1niiiW 111nnniciniiiiiiiWWW由保守力作功等于勢能由保守力作功等于勢能增量的負值的結論：增量的負值的結論：二、功能原理 111nnneciniiiikiiiWWWE 重大數(shù)理學院趙承均 1nciipiWE 物體系的動能與勢能之和稱為物體系的物體

28、系的動能與勢能之和稱為物體系的機械能機械能。kpEEE 11nneniiikpkpiiWWEEEE 機械能機械能mechanical energy即：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點所受外力與非即：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點所受外力與非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和，等于系保守內(nèi)力的功的代數(shù)和，等于系統(tǒng)機械能的增量。統(tǒng)機械能的增量。功能原理功能原理principal of work and energy 11nneniiiiiWWE 重大數(shù)理學院趙承均 1. 導致機械能變化的是導致機械能變化的是各質(zhì)點所受的外力和非保守內(nèi)力的功，保守力的功各質(zhì)點所受的外力和非保守內(nèi)力的功，保守力的功不影響機械能不影響機械能.2.注意 11nneniiii

29、iWWE 1100nneniiiiiWWE 1100nneniiiiiWWE 1100nneniiiiiWWE 重大數(shù)理學院趙承均 三、應用功能原理解題3.確定勢能確定勢能0點，以及始末兩態(tài)的機械能點，以及始末兩態(tài)的機械能E0、E。2.受力分析，不考慮保守力和不作功的力。受力分析，不考慮保守力和不作功的力。1.確定研究對象，必須是質(zhì)點系。確定研究對象，必須是質(zhì)點系。4. 列方程求解。列方程求解。下面舉例應用功的定義、動能定理和功能原理三種方法進行比較，看看哪下面舉例應用功的定義、動能定理和功能原理三種方法進行比較，看看哪一種方法好？一種方法好？ 11nneniiiiiWWE 重大數(shù)理學院趙承均

30、 例例1 1：質(zhì)量為質(zhì)量為 m m 的物體從一個半徑為的物體從一個半徑為 R R 的的1/4 1/4 圓弧型表面滑下，到達底圓弧型表面滑下，到達底部時的速度為部時的速度為 v,v,求求 A A 到到 B B 過程中摩擦力所做的功？過程中摩擦力所做的功？解解1 1：功的定義：功的定義 以以m m為研究對象，受力為研究對象，受力分析如圖示。分析如圖示。在軌道切向：在軌道切向：dvFmamdtcosdvmgfmdtoRCABNmgf nmcosdvfmgmdt重大數(shù)理學院趙承均 2002coscos12fvWf drf drfdsdvmgdsmdsdtdvmgRdmvdtdtmvmgR drdoRC

31、ABNmgf nm重大數(shù)理學院趙承均 解解2 2：動能定理：動能定理由質(zhì)點動能定理：由質(zhì)點動能定理：受力分析：只有重力和摩擦力作功。受力分析：只有重力和摩擦力作功。GfkkoWWEEcosfkmgdsWE0koE22021cos212fWmvmgRdmvmgRA A點物體動能點物體動能oRCABNmgf nm重大數(shù)理學院趙承均 解解3 3：功能原理：功能原理以物體和地球為研究對象。以物體和地球為研究對象。受力分析，不考慮保守力重力和不作功的力彈力受力分析，不考慮保守力重力和不作功的力彈力N N，只有摩擦力，只有摩擦力非保非保守內(nèi)力守內(nèi)力 f f 作功，作功， 110,nneniiifiiWWW

32、oRCABNmgf nm選擇選擇 B B 點為重力勢能點為重力勢能0 0點，點，則阻力做的功：則阻力做的功：212fBAWEEmvmgR重大數(shù)理學院趙承均 例例2 2：一物體質(zhì)量為一物體質(zhì)量為 2kg2kg，以初速，以初速 3.0m/s3.0m/s從斜面的點從斜面的點 A A 處下滑，它與斜處下滑，它與斜面之間的摩擦力為面之間的摩擦力為 8N 8N，到達點，到達點 B B 時，壓縮彈簧時，壓縮彈簧績績 20cm20cm，達到，達到C C點停止，點停止，然后又被彈送回去。求彈簧的勁度系數(shù)然后又被彈送回去。求彈簧的勁度系數(shù)k k和物體最后能到達的高度和物體最后能到達的高度。設彈設彈簧系統(tǒng)的質(zhì)量略去

