高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第24講三角不等式教案

1、第24講三角不等式含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式.三角不等式首先是不等式，因此， 處理不等式的常用方法如配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等三角不等式又有自己的特點(diǎn)一一含有三角式，因而三角公式及三角恒等變形的方法等都是處理三角也是解決三角不等式的常用方法. 其次, 三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖像特征、 不等式的常用工具.A類例題例1已知為銳角，且x(-)0 ,求證對(duì)一切x 0,Wxx(cos ) (sin )f(x) x的單調(diào)性，因此首先應(yīng)比較cos 與sin 的大小，而函數(shù) f (x)X的單調(diào)性與a的符號(hào)有關(guān)，可分析 要證的不等式兩邊均為指數(shù)式，且指數(shù)相同

2、，可考慮利用函數(shù)分情況討論.證明(1)若x>0,則0 ,由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得0 sin(2)sincossin1,x>0,故有(cos )x (sin )x .(2)若x<0由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得0 sinsincos1,x<0,故有(cos )x(sin )x .說明比較不同角的正弦與余弦的大小,可先化同名，再利用正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較,而一組一2的誘導(dǎo)公式是實(shí)現(xiàn)正、余弦轉(zhuǎn)化的有力工具.已知0，試比較2sin2和cot-的大小. 2分析兩個(gè)式子分別含有2與一的三角函數(shù)，故可考慮都化為2的三角函數(shù)，注意到兩式均為正,可考慮作商來比較.解法2sin 24sincot 2

3、cos tan 4sin21 cos cos sin= 4cos24cos4(cos,所以當(dāng)cos一時(shí)，上式總小于 31.因此，當(dāng)一時(shí)，2sin2 3= cot;且1時(shí),32sin2cot.解法二設(shè)tan & t ,由0一故 tan t 0 ,則 cot222因此，當(dāng)4(1(1;1 4(1t (1t )2 t2) 2tt2)2于是有44 29t 6t 1(3t2 t(11)2 t2)202 2t(1 t)2sin2=cot 2;當(dāng)0且時(shí)，2sin2cot2cot 2sin23時(shí)，2sin 2 4sin cos鏈接 本題用到以下兩組三角公式:(1)半角公式tan 21 cos sinsi

4、n 1 cos萬能公式:sin2tan 2,21 tan 一 2cos1 tan2 - 2 ； tan1 tan2 22tan 2,21 tan 一2例 3 已知 x 0,求證：cos(sin x)>sin(cos x)分析一從比較兩數(shù)大小的角度來看，可考慮找一個(gè)中間量，比cos(sin x)小，同時(shí)比sin(cos x)大，即可證明原不等式.證法(1)當(dāng) x時(shí)，顯然 cos(sin x)>sin(cos x)成立.(2)當(dāng)萬x 時(shí)，0sin x1 , cosx 0 ,貝U cos(sin x)>0>sin(cos x).(3)當(dāng)0 x 一時(shí)，有 0<sin x&

5、lt;x< ，而函數(shù)y=cosx在(0,)上為減函數(shù)，從而有222cos(sin x)>cosx；而0 cosx ,貝U sin(cos x)<cos x,因此 cos(sin x) >cosx >sin(cos x),從而 cos(sin x)>sin(cos x).分析二 cos(sin x)可看作一個(gè)角 sin x的余弦，而 sin(cos x)可看作一個(gè)角cosx的正弦，因此可考慮先用誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性來證明.證法二 當(dāng)0 x 時(shí)，有 0<sin x<1, 0<cosx<1,且 sin x+cos

6、x=j2sin(x ) V2 242即0<sin x< - cos x<,而函數(shù) y=cosx在(0,7 上為減函數(shù)，所以cos(sin x)>cos( - cos x)=sin(cos x),即 cos(sin x)>sin(cos x). x 在其他區(qū)域時(shí)，證明同證法1.說明(1)本題的證明運(yùn)用到結(jié)論：x (0,)時(shí) sinx x tanx ,這是實(shí)現(xiàn)角與三角2函數(shù)值不等關(guān)系轉(zhuǎn)化的重要工具，該結(jié)論可利用三角函數(shù)線知識(shí)來證明.(2)證法一通過中間量cosx來比較，證法二利用有界性得sin x+cosx -,再利用單調(diào)性證明，這是比較大小常用的兩種方法；(3)本題

