2019-2020年高考數(shù)學(xué)《基本不等式》專題復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)基本不等式專題復(fù)習(xí)教學(xué)案【知識(shí)梳理】一、基本不等式qabwa2b1 .基本不等式成立的條件：a0, b0.2 .等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào).二、幾個(gè)重要的不等式 .22a四、利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x0, y0,則：如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是2vp.(簡(jiǎn)記：積定和最 (2)如果和x+ y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng) x= y時(shí),xy有最大值是pp(簡(jiǎn)記：和定積最大)【基礎(chǔ)自測(cè)】1.函數(shù)y=x+1(x0)的值域?yàn)?x、1解析： .x0,y=x+ -2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).答案：2, +8)x2.已知 m0, n0,且m

2、n=81,則m+n的最小值為 解析： m0, n0,. m+ n24mn= 18.當(dāng)且僅當(dāng) m= n=9時(shí)，等號(hào)成立.3.已知0x1 ,則x+；的取小值為 .x 1,一 444解析：x+ xj4=x- 1+彳+14+1 = 5.當(dāng)且僅當(dāng)x-1 = x,SP x= 3時(shí)等號(hào)成立.答案：5,一 2 5.5,已知 x 0, y0, lg x+ lg y= 1,則 z=x + ,的取小值為 .解析：由已知條件lg x+lg y=1,可得xy= 10.+ b22ab(a, bC R)； a+b2(a, b 同號(hào)).abj2(a, bC R)；區(qū)2(a,bC R).三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a b設(shè)a0,

3、 b0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為-|-,幾何平均數(shù)為 強(qiáng),基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).則 2+5_ 210= 2,故 2 + 5 )in= 2,當(dāng)且僅當(dāng) 2y=5x 時(shí)取等號(hào).又 xy=10,即 x=2, x yxyx y miny= 5時(shí)等號(hào)成立. 答案：21 .在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正一一各項(xiàng)均為正；二定一一積或和為定值；三相等一一等號(hào)能否取得，若忽略了某個(gè)條件， 就會(huì)出現(xiàn) 錯(cuò)誤.2 .對(duì)于公式a+ b2-7ab, abwjaj,要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了 ab和a+ b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.3

4、.運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b22ab2+ b2b產(chǎn) 4 b 逆用就是abyOB(a, b0)逆用就是ab0)等.還要注意“添、 拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等.【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一利用基本不等式求最值4【例1】(1)已知x0,則f(x)=2 + -+x的最大值為 .x(2)(2012浙江高考)若正數(shù)x, y滿足x+ 3y=5xy,則3x+4y的最小值是 .4 八 一 4解(1) /x 0,f(x)=2 + -+x=2- -x,- -4+ (-x)2/4=4,當(dāng)且僅當(dāng)一x=,即x= 2時(shí)等號(hào)成立. x， x .f(x) = 2- Z4x+x 24= 2,

5、f(x)的最大值為一2.(2) . x0, y0,由 x+3y=5xy 得5+，：= 1.12y x0,11 , 31 3x ,3x+ 4y = 5 (3x + 4y) b+J=5y+4+9 +X 23x 12y= 5(當(dāng)且僅當(dāng)x= 2y時(shí)取等號(hào))，3x+ 4y的最小值為5.【一題多變】 本例(2)條件不變，求xy的最小值.解：.x0, y0,則 5xy=x+3y、212,當(dāng)且僅當(dāng) x=3y 時(shí)取等號(hào).【由題悟法用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值.在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本

6、不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無(wú)論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.【以題試法】1. (1)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)=x22x1的最大值為 (2)(2011天津高考)已知log2a+log2b 1,則3a+9b的最小值為(3)已知x0, y0, xy=x+ 2y,若xy m 2恒成立，則實(shí)數(shù) m的最大值是一，一2x 22 ，一 . ，1 一 一_ ,解析：(1).x0, - f(x) = 2Xi=7 1 得 log2(ab) 1,即 ab2,3a+9b=3a+32b 2X 3a22b(當(dāng)且僅當(dāng) 3a=32b,即 a=2b 時(shí)取等號(hào)).又 a+ 2b2#0b4(當(dāng)且僅

7、當(dāng) a=2b 時(shí)取等號(hào))，3a +9b2X 32= 18.即當(dāng)a=2b時(shí),3a +9b有最小值18.(3)由 x0, y0, xy= x+ 2y2/2,得 xy 8,于是由 m- 2。且a(a +b+c)+bc = 4 2 J3 ,求2a + b + c的最小值.解：由 a,b,c 0,知2a+b+c = (a+b)+(a+c) _2、(a b)(a c) =2 . a2 ab ac bc =2_26 =2而-2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c, 即b = c = -3-1a時(shí)，等號(hào)成立.故2a - b c的最小值為2-、3-2.考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系x

