高中數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)學(xué)案43空間向量與立體幾何

1、專題四：立體幾何第三講空間向量與立體幾何【最新考綱透析】1 .空間向量及其運(yùn)算(1) 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。2 .空間向量的應(yīng)用0(1)理解直線的方向向量與平面的法向量。(2)能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。(3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)。(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在 研究立體幾

2、何問題中的應(yīng)用?！竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1:利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1.平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判 斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。2.題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ隆？枷蜴溄樱?.空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的 空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)方面考查“向量法”的應(yīng)用。2.空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是 利用空間向量來論證。EF /例1： (2010 安徽高考理科 T 18)如圖，在多面體 ABCDEF中，四邊形AB

3、CD是正方形,AB, EF FB , AB 2EF , BFC 90, BF FC , H 為 BC 的中點(diǎn)。(1) 求證：FH /平面EDB ;(2)求證：AC 平面EDB ；(3)求二面角B DE C的大小?！久}立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查 了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】可以采用綜合法證明,亦可采用向量法證明?！疽?guī)范解答】Q四邊形ABCD為正方形,ABBC,又 QEF FB,EF/AB, AB FB,且 BC I FB B,AB 又BF 且ABIFH平面FBC, AB FC,H為BC中點(diǎn), BC B,

4、平面ABC.FH,FHBC,如圖, x軸、以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以u(píng)ur uuu uur,、, HB、GH、HF的萬向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系,令BH 1,則A(1, 2,0), B(1,0,0), C( 1,0,0), D( 1, 2,0), E(0, 1,1),F(0,0,1).設(shè)ACf BD勺交點(diǎn)為G,連接GEGH,則 G (0,-1,0 ),uurur uuururGE (0,0,1),又 QHF (0,0,1), GE/HFGE 平面EDB,HF 平面EDB,uuirur(2) Q AC ( 2,2,0), GE (0,0,1),HF / 平面 EDBuurACurgGE 0,A

5、CGE又AC BD,且G日BD=G AC 平面 EBD.設(shè)平面uuuBDEE勺法向量為uuruun1(1,y1,z1),Q BE (1, 1,1),BD(2, 2,0).uuuuu-BEm uuir uu BD51 ur n1(1,0,即01,0)y Z12y 00 /日,信 y 1, Z10,設(shè)平面CDE勺法向量為uun2uuirQ CD (0, uuur ur-CD52 iuu urr CE52uuu2,0), CE(1,y2, Z2),(1,1,1).urn2cosir0,即0(1,0,-1)ir uu小，叫uuury2y2uu|n/|n2 |n1,n260o，即二面角Z2，得 y20,

6、 z201,2 .212,B-DE-C 為 60°?！痉椒记伞?、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行;2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直;3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡(jiǎn)單，易于操作，推薦使用。要點(diǎn)考向2:利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1.線線角、線面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考。2.在各類題

7、型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。考向鏈接：1.利用空間向量求兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角的方法及公式為：（1）異面直線所成角伏0Y ” 9爐） ,設(shè)白”分別為異面直線。"的方向向量，則（2）線面角伙3y 猿9”7r5田 mEdi,設(shè)Q是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則口 1T2.運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān).點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2: （2010 遼寧高考理科 T 19）已知三棱錐 PABC中，PAL ABC AB± AC,

8、 PA=AC=1 AB, N為2AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別一為PB,BC的中點(diǎn).B（I ）證明：CML SN;（n）求SN與平面CMNf成角白大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的【思路點(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo),uuuu uuu1 I)計(jì)算CM、SN的數(shù)量積，寫出答案；(II ) 求平面CMN勺法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案?！疽?guī)范解答】設(shè)PA= 1,以A為原點(diǎn)，射線 AB AG AP分另1J為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則 P(0,0,1)，C(0,1,0) ， B(2,0,0) , M(1,0,-