7、結(jié)論可推廣至 x R.情景再現(xiàn)1 .在銳角 ABO4不，原不等式得證.2說明 不等式中含有多個(gè)變量時(shí)，我們往往固定其中部分變量，求其他變量變化時(shí)， 相 應(yīng)表達(dá)式的最值，這種方法稱為逐步調(diào)整法.,求證：sin A sin B sinC cos A cosB cosC .2 .已知 x, y （0,）, tanX 3tan y ,求證：x y -.263 .當(dāng) x 。，萬時(shí), 求證： coscosx sinsin x.B類例題3 .例 4 在 ABO 中，證明： sin A sin B sin O J32分析一本題中有三個(gè)變量AB、O,且?t足A+a0=180°,先固定其中一個(gè)如角C由于

8、A+B =180° - 0,故對(duì)不等式的左邊進(jìn)行和差化積，將其轉(zhuǎn)化為與A- B有關(guān)的三角函數(shù)進(jìn)行研究.證法一 我們先假定 0是常量，于是 A+B=0也是常量.- A B AB-sin A sin B sin 0 2sincos sin 022c c A B2cos- cos22顯然，對(duì)于同一個(gè) 0值，當(dāng)A=B時(shí)，上式達(dá)到最大值.同樣，對(duì)同一個(gè) A或B,有類似結(jié)論；因此，只要A、B、0中任意兩個(gè)不等，表達(dá)式sin A sin B sin0就沒有達(dá)到最大值，因而，當(dāng)A=B=0=時(shí)，sin A sinB sin0有最大值分析二證明.證法二Xi,X2,X3 (0,即證sin A sin B

9、sin 03觀察左邊的形式，從而考慮用琴生不等式進(jìn)行函數(shù)y sinx是區(qū)間(0,汽)上的上凸函數(shù)，從而對(duì)任意的三個(gè)自變量. Xx9x3），息有 sin（-一2-3） 3sinx sinx?sinx3堂口立, 寺方3 Xi3X2X3時(shí)成立.因此3有四十)sinA臂sin0,從而有sinA亭sin0sin*烏,因此原不等式成立.說明 本方法是利用凸函數(shù)性質(zhì)解題，三角函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)均為凸函數(shù)，因此很多三角不等如均可利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明.鏈接關(guān)于凸函數(shù)與琴生不等式的有關(guān)知識(shí)凸函數(shù)定義：函數(shù)f (x)如果對(duì)其定義域中任意的 Xi、X2,都有如下不等式成立：f (3/)< 1f(Xi)+f(X2)

10、,則稱f(x)是下凸函數(shù)，等號(hào)當(dāng) X1=X2時(shí)成立.如果總有f (xL廣)> 1f(Xi)+f(X2),則稱f(X)是上凸函數(shù)，等號(hào)當(dāng) Xi=X2時(shí)成立.其幾何意義是，不等式表示定義域中任意兩點(diǎn)XI、X2,中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的曲線上點(diǎn) Q位于弦上對(duì)應(yīng)點(diǎn) P的下面，不等式則有相反的意義.定理：若f(x)是在區(qū)間I內(nèi)的下凸函數(shù)，則對(duì)區(qū)間I內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)xi, X2,，xn,恒有 f (_X2-L±) W 二f(Xl)+ f(X2)+ +f (Xn)，等號(hào)當(dāng) X1=X2'=Xn 時(shí)成立.若 f ( X) nn為上凸函數(shù)，不等號(hào)反向.上述不等式稱為琴生不等式，琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴

11、生(Jensen)于19051906年建立的.三角函數(shù)如 y=sin x, y=cosX在(0,)是上凸函數(shù)；y=tanX, y=cotX在(0,(90年國(guó)家中的三角函數(shù)一)是下凸函數(shù). 2例 5 已知 x,y,z R, 0 x y z .2求證： 2sin xcosy 2sin ycosz sin 2x sin 2y sin 2z集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題)分析將二倍角均化為單角的正余弦，聯(lián)想單位圓 線，兩兩正余弦的乘積聯(lián)想到圖形的面積.證明 即證一 sin xcos y sin ycosz sin xcosx sin ycosy sin zcosz 4即證明 _ sin x(cosx cos y) si

12、n y(cosy cosz) sin zcos z 4注意到上式右邊是如圖所示單位圓中三個(gè)陰影矩形的面積之和，而一為此單位圓在第4一象限的面積，所以上式成立，綜上所述，原不等式成立.例 6 已知不等式 J2(2a 3)cos( -) 6 2sin24 sin cos3a 6對(duì)于 0,2恒成立.求a的取值范圍.(2004年首屆東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧賽試題)分析 所給不等式中有兩個(gè)變量，給出其中一個(gè)的范圍，求另一個(gè)的范圍，常采用分離變量的方法.注意到與角9有關(guān)的幾個(gè)三角函數(shù)式，cos()上2(sincos ),sin2 2sin cos ,因此考慮令sin cosx進(jìn)行變量代換，以化簡(jiǎn)所給不等式，再尋求解

13、題思路.2,斛 設(shè) sin cos x,貝U cos( ) x, sin2 x 1 ,當(dāng)。,2時(shí)，x 1,亞從而原不等式可化為：C66 c c2ax 3x - 3a 4 0 , xc ，22x(x 一 x、2、a) 3(x - a) x20 , (2x 3) x a x0 x 1,2，原不等式等價(jià)于不等式（1）,Q x 1, 2 , 2x 3 0（1）不等式恒成立等價(jià)于2x - a 0 x 1,V2 恒成乂. x2L從而只要a (x 心(x1,72 )x2.又f (x) x - 在x12上遞減2(x -)maX3(x 172 ),所以 a 3.x例7三個(gè)數(shù)a, b, c （0,-）,且滿足co

14、sa順序排列這三個(gè)數(shù).（第16屆全蘇競(jìng)賽題）分析 比較a, b, c三數(shù)的大小， a cosa,a , sincos b b , cossin c c ,按從小到大的b sincosb cosb, c cossin c cosc, 等式的兩邊變量均不相同,直接比較不易進(jìn)行,故考慮分類討論,先比較a與b,由cosasin cosb62r-2(2a 3)x 2(x2 1) 3a 6 ,即 2x2 x對(duì)等號(hào)兩邊分別比較，即先假定一邊的不等號(hào)方向，再驗(yàn)證另一側(cè)的不等號(hào)方向是否一致.解 （1）若 a b ,貝U cosa sincosa ,但由 cosa （0,）,故有 cosa sincosa 矛盾，

15、即 aw b.（2）若a b ,則由單調(diào)性可知 cosa cosb,又由a b及題意可得 cosa sincosb ,而 sincosb cosb ,因此又可得cosa cosb,從而產(chǎn)生矛盾.綜上， a b.類似地，若c a ,則由題意可得cosa cossina ,從而可得a sina與a sina矛盾；若 c a,貝 Usinc sin a a ,即 sinc a , cossinc cosa,即 c a 矛盾.綜上可得：b a c.說明 本題的實(shí)質(zhì)是用排除法從兩個(gè)實(shí)數(shù)的三種可能的大小關(guān)系排除掉兩種，從而得第 三種，體現(xiàn)了 “正難則反”的解題策略.情景再現(xiàn)4.在三角形ABC,ABC33