8、Oy, x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為 1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y= kx12 2,，、， , , , , 20(1 + k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)令y = 0,得kx(I + k2)x2= 0,由實(shí)際意義和題設(shè)條件知 x0, k0,故*=普=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).1 十 k 12喝所以炮的最大射程為 10千米.199 x(2)因?yàn)?/p>

9、a0,所以炮彈可擊中目標(biāo) ？存在k 0,使3.2=ka-0(1 + k)a成立?關(guān)于k的方程a2k220ak+a2+64=0有正根?判別式 A= (-20a)2-4a2(a2+64)0 ? a6.所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo).【由題悟法】利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題 目往往較長(zhǎng)，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基 本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解【以題試法】2. (2

10、012福州質(zhì)檢)某種商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不 低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入6(x2600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入 501萬(wàn)兀作為固定宣傳費(fèi)用，投入 -x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí) 每件商品的定價(jià).解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有 他號(hào)5X0.2杵25X8

11、,整理得 t2-65t+ 1 000W0,解得 25t25 時(shí)，不等式 ax25X 8 + 50 + %x2600) + % 有解， 65等價(jià)于x25時(shí)，a-50+-x+1有解.x 65.150, 1. 150 1- -x- + 6x2 y-x-6x=10(當(dāng)且僅當(dāng) x=30 時(shí)，等號(hào)成立)，a102因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【鞏固練習(xí)】1 .函數(shù)y= x + j(x1)的最小值是 x 1解析：x1, . . x- 10.x2+2 x22x+ 2x+2 x22x+ 1 + 2(x 1 4 3

12、y x1x 1x 1(x-1 2+2(x-1 計(jì) 33x3= x- 1 +1 +22當(dāng)且僅當(dāng)x1=島，即x= 1 + V3時(shí)，取等號(hào)1 1 k2 .設(shè)a b0，且不等式a+b+帝恒成立,則頭數(shù)k的取小值等于 .11 k一解析：由一+1 +0得kAa b a+b/a + b 2 b a以一喏J4,因此要使Q恒成立，應(yīng)有k -4,即實(shí)數(shù)k的最小值等于一而（、=a+b+2（a=b時(shí)取等號(hào)），所4.x2 5 .3 .求函數(shù)y =. 的值域. x2 4解：令收+4 =t（t22）,則x2 5一211=qx2 4 : t (t _ 2),x2 4 tE11 _,.、，因t 0,t = =1 ,但t =-解

13、得t =1不在區(qū)間 匕,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性.tt15因?yàn)閥=t+1在區(qū)間1,+無(wú)）單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,）為單調(diào)遞增函數(shù)，故y之5.，5所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,：IL214、求函數(shù)y=x+7（x1）的取小值.解析：1y = x (x 1) =(x -1)2(x-1)22（x -1）21x-1 x -112 1(x 1)=2 1(x 1) 2(x -1)2222(x-1)2-33x -1 x -11222 2(x-1)21-3 125x -115 ,當(dāng)且僅當(dāng) 口 =1(x1)即x = 2時(shí)，“二”222(x-1)2號(hào)成立，故此函數(shù)最小值是525.求函數(shù)y =x2(32x)(0 x

14、 當(dāng) 的最大值23o3解：.0 x 0 , . y = x2(32x)(0 x一) = x x (32x)22b0,求a+ 一1的最小值.b(a - b)8 .已知函數(shù)f(x)=x+ 右(p為常數(shù)，且p0)若f(x)在(1, +8)上的最小值為4,則實(shí)數(shù)p 的值為.解析：由題意得x- 10, f(x) = x-1+-p-+12/p+1,當(dāng)且僅當(dāng)x =8+1時(shí)取等x 1號(hào)，因?yàn)閒(x)在(1 , + 8)上的最小值為4,所以2/p+ 1=4,解得p = 9.9 .已知x 0, a為大于2x的常數(shù)， 一一.1(1)求函數(shù)y=x(a 2x)的最大值；化)求y = aT2x x的取小值.1 _ . 一

15、、解：(1) x0, a2x,. . y=x(a 2x)=2x 2x(a2x)J*塵警Nxm=a,當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為a-. 2 -2 一 848(2)y=a 2x1 a 2x當(dāng)且僅當(dāng)x=a2時(shí)取等號(hào).故丫=x的最小值為由一a.2 a-2x210,正數(shù)x, y滿足X+；=1. 求xy的最小值；(2)求x + 2y的最小值.解：(1)由1 =1+92、1 9得xy 36,當(dāng)且僅當(dāng)1=9,即y= 9x= 18時(shí)取等號(hào)，故xy x y ; x yx y的最小值為36.(2)由題意可得 x+ 2y =(x+2y)+ :尸 19+2y+9x 19+2 9 = 19+642,當(dāng)且僅x+2y的最小值為19+62.當(dāng)紅=雙，即9x2 = 2y2時(shí)取等號(hào)，故 x y11.若 x, y (0, + ), x+2y+ xy= 30.求xy的取值范圍；(2)求x + y的取值范圍.解：由 x+