9、),N( 1,0,0) , S(1, 1,0)222(I)uuuu 1 uuuCM (1, 1,-),SN 212uuuu uuu1 1因?yàn)?CMgSN-00所以CM SNuuu1(II) NC (,1,0),2r設(shè)a (x, y, z)為平面CMN的一個(gè)法向量,x y Z 0人,J則 2 令x 2,得a (2,1, 2)1-x y 02所SN與平面CMN所成的角為45o【方法技巧】(1)空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。(2)求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。(3)線面角的范圍是0°90° ,因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是

10、非負(fù)的,要取絕對(duì)值。要點(diǎn)考向3:利用空間向量求二面角考情聚焦：1.二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識(shí)點(diǎn)。2 .常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷蜴溄樱呵蠖娼亲畛Ｓ玫霓k法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平 面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面公舊的法向量，則 與 加，打：互補(bǔ)或相等，eW = in = m *例3: (2010 天津高考理科 T 1 9)如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD AB1clD1中，E、F分別是r:棱BC, CC1上的點(diǎn)，CF AB 2CE, AB: AD:AAi 1

11、:2:4(1) 求異面直線EF與A1D所成角的余弦值； 證明AF 平面 AED(3) 求二面角 A ED F的正弦值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題?！疽?guī)范解答】 方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為丫軸建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖所示)，設(shè) AB 1,依題意得 D(0,2,0) , F(1,2,1), A(0,0, 4) , E 1,-,0 2uuur uuuuuur 1 uuiuuuuruuuu

12、.EF gA D3(1) 易得 EF0,-,1, AD(0,2, 4),于是 cos EF,ADiui|仙叫一2'/ EF|AD|53所以異面直線 EF與A1D所成角的余弦值為 一。5uuuruuir3UULT1(2) 證明：已知 AF (1,2,1), EA11, -,4 , ED 1,-,022uuruuiruuuruuur于是 AF EA=0, AF ED =0.因此，AFEA，AF ED ,又 EAED E所以AF 平面A1ED12y2y 0ABC-ABC,r uuur解：設(shè)平面EFD的法向量u (x, y, z),則r%Uur,即ugED 0不妨令X=1，可得u (1,2 1

13、)。由(2)可知，AF為平面AiED的一個(gè)法向量。日TE cos5u，AF =Tu，AF ：=u?AF=2,從而 sin( lu|AF| 35所以面角A1-ED-F的正弦值為3要點(diǎn)考向4:利用空間向量解決探索性問題考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件(或是否存在問題) ，能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點(diǎn)，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點(diǎn)。例4:(2010 福建高考理科 T 18)如圖，圓柱OO內(nèi)有一個(gè)三棱柱三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓。的直徑。(I)證明：平面 AACC 平面BBCC;(II )設(shè)AB= AA,在圓柱OO內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記

14、該點(diǎn)取自三棱柱ABC-ABC內(nèi)的概率為p。(i )當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 p的最大值；(ii )記平面AACC與平面BOC/f成的角為(0°90°)。當(dāng)p取最大值時(shí)，求 cos的值。【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾 何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化 思想、必然與或然思想?！舅悸伏c(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長(zhǎng)方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計(jì)算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角

15、度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計(jì)算，a b均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角。對(duì)于空間向量a,b ,有cos a,b a b ,利用這一結(jié)論，我們可以較|a|b|方便地處理立體幾何中的角的問題?！疽?guī)范解答】(I ) Q AA 平面ABC , BC 平面ABC ,A1A BC ,又AB是e O的直徑，BC AB ,又 AC AA1 A, BC 平面 AACC1 ,而 BC 平面 B1BCC1 ,所以平面 AACC1平面 BiBCCi ；(II ) (i)設(shè)圓柱的底面半徑為 r ,則AB AA1 2r ,故圓柱的體積為 V r2 2r 2 r3,設(shè)三棱