16、-求證：（1）sin sinsin ；（2） sin Asin BsinC士忌.222285 .設(shè)x y z 一，且x y z ,求乘積cosxsin ycosz的最值.（1997年全國(guó)高中 122數(shù)學(xué)聯(lián)賽）6 .求證：|sinx cosx tanx cotx secx cscx| 2& 1 （2004 年福建省數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）C類例題例8已知當(dāng)x 0,1時(shí)，不等式x2 cosx（1 x） （1 x）2 sin0恒成立，試求的取值范圍.（1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）分析一不等式左邊按一、三兩項(xiàng)配方，求出左邊式子的最小值，根據(jù)最小值應(yīng)當(dāng)為正 求出的取值范圍.解法一設(shè)f(x)22x cos

17、x(1 x) (1 x) sin , 則由 x 0,1時(shí) f (x)0恒成立，有f(0) sin 0 , f (1)f(x) (x cos )2 (1x) . sin 2 2x(1 x) sin cos 2x(1x) . sin cosx(1 x) 1:x cos (1 x). sin 2x(1 x)( sinx-jcos(1f(%) 2%(1x0)( , sin cos2)0 ,故所求范圍是:2k 一 122k11sin 22'，且 sin 0,cos0,分析二不等式左邊視為關(guān)于,sinsin . cos時(shí),-sin21 ,即 sin 222Z,反之，當(dāng)2k -且 sin0,cos0

18、,2k 12,k Z 時(shí),于是只要x 0,1必有f(x) 0恒成立.x的二次函數(shù)，求出此二次函數(shù)的最小值，令其大于0,從而求出的取值范圍.解法二 由條件知，cos 0,sin0,若對(duì)一切x 0,1時(shí)，恒有2_ 2.f (x) x cos x(1 x) (1 x) sin 0，即 f (x) (cos21 sin )x (1 2sin )x sinx 0,1時(shí)恒成立，則必有 cos f (1)0,sin f (0)0,另一方面對(duì)稱軸為x 2(cos1 2sinsin0,1,故必有 4cos一sin-媽一(1 2s1n )0,1)4(cos sin 1)4cos sin分析三解法三1,1 0, s

19、in 2-,又由于 cos 0,sin 0 故 2k 2k原不等式看作關(guān)于 x與1-x的二次齊次式，兩邊同除x(1- x).原不等式化為：x2cos +(1-x)2sin當(dāng)xwo且xwi時(shí)，上式可化為：六cos721k>x(1-x), x=0 得 sin >0,x=1 得 cos :+ Lx sin>1對(duì)xC (0,1)恒成立，由基本x>0；不等式得1-cos +1-x sin xx2 Jsin cos ,等號(hào)當(dāng)六cosx- cos + 1-sin.sin cossin x時(shí)取到,的最小值為因此2 dsin cos >1. sin 2-2又由于cos0,sin例9

20、已知a,b,A,B都是實(shí)數(shù)，若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x ,0 故 2k 12都有2kI* Zf (x) 1 acosx bsinx Acos2x Bsin2x 0, 求證:B2九屆IM。分析 根據(jù)函數(shù)式的特征及所要證明的式子易知，應(yīng)首先將不等式化成f (x) 1 后一b7sin(x) 7 A B2 sin(2x ) 0 ,其中 x 為任意實(shí)數(shù),注意到所要證的結(jié)論中不含未知數(shù)證明若a2x,故考慮用特殊值方法.b2 0, A2B2 0,則結(jié)論顯然成立;故下設(shè)a2令sin2_2b 0, Aaos .a bB2 0 :b,sin a2b2A,A2=,cosB2f(x).A2 B2 sin(2x即對(duì)于一切實(shí)數(shù)f(

21、x), a2b2 sin(xA B2 sin(2x(1)f (x1 , a2 b2 cos(x)A2 B2sin(2x0 (2)(1)+ (2)得：2 y/ab2sin( x) cos(x)0,即sin(xcos(x )2 對(duì) a2 b2于一切實(shí)數(shù)2x恒成立， 夜，因此a2vavb22.f(x ) 1. a2b2 sin(x) , A2B2sin(2 x(3)(1) + (3)得：22 . A2B2 sin(2x)0 ,即 sin(2xA2例B210設(shè)證：對(duì)任意滿足0的實(shí)數(shù)x,y,z有_ 2 yzsin_ 2 zxsin2xy sin 0分析 即可得證.證明z 0消去一個(gè)未知數(shù)z,再整理成關(guān)于