33、不計?；上到y(tǒng)的質(zhì)量略去不計。解：功能原理解：功能原理(1)(1)以物體以物體+ +彈簧彈簧+ +地球為研究對象。地球為研究對象。受力分析：受力分析： 重力、彈力是保守力不考重力、彈力是保守力不考慮，斜面的支持力慮，斜面的支持力 N N 不作功不作功不考慮，只有摩擦力不考慮，只有摩擦力 f f非非保守內(nèi)力作功，保守內(nèi)力作功， 重力重力 0 0 勢點選在最低點勢點選在最低點 C C，彈力彈力 0 0 勢點選在彈簧原長處勢點選在彈簧原長處 B B 點，點，4.8m0.2mAvfhABC36.9重大數(shù)理學院趙承均 初態(tài)機械能：初態(tài)機械能：212AAEmvmghsin36.9hAC末態(tài)機械能：末態(tài)機械能

34、：21()2CEk BC由功能原理：由功能原理：4.8m0.2mAvfhABC36.9 11nneniiiiiWWE 110neiinniifiWWWE 重大數(shù)理學院趙承均 2211()()22Af ACk BCmvmgh2211,22AACEmvmgh Ek BCfCAWEE而：而：前式即：前式即：22311()sin36.9()2121.39 10Amvmg ACf ACkBCN m重大數(shù)理學院趙承均 (2)(2) 物體從物體從C C點反彈到最高點點反彈到最高點D D的過程中：的過程中：初態(tài)、末態(tài)機械能：初態(tài)、末態(tài)機械能：21() ,2cDEk BCEmgh由功能原理：由功能原理：DCWE

35、E阻D0.2mfhBC36.921sin36.92hf CDfmghk BC 2()2sin36.90.84k BChfmgm重大數(shù)理學院趙承均 由質(zhì)點系的功能原理：由質(zhì)點系的功能原理：若：若：0EokopkpEEEE機械能守恒定律機械能守恒定律：當作用于質(zhì)點系的外力和非保守內(nèi)力作功代數(shù)和：當作用于質(zhì)點系的外力和非保守內(nèi)力作功代數(shù)和為為0 0時，系統(tǒng)的機械能守恒。時，系統(tǒng)的機械能守恒。即：即：四、機械能守恒定律 11nneniiiiiWWE 1100neiinniiiWWThe law of conservation of mechanical energy重大數(shù)理學院趙承均 2. 2. 保守

36、內(nèi)力作功不改變系統(tǒng)機械能，但使系統(tǒng)的動、勢能相互轉換。保守內(nèi)力作功不改變系統(tǒng)機械能，但使系統(tǒng)的動、勢能相互轉換。4. 4. 第一類永動機違反了能量守恒定律，因此是制造不出來的。第一類永動機違反了能量守恒定律，因此是制造不出來的。1. 1. 系統(tǒng)機械能守恒的條件：系統(tǒng)機械能守恒的條件： 無外力和非保守內(nèi)力；無外力和非保守內(nèi)力； 外力和非保守內(nèi)力都不作功；外力和非保守內(nèi)力都不作功； 外力和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和為外力和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和為0 0。3. 3. 只在慣性參考系成立，動、勢能和機械能都與參考系的選擇有關只在慣性參考系成立，動、勢能和機械能都與參考系的選擇有關。注意重大數(shù)理學院趙承均

37、1.1.質(zhì)量為質(zhì)量為m=0.5kgm=0.5kg的質(zhì)點的質(zhì)點, ,在在 xoyxoy 坐標平面內(nèi)運動，其運動方程為坐標平面內(nèi)運動，其運動方程為 x=5tx=5t2 2, , y=0.5 (SI),y=0.5 (SI),從從 t=2st=2s到到 t=4s t=4s 這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點作的功為：這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點作的功為： B (A) 1.5 J(B) 3.0J(C) 4.5J(D) -1.5J222122211012506030 xkvvtWEm vvm ttmJ 思考題思考題重大數(shù)理學院趙承均 2.2.今有勁度系數(shù)為今有勁度系數(shù)為k k的彈簧的彈簧( (質(zhì)量忽略不記質(zhì)量忽略不記) )

38、豎直放置豎直放置, ,下端懸一小球下端懸一小球, ,球的球的質(zhì)量為質(zhì)量為m,m,開始使彈簧為原長而小球恰好與地接觸開始使彈簧為原長而小球恰好與地接觸, ,今將彈簧上端緩慢提起今將彈簧上端緩慢提起, ,直到小球剛能脫離地面為止直到小球剛能脫離地面為止, ,在此過程中外力作功為：在此過程中外力作功為： C F 22A,4m gk 224Em gk 222Dm gk 22C,2m gk 22B3m gk222211222mgm gWkxkkk重大數(shù)理學院趙承均 3.3.兩木塊質(zhì)量分別為兩木塊質(zhì)量分別為m mA A和和m mB B , ,且且m mA A=2m=2mB B ，兩者用一輕彈簧連接后靜止于