16、柱ABC-ABC,的體積為Vj所以P 所以當(dāng)Vi取得最大值時(shí)P取得最大值。又因?yàn)辄c(diǎn) C在圓周上運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)OC AB時(shí)，ABC的面積最大，進(jìn)而，三棱柱 ABC-ABC,的體積V1最13_1大，且其最大值為 一2r r 2r 2r3,故P的最大值為 一； 2(ii )由(i)知，P取最大值時(shí)，OC AB,于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,則 C r,0,0 , B 0,r,0 ,B1 0,r,2r ,QBC 平面uurA1ACC1 , BC r, r,0是平面AiACCi的一個(gè)法向量，設(shè)平面BQC的法r向量為nr uuur n OC x, y,z ,由于 ruuur ,rx

17、0ry 2rz 0r所以平面B1OC的一個(gè)法向量為n 0, 2,1 , Q0090 , cosr uuin cos n, BC)|手?！痉椒记伞苛Ⅲw幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的(II ) (i )也可以采用向量法進(jìn)行證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz ,設(shè)圓柱的底面半徑為r , C r cos , r sin ,0 ,則AB AA1 2r ,故圓柱的體積為 Vr2 2r2 r3,設(shè)三棱柱ABC-AB。的體積為V1,所以P V1V1所以當(dāng)V1取得最大值時(shí)P取得最大值。S ABC -22r rcos2r cos ,所以當(dāng)cos 1時(shí)的 ABC的面積最大，進(jìn)而，

18、三棱柱ABC-AB1。，的體積V1最大,且其最大值為131-2r r 2r 2r3,故P的最大值為一；2【高考真題探究】1. (2010 廣東高考理科 T 1 0)若向量 a=(1,1,x ), b =(1,2,1),c 二(1,1,1),滿足條件(c a) (2b)=-2,【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算【思路點(diǎn)撥】r r r先算出c a、2b,再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x.【規(guī)范解答】(0,0,1 x) , 2b (2,4,2),由(c a) (2b)2得(0，0,1x) (2, 4,2)2,即 2(1 x) 2,解得 x 2.【答案】22. (2010 浙

19、江高考理科 T 20)如圖， 在矩形ABCD中，點(diǎn)E, F分別在線段n OB1_ _ ,_ _2_ 一 一AB,AD上，AE EB AF FD 4 .沿直線EF將 VAEF翻折成VAEF ,使平面 3AEF 平面 BEF.(I)求二面角 A FD C的余弦值;(n)點(diǎn)M ,N分別在線段FD,BC上，若沿直線 MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線段FM的長(zhǎng)。【命題立意】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間向量的應(yīng)用，同 時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用 幾何法解決,求二

20、面角問題和翻折問題。_ 、. .一'【規(guī)范解答】萬法一：(I )取線段EF的中點(diǎn)H,連結(jié)A H ,因?yàn)锳 E = AF及H是EF的中點(diǎn)，所以AH EF,又因?yàn)槠矫?A EF 平面BEF.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ,則A' (2, 2, 2/2), C (10, 8,0), F (4, 0, 0), D (10, 0,。. 故 FA'= (-2, 2, 272 ),FD= (6, 0, 0).設(shè)門=(x,y,z )為平面 A'FD的一個(gè)法向量，所2x 2y 2.2z 0以3。6x 0r rngmngm取z72,則n (0, 2,歷。r- r r又平面BEF

21、的一個(gè)法向量 m (0,0,1),故cosn,m所以二面角的余弦值為3(n)設(shè) FM x, BN a,則 M(4 x,0,0) , N(a,8,0),-因?yàn)榉酆?，C與A'重合，所以CMA'M , CN A'N ,故,(6 x)2 8202=( 2x)2 22(272)2/曰 2113l，仔x ,a (10 a)2 (2a)2 62(2 . 2)244所以FM21o3. (2010 陜西高考理科 T1 8)如圖，在四B隹P ABCDK底面ABCt矩形P4平面ABCpAPAB=2BO2J2, E, F分別是ADPC的中點(diǎn).(I)證明：PCL平面BEF(n)求平面 BEF與

22、平面BAP角的大小?！久}立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題， 考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用 幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一(I)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AD AP所在的直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,AP=AB=2 BC=2j2 ,四邊形ABCD1矩 形. .A, B, C, D 的坐標(biāo)為 A(0,0,0),B(2Q0),C(2,2/,0) , D(0, 2/2, 0), P(0,0,2)又 E, F 分別是