22、y的二次不等式，對(duì) x恒成立,由題意,則將z (xy）代入不等式左邊得,不等式左邊=22y sin2_2x sin,.2. 2xy (sinsinsin2 )(1)當(dāng) sin當(dāng)sin0,易證不等式左邊0成立.；0,整理成y的二次方程，證0.左邊 ysin,22x(sin sin222x (sin sin2sin22sin ) 4sin2sin2 )j.2. 24sin sin 由(sin22 sin2 sin22) 4sin2 sin2(sin2 sin2 sin2sin sin2)(sin_ 2 sin. 2sin 2sin sin )2sinsin 1cos()2sin sin 1cos(

23、)2.24sin sin2 ，1 cos (22_ _2_ _2、22_ _2.x (sin sin sin ) 4sin sin2 24sin-0,，不等式左邊 0成立.情景再現(xiàn)7.證明：對(duì)于任意 ABC不等式acosA+bcosaccosCw p成立，其中a、b、c為三角 形的三邊，A、R C分別為它們的對(duì)角，p為半周長(zhǎng).（第十六屆全俄數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）8.設(shè)，是一個(gè)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，求證:sin sin sin tan tan tan習(xí)題1.求證：對(duì)所有實(shí)數(shù) x, y ,均有22cosx cosy cosxy2 .在銳角三角形3 .在銳角三角形ABC 中,ABC 中.求證:求證:tanAt

24、anBtanC 1sin A sin BsinC4.求證:2sin。芻42cos(sinx) sin(cosx)22sin5.已知(0,),能否以 sin ,sin ,sin(）的值為邊長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)三角形?6.已知,為銳角，求證：cos_ _2 sin1722sin cos7.已知-AA+B+C=，求證：tan2 A2tan2B2tan2C 128.在三角形 ABC,角A、R C的對(duì)邊為a、b、c,求證:aA bB cC9.設(shè)A、B C為銳角三角形之內(nèi)角，n為自然數(shù)，求證:tann年第三屆澳門數(shù)學(xué)奧林匹克賽題）10.已知0sin2(a3A tann B tann C2b3)3k2n 132 .

25、 (9311 .設(shè)P是三角形 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：/ 于 30 ° .12 .解方程 coscoscoscosx sinsinsinsin xcosPAB / PBC / PC9至少有一個(gè)小于或等（1995年全俄競(jìng)賽題）本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答:1 .證明：銳角角形可知A+B 2B ,從而sin AcosB ,同理sin B cosC,sin C cosA,三式相加得證.2.證明：由已知得 tanx 3tan y tany 及 x, y (0,3)知,y (0,-),要證x y ,只須證明tan(x y) 6tan-,由于 tan(x y)63tanx tan y1 tanxtan y

26、2tan y231 3tan y是問題歸結(jié)為證-12tan y 3c， 2c3tan y3即(.3 tan y 1)20 ,而上式顯然成立，因此原不等式成立.3.證法一：當(dāng)0<sin x<x<一, 2sinsin x<sin x,再比較 sin x 與 coscos x的大小，由sin x=cos（ -x），即比較（-x）與cosx而 cosx=sin( - x),因止匕(一-x) > cosx,從而 cos( - x)< coscos x,即 sin x<coscosx, 從而得證.x< 25.解:由條件知,是 cosxsinycosz= co

