專題--數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n（at +an）n（n -1）1、等差數(shù)列求和公式：Sn二二na 7d2 22、na1等比數(shù)列求和公式：Sn二a1（1 -qn）1_q a1 anq1 -q(q = 1)3、Jn(n 1)24、&八 k2 Jn(n 1)(2n 1)

2、k a65、例1已知log3 xlog2 3，求 XX2X3 亠 亠 xnn項(xiàng)和.解：由log3 x-1=log3 x =Tog3 2 二log 2 3由等比數(shù)列求和公式得（利用常用公式）x(1 xn)1 -x1 1-(1 -)22丿=1 _丄1 2n1 -2例 2設(shè) Sn= 1+2+3+ +n , n N*,求 f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得1 1S1n(n 1)，(n 1)(n 2)（利用常用公式）Snf(n)(n - 32)Sn 12n 34n 641n 3464n當(dāng)、n 8,8即n= 8時(shí),f （n） max50二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比

3、數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 亠 亠(2n - 1)xn J 解：由題可知，(2n- 1)x2的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 x1的通項(xiàng)之積設(shè) xSn =1x 3x2 5x3 - 7x 2n- 1）xn （設(shè)制錯(cuò)位）得（1 -x）Sn =1 2x 2x2 2x3 2x4一 2xn-（2 n - 1）xn（錯(cuò)位相減）1 _ xn再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 2x丄 -（2n - 1）xn1 -xSn =（2n -1）xn 1

4、-（2n 1）xn （1 x）（1-x）22 46例4求數(shù)列一，-2 2李，前n項(xiàng)的和.2n解：由題可知,設(shè)Sn2Sn2 ' 23 '2 n班的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列22 23 2n匕空空1n的通項(xiàng)之積22=_2_2 22 32 42門11一得(-)Sn222222n+ +22223242n2門1二2 -珀(設(shè)制錯(cuò)位)(錯(cuò)位相減)2n2n 1n +2Sn "2心三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè)(a1 an).例 5求證：C； 3C： 5C；(2n 1)C：

5、二(n 1)2n證明：設(shè) Sn -C； 3C1 5C2 - (2n 1)C； .把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn 二（2n 1）Cn （2n 一 1）C：C0（反序）又由可得Sn =（2n 1）C0（2n 1）C： 3C：C； .+得2Sn =（2n+2）（C0+C：十+C："*+C：） = 2（n+1），2n（反序相加）5 =(n 1) 2n例 6求 sin 1 sin2sin 3 飛in88 sin 89 的值解：設(shè) S = sin1sin 2sin 3sin 88 sin89 將式右邊反序得_ 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 / .S = sin 89 sin 88 飛 i n

6、3 s i n 2 s i n 1 .(反序)2 2又因?yàn)?sinx 二cos(90 x),sin x cos x= 1+得(反序相加)2 0 2。 2。 2。 2。 2。2S =(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )亠 亠(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或 常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可幽111例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 - 1,4, 27,；n4 ' 3n - 2，a aa1 1 1解：設(shè) Sn = (1 1) ( 4)(飛 7)嘉

7、7 3n - 2) aaa將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1n 4)(147 3n - 2)al(3 n 1)n(3n +1) n=n=2 2_1 _an + (3n T)n a -a1+ (3n -1)n2= a-12a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.當(dāng)a= 1時(shí),當(dāng)a =1時(shí),SnSn（分組）（分組求和）45解：設(shè) ak =k(k 1)(2k1)二2k3 3k2 k#6（分組）（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)an=f (n 1)-f(n)(2

8、)sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tann(3)ann(n 1)(4)(2n)2n _(21)(2n 1)2 2n 1 2n 1(5)ann(n -1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)2(n1) -n 1n(n 1) 2nn(n 1)2n n -2n4(n 1)2n，則Sn(n 1)2n1例9求數(shù)列1 .展 6二”",n項(xiàng)和.解：設(shè) an = = Jn +1 - TnJn 十 Jn +1（裂項(xiàng)）則 S1-Sn 12.2.3.n "1（裂項(xiàng)求和）=(2 -1) ( 3 -、2)( n 1 -n)32Sn 八 k(k 1)(2k 1)八