23、AD, PC 的中點(diǎn)，E(0, J2, 0),F(1 , J2, 1).uuuuuin_ uuinPC=(2, 2j2, -2) BF =(-1 , J2, 1) EF =(1,0, .1),uuiu uuuruuiu uurPC - BF =-2+4-2=0 , PC EF =2+0-2=0 ,F ,，PC1 平面 BEFuuiu uuuruuiu uurPC ± BF , PC ± EF , . - PCX BF,PC± EF, BF I EF(II由 (I ) 知平面 BEF的法向量ur uuur _n PC (2,2V2, 2),平BAP的法向量uu uu

24、rn2 AD(0,2、2,0),ur uun® 8,設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 ，則cosur uu cos n1,n28_24 2.2200-45 , 平面BEF與平面BAP的夾角為454. (2010 重慶高考文科 T 20)如題圖，四棱錐P ABCD中,底面ABCD為矩形，PA 底面ABCD , PA AB J2 ,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).(I)證明：AE 平面PBC；(II )若AD 1,求二面角B EC D的平面角的余弦值.【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線,與平面的位置關(guān)系,考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理

25、論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想 【思路點(diǎn)撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識(shí)求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函 數(shù)值.【規(guī)范解答】（I ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB, AD, AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz.如圖所示.設(shè)設(shè)D(0,a,0),則B( .2,0,0)c C (立 a,0),P (0,0, *，E (222,0,凈。uuu _PC (V2,a,也，uur 則AEuuuBCuuuAEuuuBC (0, a,0

26、),0,AE PC 0,所以u(píng)uu uur uurrAE BC, AEuuuPC ,故 AEur（II ）設(shè)平面BEC的法向量為口，由（I）知,AE平面BEC ,故可取平面從而可取urm uuuDEC的法向量 n2 (x2,y2,z2),則 n2 DCuurDC (J2,0,0), DE (梟,2uu _ur uuy21,則叱(0i,，2),從而 cos n1,n2ur0,n2uuiu DFx202 X2ur uu,nuffib uu uurniuuur0 ,由 AD,2y2二 z22琴田上uu niuunEA (1,得 D(0,1,0) ,Gv'2,1,0 ),所以 x2 0,馬 J

27、2y2,0【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計(jì)算求解;（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題C5. （2010 江西高考文科 T 2 0 ）如圖，BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面 MCD 平面 BCD, AB 平面 BCD , AB 2/3.（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大??；（2）求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及 平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計(jì)算問題，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力。【思路點(diǎn)撥】本

28、題主要有兩種方法，法一：幾何法(1)直接找出線面角，然后求解;(2)對(duì)二面角的求法思路,般是分三步“作”，“證”，“求”.其中“作”是關(guān)鍵， “證”是難點(diǎn).法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解【規(guī)范解答】取CD中點(diǎn)O連OB OM則OBL CD OMLCD又平面MCD平面BCD ,則MQ平面BCD .以O(shè)為原點(diǎn)，直線 OC BO OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OBOM=J3,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 O(0, 0, 0), C (1, 0, 0), M (0,0,耶),B (0, - 73, 0), A (0, -H 2>/3),(1)設(shè)直線AM與平面BCM成的角

29、為uiur 因AM(0, J3, J3),平面BCD的法向量為rn (0,0,1).則有sinuuuu CMuuuu r cos j AM , nuuuu rAM nuuuuAM- uuu(1,0,73) , CA (1,ur設(shè)平面ACM勺法向量為n1(x,y,z)，y z,取ur r貝U cos n1, nir rni nir ni.322,62,3,2,3).所以45o.LTuuuun1 CM由 u uur得n1 CA:(73,1,1).又平面、3z、3yr02' 3zBCM法向量為n(0,0,1)，1 、一，一， 7=設(shè)所求二面角為，則sin6. (2010 四川高考理科 T 1