39、一，兩者用一輕彈簧連接后靜止于一光滑水平面上光滑水平面上, ,如圖所示如圖所示. .今用外力將兩木塊壓近使彈簧被壓縮今用外力將兩木塊壓近使彈簧被壓縮, ,然后將外然后將外力撤去力撤去, ,則此后兩木塊運動動能之比則此后兩木塊運動動能之比 E EAkAk/E/EBkBk 為：為： B BmAm2022BABBAABABBAAvvvmvmEEvmvm 1A,2 D 2 2 C2, B 2重大數(shù)理學院趙承均 4.4.對功的概念有以下幾種說法：對功的概念有以下幾種說法：(1)(1)保守力作正功時系統(tǒng)內(nèi)相應的勢能增加保守力作正功時系統(tǒng)內(nèi)相應的勢能增加. .(2) (2) 質(zhì)點運動經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)

40、點作的功為零質(zhì)點運動經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)點作的功為零. .(3)(3)作用力與反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作的功的代數(shù)合作用力與反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所作的功的代數(shù)合必為零必為零在上述說法中：在上述說法中： C (A) (1) (A) (1) 、(2)(2)是正確的是正確的(B) (2) (B) (2) 、(3)(3)是正確的是正確的(C)(C)只有只有(2)(2)是正確的是正確的(D)(D)只有只有(3)(3)是正確的是正確的重大數(shù)理學院趙承均 5.5.一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m m 的質(zhì)點的質(zhì)點, ,在半徑為在半徑為 R R 的半球形容器中的半球形容器中, ,由靜止開

41、始自邊緣上由靜止開始自邊緣上的的 A A 點滑下點滑下, ,到達最低點到達最低點 B B 時時, ,它對容器的正壓力數(shù)值為它對容器的正壓力數(shù)值為 N, N, 則質(zhì)點自則質(zhì)點自 A A 滑到滑到 B B 的過程中的過程中, ,摩擦力對其做的功為摩擦力對其做的功為: : A (C),2R Nmg3(A),2R Nmg3(B),2RmgN2(D)2R Nmg。oABR2212132BfBvNmgmRWmvmgRNmg R 重大數(shù)理學院趙承均 6.6.一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m m 的物體的物體, ,位于質(zhì)量可以忽略的直立彈簧正上方高度為位于質(zhì)量可以忽略的直立彈簧正上方高度為h h處處, ,該物體從靜止開始

42、落向彈簧該物體從靜止開始落向彈簧, ,若彈簧的勁度系數(shù)為若彈簧的勁度系數(shù)為k,k,不考慮空氣阻力不考慮空氣阻力, ,則則物體可能獲得的最大動能是物體可能獲得的最大動能是： C 22(C),2m gmghk(A),mgh22(B),2m gmghk22(D).m gmghkhm222,22kkkxmgkxmg hxEm gEmghk重大數(shù)理學院趙承均 7.7.當重物減速下降時，合外力對它做的功：當重物減速下降時，合外力對它做的功：（A A）為正值。）為正值。（B B）為負值。）為負值。（C C）為零。）為零。（D D）無法確定。）無法確定。 B 0kWE 重大數(shù)理學院趙承均 8.8.如圖所示，圓

43、錐擺的小球在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動，判斷下列說法如圖所示，圓錐擺的小球在水平面內(nèi)作勻速率圓周運動，判斷下列說法中正確的是：中正確的是：（A A）重力和繩子的張力對小球都不作功。）重力和繩子的張力對小球都不作功。（B B）重力和繩子的張力對小球都作功。）重力和繩子的張力對小球都作功。（C C）重力對小球作功，繩子張力對小球不作功。）重力對小球作功，繩子張力對小球不作功。（D D）重力對小球不作功，繩子張力對小球作功。）重力對小球不作功，繩子張力對小球作功。 A 重大數(shù)理學院趙承均 9.9.用鐵錘將一只鐵釘擊入木板內(nèi)用鐵錘將一只鐵釘擊入木板內(nèi), ,設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板之設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板之深度成正比深度成正比, ,如果在擊第一次時如果在擊第一次時, ,能將釘擊入木板內(nèi)能將釘擊入木