27、sxsin(y z) sin(y z)21、12121世一 cosxsin(yz)-cosx-cos-,當(dāng)22238證法二：sin x+cosx 嘉 ,即 0<cosx<-sin22所以 cos(cos x)>cos( - sin x)=sin(sinx).4.證明：(1)由琴生不等式即得.3sin A sinB sinC .ABC 3(2) Usin Asin BsinC sin - , 從而得證.332一 2 一一，sin(y z) 0,于212 3x -,y z 時(shí)取等號(hào)，故最小值為 (y與z相等，且x達(dá)到最大時(shí)，乘積有最小值) 3128y) - cos2 z2p11又

28、 cosxsinycosz= coszsin(x y) sin(x y) coszsin(x 221cos-(1) (2) (3)即得所要證的不等式.- 2 "3 且當(dāng) z _ ,x y J 時(shí)等號(hào)成立， 故cosxsin ycosz的取大值為 3 2128122486 .證明：設(shè) f(x) |sinx cosx tanx cotx secx cscx| , t sinx cosx ,貝U 有sin xcosxt2 1f(x) |t2|t 11t 1t 11|當(dāng)t 1時(shí),當(dāng) t 1 時(shí)，f (x)(t 1)12 2 1t 1因止匕|sin x cosxtanx cotx secx c

29、scx | 2霹 1 .7.證明：因?yàn)閏osx (xC (0,n)遞減，所以a- b 與 cos Acos B 異號(hào)，從而(a-b)(cos Acos B) < 0.即 acosA+bcos B< acos abcosA=C (l)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.同理 acosA+ccosCK b (2)bcos B+ccos CX a ( 3),2f (x) t 1 1 2品 1；t 18.證明：sin tan2tan2tan 2 21 tan2 1 tan2 一224tan21 tan4 24tan，2,tan , sin tan2224tan- 2 ,同理得另兩個(gè)，命題得證.“習(xí)題

30、”解答:1.證明： cosx2 cos y2 cosxy3顯然成立，下面證明等號(hào)不能成立.用反證法.若等號(hào)成立，則 cosx2 1,cos y2 1,cos xy1 ,則 x2 2k ,y2 2n ,k,n N * ,則4nk 2 ,k, n N * ,則 xy 2>/nk ,k, n N *2 nk不可能為奇數(shù)，因此 cosxy1,因此等號(hào)不成立.7 .證明：銳角三角形可知 A+B萬，從而A萬-B,從而sin A cosB ,同理 sin B cosC,sinC cosA,三式本目乘得 sin Asin Bsin C cosAcosBcosC .從而可得 tanAtanBtanC 1

31、.8 .解：sin A sin2 A,sin B sin2 B, sinC sin(A B) sin AcosB cosAsinBcos B cosB cosAcosA cos2 B cos2 A , 三式相力口得證.cos x sin x.9 . 證明： cos(sin x) sin(cosx) cos(sin x) cos( cosx) 2cosx sin x、. , 2sin(- )sin(又 2 cosx sin x 2 2224242 cosx sin x .泛2 c 2->u )4242424242由正弦函數(shù)在0,萬上的單調(diào)性可知，原不等式成立.5.證法sin sin 2si

32、ncos222sincos sin(22| sin sin | 2cos| sin| 2cossin sin(2222證法二：在直徑為 1的圓內(nèi)作內(nèi)接三角形 ABC使 A , BBC sin , AC sin , AB sin( ),因此可構(gòu)成三角形.),因此可以構(gòu)成三角形., C ()則6.解:12 cos422 _sin sin 212 cos4_ 2 sin25 tan7.證：左tan冬an巨tanBtanC tanCtantan tan C B tan (tantan 2tan%anBcot7an2(1tan-tan-)228 .分析：注意到可寫成 A+四C,故即證：3( aA+bB+cC) > ( a+b+c),即證 3( aA+bBcC)>(a+b+c) (A+BQ,即證(a-b)( A 場(chǎng)+( b-c)( B-C)+( c-a)( C-A) >0,由大邊對(duì)大角得上式成 立.9 .證明：設(shè) x tan A, ytanB,z tanC ,貝U x,y,z0, x y z xyz,而 x y z 3xyz ,3代入得xyz 32，故