30、8)BD的中點(diǎn).已知正方體 ABCD A BC D的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是對(duì)角線(I)求證：OM為異面直線 AA和BD的公垂線;(n)求二面角 M BC B的大小;(出)求三棱錐M OBC的體積.【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、.面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想【思路點(diǎn)撥】方法一：幾何法 問題（I）,分別證明OM AA , OM BD即可.問題（II ）首先利用三垂線定理，作出二面角M BC B的平面角,然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個(gè)三角函數(shù)值，便可解

31、決問題問題（ID）選擇便于計(jì)算的底面和高，觀察圖形可知,OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，且S OBC S OAD， 故Vm OBC Vm OADVO MAD ,利用二棱錐的體積公式很快求出VO MAD .方法二：建立一空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解【規(guī)范解答】（方法一）：（I）連結(jié)AC .取AC的中點(diǎn)K ,則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK .AMl!-DDOKf /.丁點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，-一由 AA AK ,得 OM AA . AK BD, AK BB , . . AK 平面 BDD B . . . AK BD . OM BD .又二 OM與異面直線 AA和B

32、D都相交， 故OM為異面直線 AA和BD的公垂線，（II ）取BB的中點(diǎn)N ,連結(jié)MN ,則MN 平面BCC B ,過點(diǎn)過點(diǎn)N作NH BC于H ,連結(jié)MH ,則由三垂線定理得，BC MH .MHN為二面角 M BC B的平面角.MN 1,NHBNsin45。1 上空.224在 Rt MNH 中.tan MHNMNNH2 五故二面角MBC B 的大小為 arctan 2 J2 .(III )易知,S OBCS OAD，且OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，點(diǎn)O到平面MAD的距離OBCOADMA D1S h-S MA D h31241 m(1,o,2)D (0,0,1)（方法二）：以點(diǎn)D為坐標(biāo)

33、原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz,則 A(1,0,0) , B(1,1,0), C(0,1,0) , A (1,0,1), C (0,1,1),（I）二點(diǎn)M是棱 AA的中點(diǎn)，點(diǎn) O是BD的中點(diǎn),1 1 1 皿 11O(252)，OM(2 2,o)uuirAAuuuu(0,0,1) , BD(1,1,1).uuuuOMuuur AAuuuu0 , OMuuur BD1 -0 0, 2OM AA , OM又 MO與異面直線AA和BD都相交,故MO為異面直線AA和BD的公垂線,(II）設(shè)平面BMC的一個(gè)法向量為uruuuu01("a BM (0,彩)'uuuuBC (

34、1,0,1).ir ni irn1uuuu BM uuuu BC°，即 0.1 z 0,2z 0.取z 2,2,ir1 .01（2,1,2）.取平面BC B的一個(gè)法向量ur02(0,1,0).ur uucos n, 02urni ur01uu021一，由圖可知，二面角 M BC B 3的平面角為銳角,故二面角MBC的大小為1 arccos-.3(III )易知,S OBC1一Sg邊形 BCD A41 .2二，設(shè)平面4OBC的一個(gè)法向量為uu03 (%,丫1,4)，uuurBD1 ( 1, 1,1),uuirBC (1,0,0),uu03uu03uuuuBD1 uur BC0,即0.x

35、1X1y Z1 0.0,ur03(0,1,1).點(diǎn)M到平面OBC的距離duuuu uuBM 03032.2VM OBC1 S3 S OBC、選擇題（每小題6分，共36分）1.已知點(diǎn)A （-3,1,-4 ）,則點(diǎn) A關(guān)于【跟蹤模擬訓(xùn)練】x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）(A) (-3,-1,4 ) (B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2,2 24.2.在正三棱柱 ABC-A1B1cl中，D是AC的中點(diǎn)，A2，Bq ,則平面DBq與平面CBq所成的角為（）(A)30(B)45(C)60(D)9023.設(shè)動(dòng)直線 x a與函數(shù)f(x) 2si0 ( x)和g(x) 4J3 co

