極坐標與參數(shù)方程知識點總結大全

1、1 .平面直角坐標系中的坐標伸縮變換出癡 (1>0>設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換事0f>5的作用下，點P(x,y)對應到點尸(匕力，稱附為平面直角坐標系中的坐標伸縮變 換,簡稱伸縮變換.2 .極坐標系的概念如圖所示,在平面內取一個定點0,叫做極點,自極點。引一條射線 6，叫做 極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時 針方向)，這樣就建立了一個極坐標系.注：極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景 ,而平面直角坐標系以互相垂直 的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系 ， 而極坐標系則不可.但極坐

2、標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設M是平面內一點,極點°與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為# ;以極 軸&為始邊，射線皿為終邊的角ZrfW叫做點M的極角,記為3 .有序數(shù)對 SE)叫做點m的極坐標，記作MQ?).一般地，不作特殊說明時，我們認為口A返日可取任意實數(shù).特別地，當點M在極點時，它的極坐標為(0, )(Ke R R).和直角坐標不同, 平面內一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定戶>,那么除極點外，平面內的點可用唯一的極坐標9、團表示；同時，極坐標S-砌表示的點也是唯一確定的.3 .極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景：把直角坐標系的原點作

3、為極點，x軸的正半軸作為極軸,并在 兩種坐標系中取相同的長度單位，如圖所示：(2)互化公式：設相是坐標平面內任意一點,它的直角坐標是,極坐標 是S叭>0),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表：點建直角坐標(耳仍極坐標S£)互化公式JjT= pcosd y = psin &二e.7匕日= Jt在一般t#況下,由1als確定角時,可根據點相所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標方程注：由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一，即&的X"再+皈-4-網+我都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式 ，只要求至少

4、有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程口=a點m'*'耳）可以表示為O網或塌：切如也爭4 44 44 4等多種形式，其中,只有4的極坐標滿足方程二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標 百刀都是某個變數(shù)工的函數(shù),并且對于工的每一個允許值,由方程組所確定的點 mu歷都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù)*叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系 的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化（i）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消 去參數(shù)而從參數(shù)

5、方程得到普通方程.（2）如果知道變數(shù)5y中的一個與參數(shù)工的關系，例如工工大。，把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系,那么事=W就是曲線的參數(shù)方程 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使可了的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應用參數(shù)方程解 軌跡問題，關鍵在于適當?shù)卦O參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的 參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設圓。的半徑為，點,從初始位置“口出發(fā)，按逆時針方向在圓°上作勻速圓周運動，設則.其防參蜘y =F9Ji&這就是圓心在原點。,半徑為，的圓的參數(shù)方程，其中日的幾何意義是加。 轉過的角

6、度。圓心為（哂,半徑為r的圓的普通方程是 g" +0-冷' 三，fr=ff+rcostf- - 口倒修蜘它的參數(shù)方程為：y=r&04 .橢圓的參數(shù)方程以坐標原點。為中心，焦點在工軸上的橢圓的標準方程為/ /工二口而5腳.一二技小-j + =Kff>*>Q）L1-時慘物0辦其參數(shù)方程為,其中參數(shù)伊稱為離心2 +7a =K®>A>01t角；焦點在了軸上的橢圓的標準方程是1 6其參數(shù)方程為小而、帥參命，y=am其中參數(shù)挈仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)中的范圍為挈o, 2天）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)學的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把 它和

7、這一點的旋轉角a區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉角數(shù)值可相 等外（即在0到2n的范圍內），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但0<<z< 0<p<一當 2時，相應地也有 2 ,在其他象限內類似。5 .雙曲線的參數(shù)方程以坐標原點0為中心焦點在工軸上的雙曲線的標準議程為蛇處應其參數(shù)方程為仁二:為蜘中W里&E）且伊=4-=Mz>Q八隊焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是不產其參數(shù)方程為"一"08（成參數(shù)，其中”血狗出”工 y =£icscp以上參數(shù)1P都是雙曲線上任意一點的離心角6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為產二方產協(xié)參物3=珈7 .直線的參數(shù)方程經過點%（知始，傾斜角為W9的直線工的普通方程是串一必二5噸一心而過MX%。，傾斜角為a的直線1r的參數(shù)方程為jjr = /fctre a1，=%+血16在為參數(shù)）注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點"K/hH ,傾斜角為值的直 flXJj+fCOBil：線F的參數(shù)方程為曲（前參勒，其中表示直線上以定點修為起 點，任一點"（馬力為終點的有向