9、(2k 3k k)k 4k 4將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得nnnSn= 2k3 3、 k2、kk 4k Ak 4=2(13 23 亠亠 n3) 3(12 22 亠亠 n2) (1 2 亠亠 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 2 n(n 1)2( n 2)2五、裂項(xiàng)法求和例10在數(shù)列an中，an12n2，又bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.n 1 n 1 n 1an an d解:12nnan=+ 八 +=n 1n 1n 12bn2=8（一一-丄）n n 1nn 12 2數(shù)列b n的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)）1 1、 ，1 1111111Sn"2)(廠3)4)(n)

10、（裂項(xiàng)求和）1=8（1 一冷8nn 1例11 求證:111C0S12cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos89 sin 11 1 1解：設(shè)S-cos0 cosC cos1cos2cos88 _cos89 '（裂項(xiàng)）oil I Iotan(n 1) - tanncos n cos(n 1)1 1 1S1一一(裂項(xiàng)求和)cos0 cos1 cos1 cos 2cos88 cos891 =(tan 1 -ta nO ) (ta n2 - tan1 ) (tan3 - tan2 ) tan 89 - ta n88 sin 1I(tan 89 -tan 0 )= sin 11

11、sin 1-cot1cos1sin21原等式成立六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° cosn 二-cos(180 -n)(找特殊性質(zhì)項(xiàng)).Sn=(cos1 ° + COS1

12、79 ° ) + ( cos2° + cos178 ° ) + ( cos3° + cos177 °) + + (cos89° + cos91 °) + cos90°(合并求和)=0例 13數(shù)列an : a =1月2 =3, a3 = 2,an 2 二 an 1 - an ,求 S2002.解：設(shè) S2002= a1a2 a3 亠 亠 a2002由 ai = 1, a2 = 3, a3 = 2, a* 2 = a* .1 - an 可得a4 = -1, a5 = - 3, a6 = _2,a? =1, a$ =3,

13、a9 = 2, a® - -1,di 二 _3,a12a6k 1 - 1,a6k2 - 3,a6k 3 - 2,36k4 - -1,a6k 5- -3, a6k6 - -2 a6k 1 'a6k2 ' a6k3 '4 'a6k5 ' a6k 6= 0(找特殊性質(zhì)項(xiàng))-S2002 = &1 a? ' a-a2002(合并求和)=(a1a2aa6)(a7aa12)(a6k 1'a6k()2廠a6k6)+ ' ' '+(a1993 + 3994 +，''+a1998)+ a1999 +

14、a2000 + a2001 * a2002=a1999 a 2000 ' a2001 ' a2002=a6k 1' a6k 2' a6k 3'覓總牌=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 =9,求logsa1logs a亠logsaw的值解：設(shè)Sn二也印 log3a2他3印0由等比數(shù)列的性質(zhì)m n二p q= aman二apaq(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga M loga N = log a M N 得Sn = (loga a1Iog3a10) (loga a2loga a9"(loga a5 loga a6)(合并求和)=(

15、logad 日10) (loga a2 a?)(logaa5 a6)=loga 9 loga 9 亠 亠 loga 9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法例 15求 1111111111 之和.n個(gè)1解:1由于 11119999 =V= * Q 1 vf= 1k個(gè) 19k 個(gè) 11(10k -1)9（找通項(xiàng)及特征）1 11 11 111 1n個(gè)1(101 -1) 19(102 -1)19(103 一1) 19(10n-1)（分組求和）A .何)(1 1 1)9n個(gè)11 10(10n -1) n910-1 一 9=丄(10n 1 -10 _9n)81例16已知數(shù)列an: an8(n 1)(n3)oC,求v