36、s 2x的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則|MN |的最大值為（4.在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（3,2）B（ 2, 3）,沿y軸把坐標(biāo)平面折成120°的二面角后,AB的長(zhǎng)為（D.2 115.矩形 ABCD 中，AB=4 ,BC=3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B - AC - D ,則四面體ABCD的外接球的體積為（）125A. 12B.1259C.1256125D.36.如圖：在平行六面體ABCD ABCQ中，M為AC1與B1D1的交點(diǎn)。a AD b AA1 c則下列向量中與 BM相等的向量是（）1a 1b(A)2 21 . a (B) 21b c2(C)1 11 .1a b c (

37、D) 22二、填空題（每小題6分，共18分）7. OX, OY, OZ是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線，點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為而,a,b,則OP 而，則a2 b28.平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2 , AA1=2 , AD=1 ,且 AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為 600,則AC1?BD19.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論:（1）AC BD. （2） ACD是等邊三角形；（3） AB與平面BCD成60。；（4） AB與CD所成的角為60°.其中正確結(jié)論的序號(hào)為 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）.三、解答題（共46分）10 .

38、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 2的菱形，/BAD=60。，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO 33 ,E> F分別是BC、AP的中點(diǎn).（1）求證：EF/平面PCD;（2）求二面角 A BP D的余弦值.11 .某組合體由直三棱柱ABC AlB1C1與正三棱錐B ACD組成，如圖所示，其中，AB BC .它的（1）求直線CA1與平面ACD所成角的正弦;2*5+1.（2）在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P 平面ACD ,若存在，確定點(diǎn) P的位置；若不存在，說明理由.12 .如圖，三棱柱ABC ABG中，AA1面ABC ,BC AC BC AC 2 AA,3, D為AC的中點(diǎn)。（

39、I）求證：ABi/mBDCi；（n）求二面角C1 BD C的余弦值參考答案1 .【解析】選A.二點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律是在 x軸上的坐標(biāo)不變，在 y軸, 反數(shù)，點(diǎn)A （-3, 1, -4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,-1,4 ）.2 .【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG AA1分別為V軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系長(zhǎng)為2b.朗 A（0«0.0）C（o4a»0）,底*圖0）、Ci 協(xié)后口由Ali_LBC；a群AB； EC；=0.即2疔一£分刑再出平面DBG與平面CBC的一個(gè)法向量 ,to利用公式8折 -7 ” ? .得8=45。»1 nz軸上的坐標(biāo)分別變

40、為相.設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a.側(cè)棱3. D 4, D 5. C 6. A 7. 648. 39. (1) (2) (4)10.解：（1）證明：取 PD的中點(diǎn)G,連接FG、CG FG是 PAD的中衛(wèi)縣，.在菱形 ABCD中，AD-BC,又E為BC的中點(diǎn)，CEFG, ,四邊形EF/ CG又 EF 面 PCD, CG 面 PCD, EF/W PCD（2）法1:以。為原點(diǎn)，OB, OC, OP所在直線分別為X、y、z軸建立如1AD. FG= 2,EFGC是平行四邊形,圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則 0 (0, 0, 0), A (0,<3 , 0) , B (1, 0, 0) P (0, 0, J3 )A

41、B= (1,百，0) AP= (0, 6,再)設(shè)面ABP的發(fā)向量為n (x, y, z),則n AB 0 x .3y 0 x .3y取 n (V3, 1,1)又 OA opn AP 0即6y 6z 0即z y0 ? OA OB 0, OA,面 PBD,二. OA為面 PBD 的發(fā)向量,OA= (0,11cos n,OA|n|OA|-5 3法2:在菱形 ABCD中，ACXBD ,OPXM ABCD , AC、.5.所以所求二面角的余弦值為面 ABCD ,AC LOP, OP BD=0,，AC，面 PBD, AC ±BP,在面 PBD 中，過 O 作 ON，PB,連 AN , PB,面

