高中數(shù)學(xué)三角形形狀的判定Word版

1、 (微 lily2064)高中數(shù)學(xué)三角形形狀的判定判斷三角形的形狀的特征，必須深入地研究邊、角間的關(guān)系，解決這類問(wèn)題：1、 基本知識(shí)點(diǎn)：（1）等腰三角形a=b或A=B （2）直角三角形或A= （3）鈍角三角形或A （4）銳角三角形若a為最大邊且或A為最大角且A2、基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理（或余弦定理）進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化。逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系，即通過(guò)考慮如下兩條途徑：（1） 統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；（2） 統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷，常用余弦定理、面積公式等；常見(jiàn)的題型有：一、 利用三角形三邊的代數(shù)關(guān)系直接判斷1、 在三角形ABC中，三邊a、b、c滿足，試判斷

2、三角形的形狀。解析： 則c邊最大，且， ，則最大角C為銳角，所以三角形為銳角三角形。二、運(yùn)用三角函數(shù)的關(guān)系直接判斷2、（05北京）在中已知那么一定是（ ）A、直角三角形 B、等腰三角形C、等腰直角三角形三角形 D、正三角形解析： 3、在ABC中，已知cos2，試判斷此三角形的類型.解析： cos2 21將代入上式得 cos（BC）1又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形.評(píng)述： (1)此題在證明過(guò)程中，要用到余弦二倍角公式cosA2cos21的逆用.(2)由于已知條件就是三角函數(shù)關(guān)系式，故無(wú)需向邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化，而是進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形三、運(yùn)用向量進(jìn)行判斷4、(06陜西卷) 已知非

3、零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為( )A、三邊均不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等邊三角形 D、等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC， AB=AC，又= ，A=，所以ABC為等邊三角形，選D5、在中，設(shè)若判斷的形狀。 解析：，同理，兩式相減，得，=，同理，故是等邊三角形。四、運(yùn)用正（余）弦定理判斷6、在ABC中，試判斷三角形的形狀分析：三角形形狀的判斷，可以根據(jù)角的關(guān)系，也可根據(jù)邊的關(guān)系，所以在已知條件的運(yùn)用上，可以考慮兩種途徑：將邊轉(zhuǎn)化為角，將角轉(zhuǎn)化為邊，下面，我們從這兩個(gè)角度進(jìn)行分析.解法一：利用余弦定理將

4、角化為邊. b·b2c2a2a2c2b2 a2b2ab故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角. 又 sin（AB）00A，B，ABAB0 即AB故此三角形是等腰三角形.評(píng)述： (1)在判定三角形形狀時(shí)，一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.通常是運(yùn)用正弦定理.要求學(xué)生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要先確定角的范圍.另外，也可運(yùn)用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式端同除以得，再由0A，B，而得AB.7、在中，

5、如果=，且角為銳角，判斷此三角形的形狀。解析：由=，得，又是銳角，又，即由正弦定理，得：，故此三角形是等腰直角三角形。鞏固練習(xí)：在中，若試判斷的形狀。解一：由已知條件及正弦定理可得，為三角形的內(nèi)角，或，或，所以為等腰三角形或直角三角形。解二：由已知條件及正弦定理可得，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理，得，即，為等腰三角形或直角三角形。小結(jié)：已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式。兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理。本題的兩種解法，就是通過(guò)兩種不同的轉(zhuǎn)化來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 求解有關(guān)三角形的形狀問(wèn)題時(shí)，除了要掌握正、余弦定理并能熟練運(yùn)用它們外，還應(yīng)掌握：（1） 三角形的內(nèi)角和定理A+B+C=，