42、AON，貝U AN，PB。即/ANO為所求二面角的平面角AO=ABcos30cos/ANO=J3 在 RtAPOB 中,ONANOP OB .32 i2.15 - AN OA ON BP 2 .2.3 a2 _L5、1552。所以所求二面角的余弦值為解：(1)設(shè) BA BC BD a, BB1 b2.2 1ab -a2由條件 212da 12以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BC、BB1、BA為通、y軸、卻建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0, .2), C(, 2,0,0), D(0, ,2,0), Bi(0,2,0),Ci(.2,2,0), Ai(0,2, .2)Q ACD的重心 G ,333umr_ r

43、uuur又CAi ( V2,2,V2)M!Jcosa,CAi)a BG=,為平面ACD的法向量.3332 2_3 _62 2年63所求角的正弦值為:66uuu uuuu _令 AP mAC172m, 2m, 72mUULTUULTUUr_.rB1PB1AAP、2m, 2m2, J2, 2ma,2m32m 2 無解3.2 /2m 上3不存在滿足條件的點(diǎn) P.12.解：(1)連接B1Q交BC1于點(diǎn)O,則O為B1C的中點(diǎn)，. D為 AC中點(diǎn) ，OD/ B1A又 B1A 平面 BDC1, OD 平面 BDC1，B1A/平面 BDC1(2) AA1X面 ABC BC±AC, AA1/I CC1

44、 . . CC1L面 ABC 貝U BCL平面 AC1, CCUAC如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸,CB所在直線為Y軸，CC1所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)r ulut r uur.設(shè)平面C1DB的法向量為n (x,y,z)由n C1D,nC1B得rx 3z 0,2 y 3z 0,取 z 2,則 n (6,3,2)C1C n 2uuurCC,n -又平面 BDC勺法向量為 CC1(0,0,3) cos|C1C|n|72面角C1BDC的余弦值為7【備課資源】1.已知兩條異面直線 a、b所成的角為40。，直線l

45、與a、b所成的角都等于。， 則。的取值范圍是()(A) 20° ,90 ° 【解析】選A.(B) 20° ,90 ° ) (C)(20,40 ° (D) 70° ,90。1|/r取空間任一點(diǎn)O,將直線a,b, l平移到過O點(diǎn)后分別為a' ,b ' , l ',則l '與a' ,b '所成的角即為l與 a,b所成的角.當(dāng)l '與a' ,b '共面時(shí)。最小為20° .當(dāng)l '與a' ,b '確定的平面垂直時(shí)，。最大為90°故

46、。的取值范圍為20° ,90 ° 2. （2009 -鄭州模概）如圖什:被注ABC - A B|Q中E是AC中點(diǎn).1口若 AB=2.AA 月,求點(diǎn)A到平面BEC.的明禹；12）當(dāng)Of為何值時(shí),二面角E- BG C的正弦曲 AU為磔？屏mN ）由短彎如A對(duì)羋面BEC|的拒禹于十點(diǎn)C到 平的BEC的距盍，VABC aB1G是兀工橫握.二1m一平而ACC A,- HE：羋面 BECi .二平面 BKC J_斗國(guó) ACCi A, 過苴C柞CH_CE于點(diǎn)H,則CH-平面HEC， AC1J四懸C軻平面BEG的距&在NtdClCC中.CEI,CC. J2,CE g.山面積相等可行

47、CH癖A A A到手禮BFC構(gòu)般態(tài)為，幻過II仰IJGx BC于。,逢結(jié)（：（；.由三歸稅定理存 CG_LDC 故£CGH為二面角E DC C的平面向設(shè) AA - i.AB -Za. I'J CH ah .Q0- + W義CGahARiACGH ¥ 公用/CGHCH_必產(chǎn)+淤CG _2aft via b V4tr tr2 % H Ltr.駐'導(dǎo) h J a.KA、 b區(qū)百一五二點(diǎn)余=1時(shí)，二面用E-BC - C的正微值邦半.3.如圖甲,直角梯形 ABCM ,AB / CD, / DAB=2，點(diǎn) M N分別在 AB, CD上，且 MNL AB, MCL CB, BC=2, MB=4